- •Логинов а.С. Часть 1. Дифференциальное исчисление Глава 1. Ведение
- •1.1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •1.1.1. Множество, операции над множествами, обозначения
- •1.1.2. Отображение, взаимно-однозначное соответствие, счетное и несчетное множества
- •1.1.3.Некоторые понятия математической логики (Дж. Маллас Пролог)
- •1.1.4.Вещественные числа
- •1.2. Комплексные числа
- •1.2.1. Определение комплексного числа
- •1.2.2. Свойства комплексных чисел
- •1.2.3. Алгебраическая форма записи
- •1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
- •1.2.5. Формула Муавра
- •1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани
- •1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества
- •Глава 2. Последовательности
- •2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
- •2.1.2. Предел последовательности
- •2.1.3. Несобственные пределы
- •2.2. Теоремы о пределах последовательностей
- •2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей
- •2.2.2. Монотонные последовательности
- •2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел
- •2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса
- •2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности
- •2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности
- •2.4. Свойства последовательностей
- •2.4.1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
- •Глава 3. Предел функции. Непрерывность
- •3.1. Основные понятия, относящиеся к функции
- •3.1.2.Ограниченность. Точные грани
- •3.1.3.Элементарные функции
- •3.2. Предел функции
- •3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа
- •3.2.3. Связь предела с односторонними пределами
- •3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции
- •3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел
- •3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке
- •3.2.8. Предел сложной функции
- •3.3 Свойства пределов
- •3.3.1. Переход к пределу в неравенствах
- •3.3.2. Арифметические операции над пределами
- •3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3.3.4. Сравнение б.М. И б.Б. Функций. Символы o,o
- •3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
- •3.4.1. Первый замечательный предел.
- •3.4.2. Второй замечательный предел.
- •3.5 Непрерывные функции
- •3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций
- •Определение. Если существуют конечные пределы
- •3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса
- •3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции
- •3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции
- •3.5.6.Непрерывность обратной функции
- •3.5.7.Непрерывность элементарных функций
- •3.5.8.Равномерная непрерывность
- •Глава 4 Дифференциальное исчисление
- •4.1 Производная
- •4.1.1.Определение производной. Геометрическая интерпретация. Необходимое условие дифференцируемости
- •4.1.2. Дифференциал функции
- •4.1.3.Основные правила дифференцирования
- •4.1.4.Производные элементарных функций
- •4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
- •4.1.6.Функции, заданные параметрически
- •4.2 Производные и дифференциалы высших порядков
- •4.2.1.Производные высших порядков
- •4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно
- •4.2.3. Формула Лейбница
- •4.2.4. Дифференциалы высших порядков
- •4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций
- •4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной
- •4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной
- •4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- •4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях
- •4.4 Правило Лопиталя
- •4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- •4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида /
- •4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- •4.4.4.Раскрытие неопределенностей вида 0, 1 , 00, 0, -
- •4.5 Формула Тейлора
- •4.5.1.Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn
- •4.5.2. Остаток в форме Пеано
- •Лемма. Если
- •4.5.3.Другие формы остатка в формуле Тейлора
- •4.5.4. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- •4.5.5. Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- •4.5.6. Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- •4.6 Исследования характера поведения функций
- •4.6.1.Условие монотонности функции
- •4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )
- •Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.
- •4.6.3. Исследование функций на экстремум по знаку высших производных
- •4.6.4. Выпуклость функции, точки перегиба
- •4.6.5. Асимптоты функций
- •4.6.6. Общая схема построения графиков
- •Глава 5. Элементы теории кривых
- •5.1 Векторная функция скалярного аргумента
- •5.1.1.Определение векторной функции. Операции над векторными функциями
- •5.1.2. Предел вектор функции
- •5.1.3. Непрерывность вектор функции
- •5.1.4. Дифференцируемость вектор функции
- •5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций
- •5.1.6. Гладкие кривые Определение. Кривая
- •5.2 Длина кривой
- •5.2.1.Спрямляемая кривая
- •5.3 Плоские кривые
- •5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление
- •5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой
- •5.3.3.Порядок соприкосновения кривых
4.1.3.Основные правила дифференцирования
-
f=const, f=0, df=0x=0.
-
f=u+v, f=u+v, df = du+dv.
