§ 6. Лестничная сеть

А теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и b просто равен z₁+z₂. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее можно проанализиро­вать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импе­данса на правом конце можно заменить одним z₃=z₁+z₂ (см. фиг. 22.18, в). Тогда два импеданса z₂ и z₃ можно заме­нить их эквивалентным параллельным импедансом z₄ (фиг. 22.18, г). И наконец, z₁ и z₄ эквивалентны одному импедан­су z₅ (фиг. 22.18, д).

А теперь можно поставить забавный вопрос: что произой­дет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно под­ключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной це­пи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено под­ключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью.

Фиг. 22.18. Эффективный импеданс лестницы.

Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и b бесконечной цепи через z₀; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и d, тоже равен z₀. Поэтому если смотреть с перед­него конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг. 22.19, б. Заменяя два параллельных импеданса z₂ и z₀ одним и складывая его с z_1? сразу же получаем импеданс всего сочетания

Но этот импеданс тоже равен z₀. Получается уравнение

Найдем из него z₀:

(22.27)

Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.

Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансов. Импеданс z₀ называется характеристическим импе­дансом такой бесконечной цепи.

Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить z₁=iL и z₂=1/iС. Заметьте, что первое слагаемое z₁/2 в (22.27) равно просто половине импе­данса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима a', мы бы увидали характеристический импеданс

(22.28)

Смотря по тому, какова частота , наблюдаются два интерес­ных случая. Если ² меньше 4/LC, то второе слагаемое под кор­нем меньше первого, и импеданс z₀ станет действительным чис­лом. Если же ² больше 4/LС, то импеданс z₀ станет чисто мни­мым числом и его можно записать в виде

Раньше мы сказали, что цепь, составленная из одних только мнимых импедансов, таких, как индуктивности и емкости, будет иметь чисто мнимый импеданс. Но как же тогда выходит, что в той цепи, которую мы сейчас рассматриваем (а в ней есть толь­ко одни L и С), импеданс при частотах ниже 4/LC представля­ет собой чистое сопротивление?

Фиг. 22.20. Лестница L—C, изображенная двумя экви­валентными способами.

Для высоких частот импеданс чисто мнимый, в полном согласии с нашим прежним утвержде­нием. Для низких же частот импеданс — чистое сопротивление и поэтому поглощает энергию. Но как может цепь, подобно со­противлению, непрерывно поглощать энергию, если она состав­лена только из индуктивностей и емкостей? Ответ состоит в том, что этих емкостей и самоиндукций бесконечное множество, и получается, что, когда источник соединен с цепью, он обязан сперва снабдить энергией первую индуктивность и емкость, за­тем вторую, третью и т. д. В цепях подобного рода энергия непрерывно и с постоянной скоростью отсасывается из генера­тора и безостановочно течет в цепь. Энергия запасается в индуктивностях и емкостях вдоль цепи.

Эта идея подсказывает интересную мысль 0 том, что факти­чески происходит внутри цепи. Следует ожидать, что если к переднему концу цепи подключить источник, то действие этого источника начнет распространяться вдоль по цепи к бесконечно­му концу. Распространение волн вдоль линии очень похоже на излучение от антенны, которая отбирает энергию от питающего ее источника; точнее, можно ожидать, что такое распростране­ние происходит, когда импеданс действителен, т. е. когда co меньше 4/LC. Но когда импеданс чисто мнимый, т. е. при co, больших 4/LC, то такого распространения ожидать не следует.