1.2. Комплексные числа
Определение комплексного числа и свойста комплексных чисел.
1.2.1. Определение комплексного числа
Множество комплексных чисел определяется, как множество упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.
Два комплексных числа z1 , z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части
z1 = z2 { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.
Операции сложения и умножения определяются по следующим правилам:
Сложение z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2).
Сложение комплексных чисел
Умножение
.
Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).
Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.
Рис. 1.4
1.2.2. Свойства комплексных чисел
Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.
1) z1 +z2 = z1 + z2 .
2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3.
3) обозначим
=
(0, 0),
тогда для
любого z
будет
выполнено
z
+
= z.
4) zC
можно
определить противоположное комплексное
число
-z=(-x,-y),
которое
обладает
следующим
свойством:
.
5) z1 z2 = z2 z1.
6) z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3.
7) определим
комплексную единицу:
=(1,0)
, тогда z:
z
= z.
8) для
z
существует
обратное
комплексное число z-1:
Существование обратного числа. Пусть z=(x,y). Будем искать число
z-1=(u,v),
удовлетворяющее нужным свойствам:
.
Решая эту
систему, получим
.
Частное
двух комплексных чисел определяется
по формуле
.
9) Свойвство дистибутивности: z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
1.2.3. Алгебраическая форма записи
Рассмотрим
отображение c(x)
из R
в C:
,
где xR,
C
. Множество
комплексных чисел (x,0),
обозначим
С
.
Отображение c(x)
взаимно-однозначно, причем
-
c(x+y) = c(x)+c(y).
-
c(xy) = c(x)c(y).
-
c(0) =
-
c(1) =
Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).
Эти свойства
позволяют отождествлять числа
с
вещественными числами x.
В дальнейшем волну будем опускать.
Множество чисел (x,0)
называется
вещественной осью.
Мнимая единица.
Введем
обозначение i=(0,1).
Это комплексное число называется мнимой
единицей. Отметим, что
Рассмотрим запись x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом можно записать z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y)=iy называется мнимой осью.
1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Для
z=(x,y),
определяется
комплексно
сопряженное
число
.
На комплексной
плоскости сопряженное число расположено
по отношению к данному числу симметрично
относительно вещественной оси.
Модуль комплексного
числа определяется
по формуле:
.
Отметим, что
.
Рис. 1.5
Пример. Для
представления комплексного числа
в алгебраической форме домножим числитель
и знаменатель на сопряженное число
знаменателя:
.
В результате получим:
Определение аргумента комплексного числа.
Главным значением
аргумента комплексного числа
называется
угол между положительным направлением
вещественной оси и радиус вектором
комплексного числа, лежащий в диапазоне
[0,2).
Главное значение аргумента обозначается
arg
z
. Аргумент комплексного числа Arg
.
Например,
для первой четверти
комплексной плоскости arg
z
= arctg
y/x
.
Тригонометрическая форма представления комплексного числа:
z = x + iy = r( cos + i sin ), (1)
где =Arg
z,
.
Рис. 1.6
Формулы Эйлера.
Введем обозначения
ei = cos + i sin , откуда следует, что
cos
=
,
sin
=
.
Замечание.
Определение
комплексного числа ez
в общем случае z=x+iy
производится
по формуле
.
Свойства символа ei. Непосредственно из определения следует
ei(+) = ei ei, (ei)n=ein .
Проверка:
=
+
.
С другой стороны
тоже самое получится, если перемножить
:
=
+
+
.
Используя обозначение ei комплексное число можно представить в виде
z = rei (2)
Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.