§ 2. Сферические волны от точечного источника

В гл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой

(21.2)

и

(21.3)

где  и А обязаны удовлетворять уравнениям

(21.4)

и

(21.5)

и, кроме того, условию

(21.6)

Найдем теперь решение уравнений (21.4) и (21.5). Для этого надо уметь решать уравнение

(21.7)

где величина s (которая называется источником) известна. Ясно, что для уравнения (21.4) s соответствует /₀, a ψ—это , а для уравнения (21.5) s соответствует j_x/₀с², если ψ — это А_х, и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физический смысл ψ и s. Там, где  и j равны нулю (это место называется «пустотой»), там потенциалы  и А и поля Е и В удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; математическая форма этого уравнения такова:

(21.8)

В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут пред­ставлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие в x-направлении я|;=f(t-x/с); плоские волны, бегущие вдоль у или вдоль z или в любом другом направлении; сферические

(21.9)

(Решения можно записать иначе — например в виде цилиндри­ческих волн, разбегающихся от оси.)

Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) отно­сится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки r=0, где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте те­перь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источ­ник s в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9).

Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и по­глядим, во что она превращается при очень малых r. Тогда запаздыванием -r/с в f(t-r/с) можно пренебречь, и посколь­ку функция f плавная, ψ превращается в

(21.10)

Итак, ψ в точности похоже на кулоново поле заряда, располо­женного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ на­чала координат и имеющего плотность ,

где Q=∫dV. Такой потенциал  удовлетворяет уравнению

Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ψ из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению

(21.11)

где s связано с f формулой

при

Единственная разница в том, что в общем случае s, а, стало быть, и S может оказаться функцией времени.

Далее очень важно то, что если ψ удовлетворяет (21.11) при малых r, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость ψ от r типа 1/r приводит к тому, что пространственные производные ста­новятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные f(t) по времени.] Так что, когда r стремится к нулю, множителем d²ψ/dt² в уравнении (21.7) по сравнению с ²ψ можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравнению (21.11).

Подытоживая, можно сказать, что если функция источника s(t) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна

(21.12)

то решение уравнения (21.7) имеет вид

(21.13)

Влияние слагаемого с d²ψ/dt² в (21.7) сказывается лишь на появ­лении запаздывания (t-r/с) в потенциале кулонова типа.