Матан. Кратные интегралы
..pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Северский технологический институт
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Утверждаю Зав.кафедрой ВМ профессор
_______________ Н.И. Федосов «____»_____________2010 г.
И.Л. Фаустова
Высшая математика
Контрольная работа «Кратные интегралы»
Практическое руководство
Северск 2010
УДК 517.3(076.5) ББК _____
Ф 517
Фаустова И.Л. Высшая математика. Контрольная работа «Кратные интегралы»: практическое руководство. – Северск: Изд. СТИ НИЯУ МИФИ, 2010. – 49 с.
В данном руководстве рассматривается раздел интегрального исчисления для функций нескольких переменных. Руководство содержит рекомендации для студентов и нацелено на оказание помощи студентам при выполнении ими контрольной работы и индивидуальных заданий по данной части курса высшей математики. Все задания разбиты на варианты, позволяющие осуществить индивидуальный подход к проверке качества знаний студентов.
Руководство предназначено для студентов первого курса СТИ НИЯ МИФИ, очной, очно-заочной и заочной форм обучения специальностей 140604 («Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов»), 140306 («Электроника и автоматика физических установок»), 240801 («Машины и аппараты химических производств»), 250900 («Химическая технология материалов современной энергетики»), 140211 («Электроснабжение»), 220301 («Автоматизация технологических процессов и производств в ядерно-химической отрасли»).
Руководство одобрено на заседании кафедры высшей математики (про-
токол № 2 от " 15 " февраля 2010 г.).
Печатается в соответствии с планом выпуска учебно – методической литературы на 2010 г., утвержденным Советом СТИ НИЯУ МИФИ.
Рег.№ __9/10___ от «_22__» _03. 2010 г.__
Рецензент И.В. Карелина–доцент кафедры ВМ СТИ НИЯУ МИФИ, канд.физ.–мат. наук
Редактор Р.В. Фирсова
Подписано к печати "___"________ Формат 60х84/32 Гарнитура Times New Roman. Бумага писчая № 2. Плоская печать. Усл.печ.л. 1,42 Уч.изд.л. 2,57 Тираж 50 экз. Заказ ______
Отпечатано в ИИО СТИ НИЯУ МИФИ 636036 Томская обл., г. Северск, пр. Коммунистический, 65
2
|
Содержание |
|
1 |
Содержание теоретической части .................................................................. |
4 |
2 |
Методические указания к выполнению контрольной |
работы |
|
«Кратные интегралы» ..................................................................................... |
5 |
3 |
Варианты контрольной работы ...................................................................... |
20 |
|
Рекомендуемая литература.............................................................................. |
45 |
|
Приложение А Таблица поверхностей 2-го порядка……………..……..… 46 |
|
|
Приложение Б Таблица неопределенных интегралов………...……..……. 48 |
|
1 Содержание теоретической части темы «Кратные интегралы»
1.1Кратные интегралы.
1.2Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат. Приложения двойного интеграла.
1.3Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
1.4Тройной интеграл и его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат. Приложения тройного интеграла.
1.5Замена переменных в тройном интеграле.
4
2 Методические указания к выполнению контрольной работы «Кратные интегралы»
Задача 1 – Изменить порядок интегрирования в интеграле:
− 3 |
4−x2 |
0 |
2− 4−x2 |
|
I = ∫dx |
∫ f (x, y)dy + ∫dx |
∫ |
f (x, y)dy. |
|
−2 |
0 |
− 3 |
0 |
|
Решение – Так как повторный интеграл представляет собой сумму двух слагаемых, то область интегрирования состоит из двух областей (D1) и (D2). С помощью указанных в интеграле пределов восстановим эти области, как показано на рисунке 3.
Область (D1) ограничена линиями:
х = -2, х = - 
3 , у1 = 0, у2 = 
4 − x2 .
Возведем в квадрат обе части последнего уравнения и проведем не сложные преобразования. Поскольку по условию у2 ≥ 0, то кривая у2 есть верхняя половина окружности х2 + у2 = 4 с центром в точке (0,0) и радиусом г=2. Таким образом, линией входа является ось Оx, а линией выхода - верхняя полуок-
ружность у2 = 
4 − x2 .
