§ 4. Сферические волны

Мы видели, что существуют решения волнового уравнения, отвечающие плоским волнам, и что любая электромагнитная волна может быть описана как суперпозиция многих плоских волн. В определенных случаях, однако, удобнее описывать волновое поле в другой математической форме. Я хотел бы сей­час разобрать теорию сферических волн — волн, которые соот­ветствуют сферическим поверхностям, расходящимся из неко­торого центра. Когда вы бросаете камень в пруд, то по водной глади побежит рябь в виде круговых волн — это двумерные волны. Сферические волны похожи на них, только распростра­няются они во всех трех измерениях.

Прежде чем начать описание сферических волн, немного зай­мемся математикой. Пусть имеется функция, зависящая только от радиального расстояния r точки от начала координат, иными словами, сферически симметричная функция. Обозначим ее ψ(r), где под r подразумевается

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функ­ции ψ (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадо­бится выражение для лапласиана ψ. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ψ по х, по у и по z. Через ψ'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ψ"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна

Вторая производная по х равна

Частные производные r по x можно получить из

так что вторая производная ψ no x принимает вид

(20.28)

Точно так же и

(20.29)

(20.30)

Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоминая,

что x²+y²+z²=r², получаем

(20.31)

Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей

форме:

(20.32)

Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убеди­тесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31).

Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические волны, то ве­личины, описывающие поля, должны быть функцией как r, так и t. Предположим, что нам нужно знать, какие функции ψ(r, t) являются решениями трехмерного волнового уравне­ния

(20.33)

Поскольку ψ(г, t) зависит от пространственных координат только через г, то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку ψ зависит также и от t, нужно дифференцирование по r записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в

Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить это урав­нение на r, то получится

(20.34)

Это уравнение говорит нам, что функция rψ удовлетворяет одномерному волновому уравнению по переменной r. Исполь­зуя часто подчеркивавшийся нами общий принцип, что у одних и тех же уравнений и решения одни и те же, мы приходим к выводу, что если rψ окажется функцией одного только (r-ct), то оно явится решением уравнения (20.34). Итак, мы обнаружи­ваем, что сферические волны обязаны иметь вид

Или, как мы видели раньше, можно в равной степени считать rψ имеющим форму

Деля на r, находим, что характеризующая поле величина ψ (чем бы она ни была) имеет вид

(20.35)

Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью с. Если на минуту забыть об r в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каждый данный момент обладает определенной формой, которая рас­пространяется со скоростью с. Однако r в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплиту­да убывает пропорционально 1/r. Иными словами, в отличие от плоской волны, амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны бес­прерывно спадает (фиг. 20.6).

Фиг. 20.6. Сферическая волна ψ=f(t-r/с)/r.

а — зависимость ψ от r при t=t_l и ma же волна в более поздний момент времени t₂; б — зависимость ψ от t при r=r₁ и та же самая волна на расстоянии r₂.

Этот факт легко понять из про­стых физических соображений.

Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квадрата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую и большую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная энер­гия сохраняется, плотность энергии должна убывать как 1/r², а амплитуда — как 1/r. Поэтому формула (20.35) для сфери­ческой волны вполне «разумна».

Мы игнорировали другое возможное решение одномерного волнового уравнения

или

Это тоже сферическая волна, но бегущая внутрь, от больших r к началу координат.

Тем самым мы делаем некоторое специальное предположе­ние. Мы утверждаем (без какого-либо доказательства), что волны, создаваемые источником, всегда бегут только от него. Поскольку мы знаем, что волны вызываются движением заря­дов, мы настраиваемся на то, что волны бегут от зарядов. Было бы довольно странно представлять, что прежде чем заряды были приведены в движение, сферическая волна уже вышла из бесконечности и прибыла к зарядам как раз в тот момент, когда они начали шевелиться. Такое решение возможно, но опыт по­казывает, что, когда заряды ускоряются, волны распростра­няются от зарядов, а не к ним. Хоть уравнения Максвелла предоставляют обеим волнам равные возможности, мы привле­каем добавочный факт, основанный на опыте, что «физическим смыслом» обладает только расходящаяся волна.

Нужно, однако, заметить, что из этого добавочного пред­положения вытекает интересное следствие: мы теряем при этом симметрию относительно времени, которая есть у уравнений Максвелла. Как исходные уравнения для Е и В, так и вытекающие из них волновые уравнения при изменении знака t не ме­няются. Эти уравнения утверждают, что любому решению, ко­торое отвечает волне, бегущей в одну сторону, отвечает столь же правильное решение для волны, бегущей в обратную сторону. И утверждая, что мы намерены брать в расчет только расходя­щиеся сферические волны, мы делаем тем самым важное допол­нительное предположение. (Очень тщательно изучалась такая электродинамика, в которой обходятся без этого дополнитель­ного предположения. Как это ни удивительно, но во многих обстоятельствах она не приводит к физически абсурдным ре­зультатам. Однако обсуждение этих идей теперь увлекло бы нас чересчур в сторону. Мы поговорим об этом подробнее в гл. 28.)

Нужно упомянуть еще об одном важном факте. В нашем решении для расходящейся волны (20.35) функция ψ в начале ко­ординат бесконечна. Это как-то необычно. Мы бы предпочли иметь такие волновые решения, которые гладки повсюду. Наше решение физически относится к такой ситуации, когда в начале координат располагается источник. Значит, мы нечаянно сде­лали одну ошибку: наша формула (20.35) не является решением свободного волнового уравнения (20.33) повсюду; уравнение (20.33) с нулем в правой части решено повсюду, кроме начала координат. Ошибка вкралась оттого, что некоторые действия при выводе уравнения при r=0 «незаконны».

Покажем, что ту же самую ошибку легко сделать и в элект­ростатике. Допустим, что нам нужно решить уравнение элек­тростатического потенциала в пустом пространстве ²=0. Лапласиан равен нулю, потому что мы предположили, что ни­каких зарядов нигде нет. Но как обстоит дело со сферически симметричным решением уравнения, т. е. с функцией , зависящей только от r? Используя для лапласиана формулу (20.32), получаем

Умножив это выражение на r, приходим к уже интегрировав­шемуся уравнению

Проинтегрировав один раз по r, мы увидим, что первая про­изводная r равна постоянной, которую мы обозначим через а;

Еще раз проинтегрировав, мы получим для r формулу

где b — другая постоянная интегрирования. Итак, мы обна­ружили, что решение для электростатического потенциала в пустом пространстве имеет вид

Что-то здесь явно не так. Мы же знаем решение для электро­статического потенциала в области, где нет электрических за­рядов: потенциал всюду постоянен. Это соответствует первому слагаемому в решении. Но имеется еще и второй член, подска­зывающий нам, что в потенциал дает вклад нечто, меняющееся как 1/r. Мы знаем, однако, что подобный потенциал соответ­ствует точечному заряду в начале координат. Стало быть, хоть мы и думали, что нашли решение для потенциала в пустом про­странстве, наше решение фактически дает нам также поле то­чечного источника в начале координат. Вы замечаете сходство между тем, что сейчас произошло, и тем, что произошло тогда, когда мы искали сферически симметричное решение волнового уравнения? Если бы в начале координат действительно не было ни зарядов, ни токов, то не возникли бы и сферически расходя­щиеся волны. Сферические волны должны вызываться источни­ками в начале координат. В следующей главе мы исследуем связь между излучаемыми электромагнитными волнами и вызы­вающими их токами и напряжениями.