3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа

Пусть f(x) определена на интервале X= (c,a) , где a – число. Предел слева определяется следующим образом:

.

Стандартное обозначение одностороннего предела слева: . Аналогично определяется предел справа, именно .

.

Стандартное обозначение одностороннего предела справа:

3.2.3. Связь предела с односторонними пределами

Пусть функция f(x) определена на (a,b) за исключением, быть может, точки x₀(a,b) .

Теорема. Для того, чтобы существовал предел , (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.

Доказательство этого утверждения следует непосредственно из определения.

Замечание. Теорема верна и для A=+ ,-, но формально не верна для A=.

Пример: f(x)=1/x, x₀=0,

3.2.4. Определение предела по Гейне

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x x₀ (или в x₀) заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1. {x_n}X.

2. x_n  x₀.

3. 

Последовательностью типа Гейне {x_n} при xx₀ – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x x₀+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X.

2) ------

3) =.

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x+ называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X.

2) ------

3) =+.

Последовательностью типа Гейне {x_n} при x - называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {x_n}X.

2) ------

3)

Определение предела по Гейне . Пусть f определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при xa будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Kоши Гейне (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть по Коши. Пусть {x_k} последовательность типа Гейне при xa. Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность такая, что

(xX) (f(x)U(A)). (1)

Так как =a , то для U(a) существует N n>N: x_n U(a). Поскольку x_n  a, то n>N: x_n, следовательно n>N : x_nX откуда, согласно (1), будет выполнено f(x_n)U(A), т.е. .

Доказательство. Гейне  Kоши (частный случай, a и A - числа). Предположим противное: ₀>0>0 x,0<|x - a|<:|f(x) - A| ₀ . Для _n=1/n будет существовать x_n, 0<| x_n - a|<1/n такое, что |f(x_n)-A|₀ . Построенная последовательность { x_n } является последовательностью типа Гейне при xa , тогда по условию , но это противоречит неравенству |f(x_n) - A|  ₀.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание 1. Определения односторонних пределов так же эквивалентны по Коши и по Гейне.

Замечание 2. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы , . Пусть {x_k} последовательность типа Гейне при xa, тогда , . По свойству пределов последовательностей будет выполнено . Таким образом, для любой последовательности типа Гейне {x_k} оказыватся выполненным равенство: . Последнее означает, что .