Область (D2) ограничена линиями:
х=- 
3 , х = 0, у1 = 0, у2 = 2 - 
4 − x2 .
Вобласти (D2) переменная х изменяется в интервале [- 
3 ,0], при этом линией входа является ось Оx, а линией выхода - нижняя полуокружность:
у2 = 2 - 
4 − x2 ( у - 2 = - 
4 − x2 (у - 2)2 = 4 - х2 х2 + (у - 2)2 = 4 -
окружность с центром в точке (0;2) и радиусом г=2).
5
Запишем двойной интеграл по данной области в виде повторного, используя другой порядок интегрирования. Спроецируем область на ось Оy. Проекцией окажется отрезок. Для нахождения границ данного отрезка необходимо определить точку пересечения окружностей, т.е. решить систему уравнений:
x2 |
+ y 2 = 4 |
x2 |
+ y 2 |
= 4 |
x |
2 + y 2 = 4 |
|
x = ± 3 |
|
+( y −2)2 = 4 |
|
+ y 2 |
−4 y + 4 = 4 |
|
−4 y = 0 |
|
|
x2 |
x2 |
4 |
|
y =1 |
||||
|
|
|
y |
4 |
|
x2 + (y - 2)2 = 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 = 4
(D1)
-2 |
0 |
2 |
x |
|
|
|
(D2)
-2
Рисунок 1
Согласно условию задачи х ≤ 0 и у ≥ 0, следовательно, проекцией рассматриваемой области на ось Оy будет отрезок [0,1]. Пересекая область прямой, параллельной оси Оx, видим, что линией входа служит дуга окружности х2 + у2 = 4, а линией выхода - дуга окружности х2 + (у - 2)2 = 4.
6
Запишем повторный интеграл:
− 3 |
4−x2 |
0 |
2− 4−x2 |
1 |
− 4−(y−2)2 |
|
∫dx ∫f (x, y)dy+ ∫dx ∫f (x, y)dy=∫dy |
∫f (x, y)dx. |
|||||
−2 |
0 |
− 3 |
0 |
0 |
|
− 4−y2 |
1 − 4−(y−2)2
Ответ: ∫dy |
∫f(x,y)dx. |
|
|
|
|
0 |
− 4−y2 |
|
|
|
|
Задача 2 – Вычислить двойной интеграл по области D: |
|
|
|
||
а) ∫∫(54x2 y2 |
+150x4 y4 ) dxdy , |
где D : х = 1, у = х3, у = - |
x ; |
|
|
D |
|
|
|
|
|
б) ∫∫ 12 y e6 xy dxdy , |
где D: у = ln3, у = ln4, х = |
1 |
, х = |
1 . |
|
D |
|
|
6 |
|
3 |
Решение – а) график области (D) изображен на рисунке 2. При построении повторного интеграла внутреннее интегрирование целесообразно проводить по переменной у, а внешнее - по переменной х.
Как видно из рисунка 2, переменная х внешнего интеграла изменяется от 0 до 1. Внутренняя переменная у при этом меняется от у1(х) = - 
x (на входе) до у2 = х3 (на выходе).
y
y = x3
1
0 |
1 |
x |
-1 |
y = − |
x |
|
|
Рисунок 2
7
1 |
x 3 |
1 |
|
y3 |
|
y5 |
|
x |
3 |
||
|
|
|
|||||||||
I = ∫dx |
∫(54x 2 y2 +150 x 4 y4 )dy = ∫(54x 2 |
|
+150 x 4 |
) |
dx = |
||||||
3 |
5 |
|
|||||||||
0 |
− x |
0 |
|
|
− |
x |
|||||
1 |
3 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||
= ∫(18x 2 x9 + 30x 4 x15 +18x 2 x |
|
+ 30x 4 x |
|
)dx = |
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
1 |
7 |
13 |
|
= ∫(18x11 +30x19 +18x |
2 |
+ 30x |
2 |
)dx =
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
15 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 18 |
( x |
|
+ |
2 x |
|
) + 30 |
( x |
|
|
+ |
|
2 |
x |
|
) |
|
= |
|
|||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
15 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
9 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=18 ( |
1 |
|
+ |
2) + 30 ( |
1 |
|
+ |
|
2 |
) = |
3 + 4 + |
3 |
+ 4 |
=11. |
|||||||||||
12 |
|
20 |
|
15 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 11.
