§ 3. Общее peшeниe уравнений Максвелла

Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источ­ника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рас­средоточенного источника? Ну, это решить легко; всякий источ­ник s(x, у, z, t) можно считать состоящим из суммы многих «точечных» источников, расположенных поодиночке в каждом элементе объема dV и имеющих силу s(x, у, z, t)dV. Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет собой суперпози­цию полей от всех таких элементов источника.

Используя результаты предыдущего параграфа [см. (21.13)], мы получим, что в момент t поле dψ в точке (х₁, y_1, z₁) [или, короче, в точке (1)], создаваемое элементом источника sdV в точке (х_2> у₂, z₂) [или, короче, в точке (2)], выражается форму­лой

где r₁₂ — расстояние от (2) до (1). Сложение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей области, где s0, так что мы имеем

(21.14)

Иначе говоря, поле в точке (1) в момент времени t представляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в момент t-r₁₂/c всеми элементами источника, расположенного в точке (2). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников.

Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла. Если подразумевать под ψ скалярный потенциал , то функция источника s превращается в /₀. А можно считать, что ψ представляет одну из трех компонент векторного потен­циала А; тогда s означает соответствующую компоненту j/₀c². Стало быть, если во всех точках известна плотность нарядов (х, у, z, t) и плотность тока j(х, у, z, t), то решения уравнении (21.4) и (21.5) можно выписать немедленно:

(21.15)

(21.16)

Поля Е и В получатся дифференцированием потенциалов [используются выражения (21.2) и (21.3)]. Кстати, можно про­верить явно, что  и А, полученные из (21.15) и (21.16), дей­ствительно удовлетворяют равенству (21.6).

Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятель­ствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцировав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покончено. И это позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчитать элек­трическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с нашей прежней теорией света. Все, что нам остается сделать,— это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из --dA/dt, дифференцируя, найти Е. Мы должны получить формулу (21.1). Работы придется проде­лать много, но принцип ясен.

Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися зарядами, и многое, многое другое. Все сооружение, воздвигнутое Максвел­лом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписываем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой.