§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение

Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запи­шем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.

Начнем с •В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали

B = XA, (18.16)

то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А', если A'=A+t, где — любое скалярное поле, потому что ротор  — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)

Теперь разберем закон Фарадея XE= -dB/dt, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы за­пишем В как XA и продифференцируем по t, то сможем пере­писать закон Фарадея в форме

XE = - d/dtXA.

Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по вре­мени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде

(18.17)

Мы видим, что Е+дА/дt — это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было XE=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от - (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+дA/дt; мы полагаем

(18.18)

Мы используем то же обозначение , так что в электростатиче­ском случае, когда ничто не меняется со временем и dA/dt исчезает, Е будет нашим старым -. Итак, закон Фарадея можно представить в форме

(18.19)

Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал  и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции.

Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же про­изойдет, когда мы заменим А на A'=A+? В общем, Е долж­но было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и  вместе по правилам

(18.20)

Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меня­ются.

Раньше мы выбирали •А=0, чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.

Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвел­ла, которые свяжут потенциалы и источники  и j. Раз мы можем определить А и  из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.

Начнем с подстановки уравнения (18.19) в •E=/₀; получаем

это можно записать еще в виде

(18.21)

Таково первое уравнение, связывающее  и А с источниками, Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:

а затем выразим В и Е через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):

Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество Vx (XA) =  (•A)-²A; мы получаем

(18.22)

Не очень-то оно простое!

К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для А и для  разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая

(18.23)

Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:

(18.24)

И. наше уравнение (18.21) для  принимает такую же форму:

(18.25)

Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит , а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит не­много нелепо — лапласиан вместе с (d/dt)², когда мы раскроем ее, то обнаружим

(18.26)

Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (-1/с²) нужно, конечно, потому, что время и координаты раз­личаются; у них разные единицы.

Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов  и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций , А_х, А_у и А_г. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е изXЕ и--dA/dt. Мы приходим к другой форме электро­магнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.

Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме

и видели, что оно описывает распространение волн в x-направлении со скоростью с. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что  и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность  и А, которые ме­няются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы.

С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и  в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные урав­нения в терминах Е и В. Но они — по ту сторону горы, на ко­торую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе, — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.

*Это не совсем так. Поля могут быть «поглощены», если попадут в область, в которой есть заряды.

Это значит, что где-то могут быть созданы другие поля, которые наложатся на эти поля и «погасят»их в результате деструктивной интерференции (см. гл. 31, вып. 3)

* К-2— вторая по высоте вершина мира в северо-западных отрогах Гималаев, называемых Каракорум.—- Прим. ред.

*Выбор значения •А называется «выбором калибровки». Изменение А за счет добавления  называется «калибровочным преобра­зованием». Выбор (18.23) называют «калибровкой Лоренца».