-
f=uv, f=uv+vu, df = u dv + v du.
Следствие. (cf(x))=cf(x), (c1f1(x)+…+cnfn(x))= c1f1(x)+…+ cn fn(x)
-
f=u/v, v(x0)0 и производная существует, то f=(uv-vu)/v2.
Для краткости будем обозначать u=u(x), u0=u(x0), тогда
=
Переходя к пределу при x 0 получим требуемое равенство.
-
Производная сложной функции.
Теорема. Если существуют f(x0), g(x0) и x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция f(g(t)), она дифференцируема в точке t0 и
Доказательство.
f(x) - f(x0)=f(x0)(x-x0)+(x)(x-x0), xU(x0).
Можно считать (x0)=0.
f(g(t))- f(g(t0))= f(x0)( g(t)- g(t0))+( g(t))( g(t)- g(t0)).
Поделим обе части этого равенства на (t - t0) и перейдем к пределу при tt0.
-
Вычисление производной обратной функции.
Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b]. Пусть в точке x0(a,b) существует f(x0) 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную
Доказательство. Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f -1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [f(a),f(b)]. Положим y0=f(x0), y=f(x), x - x0=x,
y - y0=y. В силу непрерывности обратной функции y0 x0, имеем
. Переходя к пределу, получим требуемое равенство.
7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.
Действительно, если x - x0 , то -x x0, поэтому
Для четной функции для нечетной функции
.
4.1.4.Производные элементарных функций
1) f=const, f(x)=0.
2) f(x)=x, f(x)=1.
3) f(x)=ex, f(x)= ex ,
-
f(x)=ax, (ax) = ax ln a.
-
ln a.
-
f(x)=ln x ,,
Следствие. (производная четной функции нечетна)
6)
7) (x)=x -1, x>0, x=e ln x.
8) (sin x)=cos x,
9) (cos x)=-sin x, (cos x)=(sin(x+/2))= cos(x+/2)=-sin x.
10) (tg x)=1/cos2x.
11) (ctg x)=-1/sin2x.
12).
.
13) .
.
14) .
.
15)
.
-
sh x, ch x.
.
.
4.1.5. Логарифмическое дифференцирование
f(x), , откуда следует, что f(x)=f(x)(ln f(x)) .
Ту же формулу можно получить иначе f(x)=eln f(x), f=eln f(x)(ln f(x)).
Пример. Вычислить производную функции f=xx.
=xx= xx= xx= xx(ln x +1).
4.1.6.Функции, заданные параметрически
Геометрическое место точек на плоскости
.
будем называть графиком функции, заданной параметрически. Говорят также о параметрическом задании функции.
Замечание 1. Если x, y непрерывны на [,] и x(t) строго монотонна на отрезке [,] (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b] , a=x(), b=x() определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции
.
Если область определения [,] параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков [k ,k ], k=1,2,…,n, на каждом из которых функция x(t) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций fk(x)=y(t -1(x)) с областями определения [x(k ), x(k )] для участков возрастания x(t) и с областями определения [x(k), x(k )] для участков убывания функции x(t). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.
На рисунке показан график параметрически заданной функции
При выбранной параметризации область определения [0,2] разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t), именно: t t, t, t , и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.
Рис. 4.4
|
|
Рис. 4.5
Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек
.
В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t , t , t , t функции sin(2t).
Рис. 4.6
Четыре участка монотонности функции sin(2t) на отрезке длинной .
Рис. 4.7
Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.
Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t . На концах этого участка функция x=sin(2t) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y=cos(t), у нее на два участка монотонности . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)
Рис. 4.8
Первая однозначная ветвь f1(x)=y(t(x)) , соответствующая участку будет определена для x[-1,1]. Первая однозначная ветвь t, x[-1,1].
Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].
Рис. 4.9
Вторая ветвь tx[-1,1].
Рис. 4.10
Третья ветвь t x[-1,1]
Рис. 4.11
Четвертая ветвь tx[-1,1]
Рис. 4.12
Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x(t), y(t) , так и области определения [,] этих функций.
Пример различных параметрических заданий одной и той же функции
и t[-1, 1].
Замечание 3. Если x,y непрерывны на [,] , x(t)- строго монотонна на отрезке [,] и существуют производные y(t0), x(t0)0, то существует f(x0)=.
Действительно, .
Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.