Глава 4 Дифференциальное исчисление

4.1 Производная

Производная. Дифференцируемость и дифференциал. Правила дифференцирования, производные элементарных функций.

4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀.

Терминология

x=x - x₀ – приращение аргумента.

y= f =f(x) - f(x₀) – приращение функции.

Определение. Производная в точке x₀ определяется, как предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю

f(x₀)= =.

Обозначения для производной

Лейбниц, f(x₀) Лагранж, (x) Ньютон, Df(x₀) Коши.

Аналогично определяются односторонние производные f(x₀+0), f(x₀-0).

f(x₀+0)= , f(x₀ - 0)=.

Теорема. Для существования производной f(x₀) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f(x₀+0), f(x₀ - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.

Если f существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f (x), которая называется производной функцией.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x₀ называется дифференцируемой в точке x₀, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

f = f(x) - f(x₀) = A(x - x₀)+o (x – x₀), xx₀

Теорема. Для существования f (x₀) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x₀.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

 A  .

Замечание. Отметим, что A= f (x₀).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x x₀ называется касательной к графику функции f(x) в точке x₀ .

=arctg=arctg f(x₀).

Рис. 4.1

Для точек (x,y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,

. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x₀ равен ,. Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x₀: .

Рис. 4.2

Последнее равенство можно сравнить с определением дифференцируемости в точке .

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: .

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.

4.1.2. Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции Ax в определении дифференцируемости функции

f=f(x) - f(x₀)=A(x - x₀)+o (x – x₀), xx₀

называется дифференциалом функции f(x) в точке x₀ и обозначается

df(x₀)=f(x₀)x= Ax.

Дифференциал зависит от точки x₀ и от приращения x. На x при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения x.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Рис. 4.3