б) область интегрирования прямоугольная, изображенная на рисунке 3. Поэтому можно выбрать любой порядок интегрирования.
y
ln 3
ln 4
0 |
1/6 |
1/3 x |
Рисунок 3
8
Интегрируя сначала по у, а затем по х, получим:
ln4 |
1 |
ln4 |
|
|
|
|
1 |
ln4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
1 6xy |
|
3 |
|
y |
|
1 2y |
|
y |
|||||||||||
|
|
|
|
6xy |
|
|
|
2y |
|
|
|
|||||||||
I = ∫dy∫12ye dx=12∫ y |
|
|
e |
|
|
|
dy=2 ∫(e |
−e |
|
)dy=2 |
|
|
e |
−e |
|
= |
||||
6y |
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||
ln3 |
1 |
|
ln3 |
|
|
1 |
ln3 |
|
|
|
|
|
|
ln3 |
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
=2(12 e2ln4 −12e2ln3 −eln4 +eln3) =16−9−8+6=5.
Ответ: 5.
Задача 3 – Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
а) |
х2 |
+ у2 = 12, 6 х = у2, (х ≥ 0); |
||
б) |
у2 – 4.y + х2 = 0, у2 -8.у + х2 = 0, у = |
x |
, х = 0. |
|
3 |
||||
Решение – а) график области (D) изображен на рисунке 4.
y |
x2 |
+ y2 =12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= 6 x |
|
12 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
12 |
x |
Рисунок 4
9
Площадь фигуры вычисляется в декартовой системе координат по формуле:
S = ∫∫dS = ∫∫dxdy .
D D
Область (D) является правильной в направлении оси Оx. Поэтому внутренний интеграл вычисляется по переменной х, а внешний - по переменной у. Спроецируем область (D) на ось Оy. Для нахождения границ отрезка [a,b] необходимо определить точки пересечения кривых х2 + у2 = 12 (окруж-
ность с центром в точке (0,0) и радиусом r = 
12 ) и у2 = 
6 х (парабола с вершиной в точке (0,0), симметричная относительно оси Оx):
|
|
2 |
+ у |
2 |
=12 |
|
|
|
|
2 |
+ 6 |
|
х −12 =0 |
|
х = 6,т.к.(х >0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
у |
= 6 х |
|
|
|
у |
= 6 |
х |
|
|
|
у |
=6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
12 sin t |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
12−y2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
dy = 12 costdt |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 12 − y2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|||||||||||||
S = ∫∫dxdy = ∫dy |
|
|
∫dx = |
|
|
∫ |
|
|
)dy |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
t1 =arcsin(− |
2 ) |
= − |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
− 6 |
|
|
y2 |
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 = |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= ∫ |
12cos |
|
tdt − |
|
|
|
|
|
∫ |
y |
|
dy |
=12 |
|
∫(1 + cos2t)dt − |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
6 − |
|
2 |
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
− |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ππ
|
|
4 |
|
|
1 |
|
4 |
|
1 |
|
( 6)3 |
|
1 |
|
( 6)3 |
|
|||
=6 t |
|
+ |
6 |
2 |
sin 2t |
− |
|
|
|
3 |
− |
|
|
3 |
= |
||||
|
|
6 |
6 |
||||||||||||||||
|
−π |
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=6( |
π |
+ |
π) +3sin |
π |
−3sin(− |
π) − |
2 |
( |
6)2 =3π+3 +3 − 4 =3π+ 2. |
||||||||||
4 |
2 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: 3π + 2.
10