- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
1.1.4.Вещественные числа
Рассматривается множество R, со следующими свойствами
1. Свойство упорядоченности
Для любых элементов этого множества a, b выполнено: либо a < b, либо a = b, либо a > b
1.1 a < b, b < c a < c ( свойство транзитивности ).
Определение: ( a < b ) или ( a = b ) , то пишут a b.
2. Свойства операции сложения. Имеется отображение из R2 в R: a,b a+b.
-
a + b = b + a (коммутативность).
( в терминах суждений можно было бы написать
a:( b: a + b = b + a) ).
2.2 a + ( b + c ) = ( a + b ) + c (ассоциативность).
2.3 0 a R : a + 0 = a.
2.4 a противоположный - a : a + (-a) = 0.
Определение: b – a = b + (-a).
2.5 a < b a + c < b + c , ( c ).
3. Свойства операций умножения (Имеется отображение a,b ab).
3.1 a b = b a (коммутативность).
3.2 a ( b c ) = ( a b ) c (ассоциативность).
3.3 в множестве существует элемент обозначаемый 1, такой, что
a R : 1 a = a.
3.4 a0 a -1(обратный ): a a -1 = 1.
Определение: .
3.5 a < b и c > 0 a c < b c .
a < b и c < 0 a c > b c .
4. Связь операций
4.1 ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность ).
Определение
| a | =
Свойства: | a + b | | a | + | b |, | | a | - | b | | | a – b |.
5. Свойство Архимеда (постулат Архимеда)
|
Из двух неравных линий, двух неравных поверхновтей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее чило раз. |
|
Архимед. |
a nN: n > a.
Следствие: a>0 b n N: na > b.
6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип вложенных отрезков.
Вначале некоторые определения.
Отрезок или сегмент - [a,b]={x:axb}, b - a – длина отрезка.
Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj,bj]} называется системой вложенных отрезков, если k: [ak+1,bk+1][ak,bk] .
Принцип вложенных отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы один a R, общий для всех отрезков.
Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается R. Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».
Определение. Система отрезков стягивается к 0, если
>0 N n>N: bn -an < .
Лемма Кантора. Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков [ak,bk] существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.
Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x , y и x < y. Тогда
n: an x < y bn n: y – x bn - an.
Возьмем = y – x. Для него N, n > N: bn - an < , что противоречит предыдущему неравенству.
Примеры работы с символом суммы .
Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов
Cnk + Cnk-1=, где , n! =12…n,
Действительно, распишем подробно сумму биномиальных коэффициентов
====.
Доказанное свойство является одним из свойств треугольника Паскаля. В таблице в левом столбце указана степень бинома. По стронам треугольника проставляются единицы, а каждый биномиальный коэффициент внутри треугольника получается сложением двух, стоящих над ним коэффициентов.
n |
Биномиальные коэффициенты |
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
1 |
|
4 |
|
6 |
|
4 |
|
1 |
|
|
5 |
|
1 |
|
5 |
|
10 |
|
10 |
|
5 |
|
1 |
|
6 |
1 |
|
6 |
|
15 |
|
20 |
|
15 |
|
6 |
|
1 |
Треугольник Паскаля
Пример 2: Доказать равенство .
=. В первой сумме сделаем замену индекса суммирования k+1 =m, k=m-1. Когда k меняется в пределах 0,…,n индекс m будет изменяться в пределах от 1 до n+1. В результате этой замены получим: ==. В последнем равенстве суммы и , очевидно, совпадают и, таким образом, в результате получается разность .
Пример 3: Доказать по индукции равенство (бином Ньютона) , где .
Формула верна при n =1. Предположим, что она верна для n , докажем ее для n+1.
==
(замена m=k+1)== ===.