- •§ 1. Силы, действующие на петлю с током; энергия диполя
- •§ 2. Механическая и электрическая энергии
- •§ 3. Энергия постоянных токов
- •§ 5. Векторный потенциал и квантовая механика
- •§ 6. Что истинно в статике, но ложно в динамике?
- •Глава 16
- •§ 2. Трансформаторы и индуктивности
- •§ 3. Силы, действующие на индуцируемые токи
- •§ 4. Электротехника
- •Глава 17
- •§ 2. Исключения из «правила потока»
- •§ 3. Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон
- •§ 4. Парадокс
- •§ 5. Генератор переменного тока
- •§ 6. Взаимная индукция
- •§ 7. Самоиндукция
- •§ 8. Индуктивность и магнитная энергия
- •Глава 18 уравнения максвелла
- •Уравнения Максвелла
- •Закон силы
- •Гравитация
- •§ 2. Что дает добавка
- •§ 3. Все о классической физике
- •§ 4. Передвигающееся поле
- •§ 5. Скорость света
- •§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение
- •I'лавa 19
- •Добавление, сделанное после лекции
- •Глава 20
- •§ 2. Трехмерные волны
- •§ 3. Научное воображение
- •§ 4. Сферические волны
- •Глава 21
- •§ 2. Сферические волны от точечного источника
- •§ 3. Общее peшeниe уравнений Максвелла
- •§ 4. Поля колеблющегося диполя
- •§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта
- •§ 6. Потенциалы заряда, движущегося с постоянной скоростью; формула Лоренца
- •Глава 22
- •§ 2. Генераторы
- •§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа
- •§ 4. Эквивалентные контуры
- •§ 5. Энергия
- •§ 6. Лестничная сеть
- •§ 7. Фильтры
- •§ 8. Другие элементы цепи
- •Глава 23 полые резонаторы
- •§ 2. Конденсатор на больших частотах
- •§ 3. Резонансная полость
- •§ 4. Собственные колебания полости
- •§ 5. Полости и резонансные контуры
- •Глава 24
- •§ 2. Прямоугольный волновод
- •§ 3. Граничная частота
- •§ 4. Скорость волн в волноводе
- •§ 5. Как наблюдать волны в волноводе
- •§ 6. Сочленение волноводов
- •§ 7. Типы воли в волноводе
- •§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе
- •Глава 25
- •§ 2. Скалярное произведение
- •§ 3. Четырехмерный градиент
- •§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
- •§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
- •§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики
- •Глава 26
- •§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью
- •§ 3. Релятивистское преобразование полей
- •§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях
- •На отдельный заряд, находящийся в полях е и в, действует
- •Глава 27
- •Фиг. 27.1. Два способа описания сохранения заряда
- •§ 2. Сохранение анергии и электромагнитное поле
- •§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле
- •§ 4. Неопределенность энергии поля
- •§ 5. Примеры потоков энергии
- •§ 6. Импульс поля
- •Глава 28 электромагнитная масса
- •§ 2. Импульс поля движущегося заряда
- •§ 3. Электромагнитная масса
- •§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?
- •§ 5. Попытки изменения теории Максвелла
- •§ 6. Поле ядерных сил
- •Глава 29
- •§ 2. Анализатор импульсов
- •§ 3. Электростатическая линза
- •§ 4. Магнитная линза
- •§ 5. Электронный микроскоп
- •§ 6. Стабилизирующие поля ускорителей
- •§ 7. Фокусировка чередующимся градиентом
- •§ 8. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях
§ 3. Четырехмерный градиент
Следующей величиной, которую нам следует обсудить, является четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования д/дх, д/ду, d/dz преобразуются подобно трехмерному вектору и называются градиентом. Та же схема должна работать и в четырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмерным градиентом должны быть (d/dt, д/дх, д/ду d/dz), но это неверно.
Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функцию, которая зависит только от х и t. Приращение при малом изменении t на t и постоянном х равно
(25.13)
С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя
Используя уравнение (25.1), мы можем выразить х' и t' через t. Вспоминая теперь, что величина х постоянна, так
что x=0, мы пишем
Таким образом,
Сравнивая этот результат с (25.13), мы узнаем, что
(25.14)
Аналогичные вычисления дают
(25.15)
Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для х и t через х' и t' [полученные решением уравнений (25.1)] имеют вид
Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными! Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента (d/dt,) правильным:
Мы его обозначим . Для такого трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что «ведет себя как четырехвектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент скалярной функции есть четырехвектор. Если — настоящее скалярное (лоренц-инвариантное) поле, то будет четырехвекторным полем.
Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди — инвариант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном анализе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение b, где b — векторное поле, компоненты которого являются функциями пространства и времени. Мы определим дивергенцию четырехвектора b=(bt , b) как скалярное произведение на b:
где •b — обычная трехмерная дивергенция вектора b. Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения [формула (25.7)1, а другой возникает от пространственных компонент [формула (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.
Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда и плотность тока j образуют четырехвектор j=(p, j). Если незаряженный провод переносит ток jx, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону преобразований Лоренца (25.1)1:
Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.
Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора j :
(25.18)
Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,
Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:
(25.19)
Благодаря тому, что j — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.
В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан
Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим
Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным
символом
(25.20)
По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]
Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.