4.6 Исследования характера поведения функций

Исследование функций. Монотонность, экстремумы, выпуклость, точки перегиба, асимптоты.

4.6.1.Условие монотонности функции

Теорема 1. Для того, чтобы непрерывная на [a,b] и дифференцированная на (a,b) функция f(x) была постоянной на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 на (a,b).

См. следствие теоремы Лагранжа о конечных приращениях.

Теорема 2. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была не убывающей ( не возрастающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b).

Доказательство. Необходимость

далее к перейти пределу.

Достаточность. Если x < x, то по теореме Лагранжа

f(x) - f(x)=f()(x- x) откуда и следует требуемая монотонность.

Пример. Оценить погрешность приближения функции sin x многочленом третьей степени на отрезке [0, /2].

Рассмотрим функцию f(x) = sin x – x +x³/6. Имеем f(x)=cos x – 1 + x²/2 и далее  - 2, на [0, /2] . Отсюда следует, что функция f(x) монотонно возрастает на указанном отрезке и, таким образом, достигает максимума в точке /2. max |sin x – x +x³/6|=1 - /2 + ³/480.075.

Теорема 3. Для того, чтобы непрерывная на [a,b], дифференцируемая на (a,b) функция f(x) была строго монотонно возрастающей (убывающей ) на [a,b] н. и д., чтобы f(x)0 (f(x)0) на (a,b) и чтобы не существовало промежутка [,][a,b], на котором f(x)0.

Утверждение теоремы является непосредственным следствием теоремы 2.

Следствие. Для непрерывной на [a,b], дифференцируемой на (a,b) функции f(x) условие f(x)>0 (f(x)<0 ) на (a,b) влечет строгое монотонное возрастание (убывание).

Пример. Доказать, что для любого n функция

f_n(x)=x(/2-arctg nx) строго монотонно возрастает на [0, +) и .

f_n(x) = - arctg nx – = - g(nx), где g(u) = arctg u + .Имеем g(u)=.

g(0)=0, g(+)=/2. Таким образом, g(nx) < /2 и, следовательно, f_n(x) = - g(nx) > 0.

Отсюда следует, что Для вычисления последнего предела воспользуемся правилом Лопиталя

4.6.2.Максимальные и минимальные значения функций ( экстремумы )

Определение. Пусть f(x) задана на [a,b] и x₀(a,b), x₀ называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x) f(x₀).

Строгий максимум, если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ выполнено неравенство f(x)< f(x₀).

Аналогично определяются: минимум, строгий минимум.

Экстремум локальный: в точке локальный минимум или локальный максимум.

Экстремум строгий: в точке строгий локальный минимум или строгий локальный максимум. Это можно сформулировать, как сохранение знака приращения функции f(x) – f(x₀) в некоторой проколотой окрестности точки x₀ .

Теорема ( Необходимое условие экстремума ).

Если x₀ – точка экстремума функции f и существует f(x₀), то f(x₀)=0.

Доказательство. Следует из теоремы Ферма.

Определение. Точка, в которой f(x₀)=0 называется стационарной точкой.

Замечание. Таким образом, у дифференцируемой функции экстремум следует искать среди стационарных точек.

Пример. f(x)=x³.

Теорема. ( Первое достаточное условие экстремума )

Пусть f непрерывна в точке x₀. Если в некоторой проколотой окрестности точки x₀ функция f(x) дифференцируема и f(x) меняет знак при переходе через точку x₀ , то x₀ есть точка строгого экстремума, причем

производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум,

производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум.

Доказательство. Применить теорему 3 на [x₀-, x₀] и на

[x₀, x₀+].

Другими словами, теорему можно сформулировать так: Если f непрерывна в x₀, дифференцируема в некоторой проколотой окрестности точки x₀ причем f(x)0 на (x₀-, x₀), f(x)0 на (x₀, x₀+),

тогда в точке x₀ локальный минимум. Аналогично, для максимума достаточно выполнения условий:

f(x)  0 на (x₀-, x₀), f(x)  0 на (x₀, x₀+).

Пример. |x|.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума)

Пусть x₀ – стационарная точка функции f и  f(x₀)0, тогда, если f(x₀)>0, то в точке строгий минимум, если f(x₀)<0, то в точке строгий максимум

Доказательство. Пусть f(x₀)>0,

Из теоремы о сохранении знака в некоторой проколотой окрестности будет выполнено неравенство

, или . Тогда для x > x₀ будет

f(x) > 0 , а для x < x₀ : f(x) < 0.

Аналогично для случая f(x₀)<0.

Задача. Из квадратного листа сделать выкройку коробки, открытой сверху, наибольшего объема

Рис. 4.16

Объем коробки равен (a-2x)²x. Для поиска максимального объема вычислим производную

f(x)=( 4x³- 4ax² +a²x)= 12x² - 8ax+ a² . Нули производной

Таким образом, x = .

Рис. 4.17