2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {x_n} называется ее верхним пределом, , где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что . Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то . Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.

Без доказательства.

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество конечных частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {x_n}.

2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности

Условие Коши: > 0Nn > Np:|x_n+p - x_n|<

Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {x_n} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть  >0 . Для =/2Nn>N:|x_n -a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |x_n+p -a|< /2. Таким образом, для n>Np:|x_n+p - x_n| |x_n+p - a|+|a - x_n| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть  >0. Для

(1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Докажем, что является пределом последовательности . Для ранее выбранного 

(2)

Тогда можно выбрать достаточно большое так, что и . Тогда, при будет выполнено: . Ч.т.д .

2.4. Свойства последовательностей

Операции над последовмтельностями, свойства пределов.

2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями

Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число. Сумма двух последовательностей {x_k}, {y_k} определяется, как {x_k +y_k}. Произведение последовательности {x_k} на число c определяется, как последовательность {c x_k}.

Последовательность _n называется бесконечно малой (б.м.), если .

Последовательность _n называется бесконечно большой (б.б.), если .

1) если |_n| б.м. , то {_n} б.м.

2) если _n , _n б.м., то {_n+_n} б.м.

Следствие. {_n+_n+…+_n} б.м., если все _n , _n ,… б.м.

Определение. Произведением двух последовательностей {x_k}, {y_k} называется последовательность {x_ky_k}.

3) произведение б.м.последовательности на ограниченную является б.м. последовательностью.

Следствие. Произведение конечного числа б.м. является б.м..

4) {1/_n} б.б., если {_n} б.м. _n0.

Доказательство: Возьмем произвольное , тогда для или Таким образом, , следовательно, последовательность - бесконечно большая.

5) {1/_n} б.м., если {_n} б.б., _n0.

6) Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б.м. {_n} такой, что

7) {x_n},{y_n} сходятся, то сходится {x_n+y_n} и

Следствие. Свойство 7) распространяется и на конечные суммы.

Замечание. Свойство 7) нарушается, если хотя бы один из пределов равен .

8) {x_n},{y_n} сходятся, то сходится {x_ny_n} и .

_{Доказательство.}

Следствие 1.Если {x_n} сходятся, то сходится {сx_n} и

Следствие 2. x_na 

9) x_na  |x_n||a|.

10) x_na, y_nb, y_n0, b0 

Лемма. Если y_nb, y_n0, b0, то |1/y_n| ограничена.

Доказательство: , тогда для

Таким образом,

Доказательство свойства 10).

.

Последовательность по лемме ограничена, последовательность - бесконечно малая.