3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции

Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a .

Условие Коши для f(x) в окрестности a (для предела ):

 > 0 x,xX : |f(x) - f(x)| < .

Сформулируем условие Коши для других случаев.

Односторонние пределы:

Предел справа () : >0>0x,x(a,a+)X: |f(x) - f(x)|<.

Предел слева () :  >0>0x,x( a-, a)X: |f(x) - f(x)|<.

Условие Коши для + (): f определена в окрестности +

 >0bx,x(b,+)X :|f(x) - f(x)|<.

Условие Коши для - (): f определена в окрестности

-

 >0ax,x(-,a)X:|f(x) - f(x)|<.

Условие Коши для  (): f определена в окрестности 

>0ax,x(-,a) (,a)X:|f(x) - f(x)|<.

Теорема. (Критерий Коши) Для существования конечного предела , где a число или символ н. и д., чтобы f удовлетворяла условию Коши в окрестности a.

Необходимость. Пусть  > 0, для /2  xX:

|f(x) - A|</2. Для x,xX получим требуемое неравенство

|f(x) - f(x)|<|f(x) - A|+|f(x) -A| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть  >0. Тогда  x,xX:|f(x)-f(x)|< . Если {x_n} последовательность типа Гейне для a , то из сходимости {x_n}a и условия x_na следует, что существует Nn>N, p:x_nи x_n+p. Тогда для

n>N, p : |f(x_n) - f(x_n+p)|< . Таким образом, последовательность {f(x_n)} будет фундаментальна, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {y_n} предел будет также равен B. Составим последовательность

, {z_n}={x₁, y₁,x₂, y₂,x₃, y₃,…}.

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне при xa и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.

3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Область определения X функции f содержит некоторую проколотую окрестность .

Функция f локально ограничена в точке a, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Для числа a определение локальной ограниченности выглядит следующим образом:

M>0xU_(a)X : |f(x)|M.

Для a = + MbxU_b(+)X:|f(x)|M.

Теорема. Функция f(x) , имеющая конечный предел в при x a , локально ограничена в a.

Доказательство: =1, M=max{|A-1|,|A+1|,f(a)} или M=max{|A-1|,|A+1|} (последнее в случае, если функция не определена в a ).

Замечание. Теорема верна и в случае , .

3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке

Будем предполагать, что область определения X функции f содержит некоторую Тогда справедлива следующая

Теорема.

В этом случае говорят, что функция f(x) сохраняет знак числа A в некоторой окрестности a.

Доказательство. Для

=.

Замечание 1.

Замечание 2. Теорема верна и в случае

Рис. 3.2

3.2.8. Предел сложной функции

Пусть функция f(x) определена на X, функция g(t) определена на T с областью значений GX. Тогда на T определена суперпозиция F(t)=f(g(t)),tT. При этих условиях справедлива

Теорема. Пусть g(t) определена на

T= (,)\{t₀},t₀ (,).Функция f(x) определена на (a,b)\{x₀},

и g(t)x₀, если tt₀ ,=A.

Тогда

Доказательство: Возьмем  > 0 для него >0x:

f(x) U_(A), далее, для  существует >0t:g(t) , если tt₀ , то g(t)x₀. таким образом, g(t)и следовательно f[g(t)] U_(A).