Питання для самоконтролю знань, умінь.

1. Пояснити зміст визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

2. Властивості визначеного інтегралу:

   1. інтеграл суми функцій;

   2. винесення коефіцієнта за знак інтеграла;

   3. похідна від інтеграла;

   4. інтеграл, взятий на участках одного проміжку.

3. Формула для обчислення площ плоских фігур, часткові випадки.

4. Суть методу заміни змінної у визначеному інтегралі;

5. Чим відрізняється метод заміни змінної у визначеному інтегралі від цього ж методу у невизначеному ?

6. Суть методу інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

7. Випадки застосування методу інтегрування частинами в запропонованих інтегралах:

Перевірив викладач ___________ Оцінка___________Дата___________

Тема 10. Диференціальні рівняння практична робота № 12

Тема. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Мета роботи: навчитись розв’язувати лінійні однорідні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами, знаходити їх загальні та часткові розв’язки.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки

2. Приклади задач

3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами”.

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

Теоретичні відомості про диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння надалі (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

(1)

Функція є розв’язком даного рівняння , ,

де ; ; - сталі, причому ., підставивши значення , , в рівняння (1), одержимо:

| :

(2)

Дане рівняння називають характеристичним рівнянням ЛОДР.

2. Якщо характеристичне рівняння (2) має два дійсні розв’язки , то загальний розв’язок ЛОДР (1) буде:

(3)

3. Якщо характеристичне рівняння (2) має один дійсний корінь k (в такому випадку кажуть, що воно має два дійсні корені, рівні між собою), то загальний розв’язок цього ЛОДР буде:

.

4. Якщо характеристичне рівняння (2) не має дійсних коренів, то воно має два спряжені комплексні корені , , де а, b – дійсні числа, і – уявна одиниця (і). Тоді загальним розв’язком ЛОДР (1) буде:

Завдання 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Завдання 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

Завдання 3. Дано диференціальне рівняння . Знайти:

а) загальний розв’язок рівняння;

б) частковий розв’язок, що задовольняє початкові умови: y(0)=0 та .