§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа

Как мы видели в предыдущем параграфе, очень просто опи­сывать идеальные элементы схем, говоря лишь о том, что про­исходит вне элемента. Ток и напряжение связаны линейно. Но очень сложно описать все то, что на самом деле происходит внутри элемента, и весьма трудно при этом пользоваться языком уравнений Максвелла. Представьте, что вам нужно точно опи­сать электрические и магнитные поля внутри радиоприемника, состоящего из сотен сопротивлений, емкостей и самоиндукций

Фиг. 22.9. Сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого пути равна нулю.

Было бы непосильным делом проана­лизировать такую мешанину, поль­зуясь уравнениями Максвелла. Но, делая множество приближений, ко­торые мы описали в § 2, и переводя существенные черты реальных эле­ментов схем на язык идеализации, можно проанализировать электриче­скую цепь сравнительно просто. Сей­час мы покажем, как это делается. Пусть имеется цепь, которая со­стоит из генератора и нескольких импедансов, между собой так, как показано на фиг. 22.9. Согласно нашим приближениям, в областях между отдельными элементами цепи магнитного поля нет. Поэтому ин­теграл от Е вдоль любой кривой, которая не проходит ни через один из элементов, равен нулю. Рассмотрим кривую Г, показан­ную штрихом на фиг. 22.9, которая обходит по цепи кругом. Контурный интеграл от Е вдоль этой кривой состоит из несколь­ких частей. Каждая часть — это интеграл от одного зажима элемента цепи до следующего. Мы назвали этот контурный ин­теграл падением напряжения на элементе цепи. Тогда весь контурный интеграл равен просто сумме падений напряжения на всех элементах цепи порознь:

А поскольку контурный интеграл равен нулю, то получается, что сумма разностей потенциалов вдоль всего замкнутого кон­тура цепи равна нулю:

(22.14)

Этот результат следует из одного из уравнений Максвелла, ут­верждающего, что в области, где нет магнитных полей, криволи­нейный интеграл от Е по замкнутому контуру равен нулю. Теперь рассмотрим другую цепь (фиг. 22.10). Горизонталь­ная линия, соединяющая выводы а, b, с и d, нарисована для того, чтобы показать, что эти выводы все связаны менаду собой или что они соединяются проводами с ничтожным сопротивлением. Во всяком случае такой чертеж означает, что все выводы а, b, с, d находятся под одним потенциалом, а выводы е, f, g и h — тоже под одним. Тогда падение напряжения V на любом из четырех элементов одинаковое.

Но одна из наших идеализации состояла в том, что на вы­водах импедансов сосредоточиваются пренебрежимо малые количества электричества. Предположим теперь, что и электри­ческим зарядом, накапливаемым на соединительных проводах, тоже можно пренебречь. Тогда сохранение заряда требует, чтобы любой заряд, покинувший один из элементов цепи, не­медленно входил в какой-либо другой элемент цепи. Или, что то же самое, чтобы алгебраическая сумма токов, входящих в лю­бую из точек соединения, была равна нулю. Под точкой соеди­нения мы понимаем любую совокупность выводов, таких, как а, b, с, d, которые соединены друг с другом. Такая совокуп­ность соединенных между собой выводов обычно называется «узлом». Сохранение заряда, стало быть, требует, чтобы в цепи, показанной на фиг. 22.10, было

(22.15)

Сумма токов, входящих в узел, состоящий из четырех выводов е, f, g, h, тоже должна быть равна нулю:

(22.16)

Ясно, что это то же самое уравнение, что и (22.15). Оба эти уравнения не независимы. Общее правило гласит, что сумма то­ков, втекающих в любой узел, обязана быть равна нулю:

(22.17)

Наше прежнее заключение о том, что сумма падений напря­жений вдоль замкнутого контура равна нулю, должно выпол­няться для каждого контура сложной цепи. Точно так же наш результат, что сумма сил токов, втекающих в узел, равна нулю, тоже должен выполняться для любого узла. Эти два уравнения известны под названием пра­вил Кирхгофа.

Фиг, 22.10. Сумма токов, вхо­дящих в любой узел, равна нулю.

Фиг. 22.11. Анализ цепи с помощью правил Кирхгофа.

С их помощью можно найти силы токов и напряжения в какой угодно цепи.

Рассмотрим, например, цепь посложнее (фиг. 22.11). Как определить токи и напряжения в ней? Прямой путь решения таков. Рассмотрим каждый из четырех вспомогательных контуров цепи. (Скажем, один контур проходит через клеммы а, b, е, d и обратно к а.) Для каждого замкнутого контура напишем уравнение первого правила Кирхгофа — сумма падений напряжения вдоль вся­кого контура равна нулю. Нужно помнить, что падение напряжения считается положительным, если направление об­хода совпадает с направлением тока, и отрицательным, если на­правление обхода противоположно направлению тока; и надо еще помнить, что падение напряжения на генераторе равно от­рицательному значению э.д.с. в этом направлении. Так что для контура abeda получается

z₁I₁+ z₃I₃+z₄I₄-₁=0.

