4.2 Производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.

4.2.1.Производные высших порядков

Определение. Пусть f(x) определена на (a,b) и имеет в некоторой окрестности точки x₀(a,b) производную g(x)=f(x). Если в точке x₀ существует g( x₀), то она называется производной второго порядка от f в точке x₀ и обозначается f(x₀). Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)- го порядка

Обозначение Лейбница

Отметим, что для существования n-ой производной в точке, предыдущая (n-1)-я производная должна существовать в некоторой окрестности.

Аналогично определяются односторонние производные старших порядков.

Функция f называется n-раз дифференцируемой на X, если в каждой точке X существует n-ая производная.

f называется n-раз непрерывно дифференцируемой на X, если n-ая производная на X существует и непрерывна на X.

Классы C(X), C[a,b], Cⁿ(X), Cⁿ[a,b].

Cⁿ(X) – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на X функций.

Cⁿ[a,b] – множество всех n-раз непрерывно дифференцируемых на [a,b] функций. C(X)-множество всех непрерывных на X функций.

C[a,b]-множество всех непрерывных на [a,b] функций.

Пример. Вычисление второй производной функции, заданной параметрически

, x(t) строго монотонна,

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Пример. Вычислить для функции

4.2.2. Вычисление производных функций, заданных неявно

Обозначим через F(x,y) некоторое выражение, содержащее параметры x, y. Говорят, что задана функция двух переменных. Функцией, заданной неявно уравнением

F(x,y)=0 (1)

называется любая функция y=f(x) с областью определения X , при подстановке которой в левую часть (1), это равенство превращается в тождество:

xX:F(x, f(x))=0.

Такие функции называется также однозначными ветвями неявно заданной функции.

Для вычисления производной y(x) функции, заданной неявно уравнением (1) достаточно продифференцировать тождество F(x, f(x))=0 по переменному x. В результате такого дифференцирования всегда будет получаться соотношение вида

A(x,y)+B(x,y)y=0 , (2)

где A(x,y), B(x,y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y . Из равенства (2) можно найти выражение для y в нужной точке.

Пример 1: x²+y²=1, найти .

2x+2yy=0, y=. Для нахождения второй производной следует использовать равенство x+yy=0, дифференцируя которое, получим 1+(y)²+yy=0, откуда следует y=