3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на [a,b], была непрерывна на [a,b], необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)], либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x₀(a,b], и для x₀[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x₀(a,b], A=, тогда для x[a,x₀) :f(x)A и для >0 x[a,x₀):A- <f(x).

Рис. 3.11

Так как функция монотонно возрастает, то x(x,x₀):A- < f(x)  f(x)A. Таким образом, равенство доказано.

Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x₀ имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений:

,.

Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме .

Имеем при x  x₀, f(x₀) < f(x₀+0)  f(x) при . Таким образом, значения между f(x₀), f(x₀+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы.

Рис. 3.12

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

3.5.6.Непрерывность обратной функции

Еще раз определение обратной функции. Пусть f(x) определена на X и Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x₁ и x₂ соответствуют различные значения y₁ =f(x₁), y₂=f(x₂). Тогда для любого y Y !xX: y=f(x), такое соответствие y x называется обратной функцией и обозначается x=f ^-1(y). У обратной функции областью определения будет Y , а областью значений X.

Лемма. Обратная функция строго монотонно возрастающей функции будет строго монотонно возрастать. Обратная функция строго монотонно убывающей функции будет строго монотонно убывать.

Доказательство. Например, пусть f(x) строго монотонно возрастает. Если y₁ ,y₂ из области значений функции f(x) и y₁ < y₂ , то

f ^-1(y₁) < f ^-1(y₂). Действительно, если предположить противное: , то из условия монотонного возрастания функции f(x) получим неравенство y₁= f(x₁)  f (x₂)=y₂ , что противоречит условию y₁ < y₂ . Аналогично доказывается, что обратная к монотонно убывающей функции является монотонно убывающей функцией.

Теорема ( существование и непрерывность обратной функции у монотонной )

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.

Доказательство. Существование обратной функции следует из строгой монотонности. Кроме того, обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность. Аналогичная теорема имеет место для строго монотонно убывающей функции.