Прилагая те же правила к остальным контурам, получим еще три сходных уравнения.

После этого нужно написать уравнения для токов в каждом узле цепи. Например, складывая все токи в узле b, получаем

I₁-I₃-I₂=0.

Аналогично, в узле е уравнение для токов принимает вид

I₃-I₄+I₈-I₅=0.

В изображенной схеме таких уравнений для токов пять. Ока­зывается, однако, что любое из этих уравнений можно вывести из остальных четырех, поэтому независимых уравнений только четыре. Итого в нашем распоряжении восемь независимых ли­нейных уравнений: четыре для напряжений, четыре для токов. Из них можно получить восемь независимых токов. А если станут известны токи, то определится и вся цепь. Падение напряжения на любом элементе дается током через этот элемент, умноженным на его импеданс (а для источников напряжения они вообще известны заранее).

Мы видели, что одно из уравнений для тока зависит от ос­тальных. Вообще-то уравнений для напряжения тоже можно написать больше, чем нужно. Хотя в схеме фиг. 22.11 и рас­сматривалась только четверка самых маленьких контуров, но ничего не стоило взять другие контуры и выписать для них уравнения для напряжений. Можно было взять, скажем, путь abcfeda. Или сделать обход по пути abcfehgda. Вы видите, что контуров — множество. И, анализируя сложные схемы, ничего не стоит получить слишком много уравнений. Но хоть есть пра­вила, которые подсказывают, как надо поступать, чтобы вышло наименьшее количество уравнений, обычно и так бывает сразу понятно, как выписать нужное число простейших уравнений. Кроме того, одно-два лишних уравнения вреда не приносят. К неверному ответу они не приведут, разве только немного запу­тают выкладки.

В гл. 25 (вып. 2) мы показали, что, если два импеданса z₁ и z₂ соединены последовательно, они эквивалентны одиночному импедансу z_s, равному

z_s = z_l + z₂. (22.18)

Кроме того, было показано, что, когда два импеданса соединены параллельно, они эквивалентны одиночному импедансу z_p , равному

(22.19)

Если вы теперь оглянетесь назад, то увидите, что, выводя эти результаты, на самом деле вы пользовались правилами Кирх­гофа. Часто можно проанализировать сложную схему, повторно применяя формулы для последовательного и параллельного импедансов.

Фиг. 22.12, Цепь, которую мож­но проанализировать с помощью последовательных и параллель­ных комбинаций.

Фиг. 22,13. Цепь, кото­рую нельзя проанализи­ровать с помощью последовательных и параллельных комбинаций.

Скажем, таким способом можно проанализировать схему, показанную на фиг. 22.12. Импедансы z₄ и z₅ можно заменить их параллельным эквивалентом, то же можно сделать с импедансами z₆ и z₇. Затем импеданс z₂ можно скомбинировать с параллельным эквивалентом z₆ и z₇, по правилу последова­тельного соединения импедансов. Так постепенно можно свести всю схему к генератору, последовательно соединенному с одним импедансом Z. И тогда ток через генератор просто равен /Z. А действуя в обратном порядке, можно найти токи в каждом импедансе.

Однако бывают совсем простые схемы, которые этим методом не проанализируешь. Например, схема фиг. 22.13. Чтобы проанализировать эту цепь, надо расписать уравнения для токов и напряжений по правилам Кирхгофа. Давайте проделаем это. Имеется только одно уравнение для токов:

I₁ + I₂ + I₃=0, откуда

I₃=-(I₁+I₂).

Выкладки можно сэкономить, если этот результат сразу же подставить в уравнения для напряжений. В этой схеме таких уравнений два:

-E_l + I₂z₂-I_lz_l=0 и £₂-(I_l + I₂)z₃-I₂z₂=0.

На два уравнения приходится два неизвестных тока. Решая их, получаем 1₁ и I₂:

(22.20)

и

(22.21)

А третий ток получается как сумма первых двух.

Вот еще пример цепи, которую по правилам параллель­ных и последовательных импедансов рассчитывать нельзя

Фиг. 22.14. Мостиковая схема.

(фиг. 22.14). Такую схему на­зывают «мостик». Она встре­чается во многих приборах, измеряющих импедансы. В таких схемах обычно инте­ресуются таким вопросом:

как должны соотноситься различные импедансы, чтобы ток че­рез импеданс z_s был равен нулю? Вам предоставляется право найти те условия, при которых это действительно так,