- •Геометрический смысл производной
- •Производные и дифференциалы высших порядков
- •1.3.5. Монотонность функций
- •Асимптоты
- •Построение графиков функций
- •16.3. Интегрирование иррациональных функций
- •I. Задача о массе стержня
- •Понятие определенного интеграла и его вычисление.
- •Вычисление объемов тел
- •Вычисление площади поверхности вращения.
- •Полный дифференциал
- •"Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков"
- •Примеры решения задач
- •"Экстремум функции двух переменных"
- •Примеры решения задач
- •Вычисление двойных интегралов
- •"Криволинейные интегралы"
- •Свойства криволинейного интеграла II рода
- •Вычисление криволинейного интеграла II рода
- •Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнения (оду)
- •Однородные уравнения
- •Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Числовые ряды.
- •Конечна.
- •Простейшие свойства числовых рядов.
- •1. Линейность.
- •2. На сходимость ряда не влияет изменение первых членов ряда:
- •"Ряды Фурье"
- •Сложение и вычитание
- •Умножение комплексных чисел
- •Геометрическое изображение комплексных чисел
- •Тригонометрическая форма комплексного числа, формула
Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.
Основные правила дифференцирования:
-
Если функция константа, т.е. y = C, где C - число, то (С)=0 .
-
Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (v+u)=v+u.
-
Если функция Cu , где C - постоянная, дифференцируема в точке x, то (Сu)=Сu .
-
Если функции u и v дифференцируемы в точке x, то (uv)=uv+uv.
-
Если функции u и v дифференцируемы в точке x и v(x)=0, то (vu)=v2uv−uv.
Геометрический смысл производной
Ключевые слова: геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf(x0+x)−f(x0)=tg, где - угол наклона секущейAB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и состоит геометрический смысл производной.
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t0 до t0 + точка перемещается на расстояние: x ( t0 + ) x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна: va = . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t0 ) материальной точки в момент времени t0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v’ ( t ).
Правила дифференцирования общих функций
Таблица производных
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.
Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x0)·Δx.
Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.
Откуда
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx
|
Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производнойфункции f и обозначается f". Таким образом,
f"(x) = (f'(x))'.
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,
f(n)(x) = (f(n-1)(x))', n ϵ N, f(0)(x) = f(x).
Число n называется порядком производной.
Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf(x) = d(dn-1f(x)), d0f(x) = f(x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d2x = d3x = ... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf(x) = f(n)(x)(dx)n.
Формула Тейлора
(Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора).