§5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта

В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вы­числении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпри­мем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко полу­чить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпе­нием!

Попробуем подсчитать в точке (х₁, у₁, z₁) скалярный по­тенциал (1), создаваемый точечным зарядом (вроде электро­на), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точеч­ным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда р(х, у, z). Потенциал  можно найти из (21.15):

(21.28)

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от  по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

Через r'₁₂ здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (7), измеренный в более раннее время (t—r₁₂/c). Эта формула ошибочна.

Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как неболь­шое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).

Правильный ответ такой:

(21.29)

где v_r' — компонента скорости заряда, параллельная r₁₂, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со ско­ростью v (фиг. 21:5). Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r₁₂ [расстояния от центра заряда до точки (1)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

(21.30)

где r_i — расстояние от точки (1) к i-му элементу объема V_i, а _i-— плотность заряда в V_i в момент t_i=(t-r_i/с). Поскольку все r_i>>а, удобно будет выбрать все V_i в виде тонких прямо­угольных ломтиков, перпендикулярных к r₁₂ (фиг. 21.6).

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема V_i некоторой толщины w, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как по­казано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема V_i надо брать  в свой момент t~(t-r/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема V_i он окажется в другом месте!

Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент t_l = (t-r₁/с) «задняя» грань заряда пришлась на V_i (фиг, 21.7, б).

Фиг. 21.6, Элемент объема V_i, используемый для вычисления потенциалов.

Фиг. 21.7. Интегрирование (t-r'/c)dV для движущегося заряда.

Тогда, вычисляя ₂V₂, нужно взять положение заряда в несколько более позд­нее время t₂=(t- r₂/c) и заряд к этому времени сместится в по­ложение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с V₃, V₄ и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

Толщина каждого V_i- равна w, а объем wa². Поэтому каж­дый элемент объема, накладывающийся на распределение заряда, содержит в себе заряд wa², где  — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все r_i в знаменателях по­ложить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

где V_N—тот последний элемент V_i, который еще накла­дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна

Но a³ — просто общий заряд q, a Nw—длина b, показанная на фиг. 21.7, д. Получается

(21.31)

А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t₁=(t-r₁/с) до t_N=(t—r_N/с). Это расстояние, пройденное зарядом за время

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное рас­стояние равно vt = vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс a:

Отсюда

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запазды­вающий» момент t' = (t-r'/с); это можно указать, записав [1—v/c]_зап; тогда уравнение (21.23) для потенциала прини­мает вид

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Поя­вился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в ин­теграл увеличивается в b/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r', умноженному на b/а, т.е. на 1/[1—v/c]_зan.

Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить эту составляющую скорости через v_r, то поправочный множитель запишется в виде 1/[1-v_r/с]_зап. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «раз­мер» а заряда не вошел в окончательный итог, то тот же резуль­тат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потен­циал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью,

(21.32)

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

(21.33)

где r — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в кото­рой вычисляется потенциал , а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'=(t—r'/c).

То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна v, а интеграл от  — тот же, что и в . Векторный потенциал равен

(21.34)

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потенциалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помо­щи B=XA и Е=--dA/dt). Теперь остается одна арифме­тика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта.

*Если у вас достаточно времени и вам не жаль бумаги, то попытай­тесь проделать это самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, не забывайте, что производные r' довольно запутанны, ведь они суть функции от t'! Во-вторых, не пытайтесь вывести формулу (21.1); лучше проделайте в ней все дифференцирования и затем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полученным из потенциалов (21.33) и (21.34).