Модуль 2. Математический анализ

Темы, вопросы

Литература

Тема 2.1. Функции одной переменной (2 часа).

1. Понятие множества.

2. Абсолютная величина действительного числа.

3. Окрестность точки.

4. Понятие функции.

5. Основные свойства функций.

6. Основные элементарные функции.

7. Элементарные функции.

8. Классификация функций.

9. Преобразование графиков.

10. Интерполирование функций.

11. Основные правила приближенных вычислений.

[1] стр.: 124-125

[3] стр.: 11-12

[1] стр.: 125

[1] стр.: 126

[3] стр.: 19-20

[1] стр.: 126-127

[3] стр.: 13-15,33

[1] стр.: 127-132

[1] стр.: 132-133

[2] стр.: 110

[3] стр.: 32-34

[1] стр.: 132-133

[2] стр.: 110

[3] стр.: 32-34

[1] стр.: 133-

[1] стр.: 134-135

[1] стр.: 138-139

[1] стр.: 138-139

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства множества, абсолютной величины действительного числа, окрестности точки, функции;

• основные элементарные функции, классификацию функций;

уметь

• производить преобразование графиков, интерполирование функций;

• применять основные правила приближенных вычислений;

владеть

• навыками решения задач с использованием функции одной переменной

Тема 2.2. Пределы и непрерывность (4 часа)

1. Предел числовой последовательности.

2. Предел функции в бесконечности и точке.

3. Бесконечно малые величины.

4. Бесконечно большие величины.

5. Основные теоремы о пределах.

6. Признаки существования предела.

7. Замечательные пределы.

8. Непрерывность функции.

[1] стр.: 142-144

[3] стр.: 67-71

[1] стр.: 144-147

[1] стр.: 148-151

[2] стр.: 126-128

[1] стр.: 151-154

[2] стр.: 128-130

[1] стр.: 154-156

[2] стр.: 130-133

[1] стр.: 156-157

[1] стр.: 157-160

[2] стр.: 136-137

[1] стр.: 162-167

[2] стр.: 139-144

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства предела числовой последовательности, предела функции в бесконечности и точке, бесконечно малых величин, бесконечно больших величины;

• основные теоремы о пределах;

• признаки существования предела;

• замечательные пределы

уметь

• вычислять пределы;

• исследовать непрерывность функции.

владеть

• навыками решения задач с использованием пределов и исследования непрерывности функций.

Тема 2.3. Производная и дифференциал (4 часа).

1. Задачи, приводящиеся к понятию производной.

2. Определение производной.

3. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

4. Схема вычисления производной.

5. Основные правила дифференцирования.

6. Производная сложной и обратной функций.

7. Производные основных элементарных функций.

8. Производные неявной и параметрически заданной функций.

9. Понятие производных высших порядков.

10. Понятие дифференциала функции.

11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

12. Понятие о дифференциалах высших порядков.

[1] стр.: 178-180

[2] стр.: 154-157

[1] стр.: 180-182

[2] стр.: 157-160

[3] стр.: 148-150

[1] стр.: 182-183

[1] стр.: 183-184

[3] стр.: 148-150

[1] стр.: 184-186

[2] стр.: 161-163

[1] стр.: 186-189

[3] стр.: 157-161

[1] стр.: 190-193

[2] стр.: 164-167

[1] стр.: 194-195

[3] стр.: 163-165

[1] стр.: 195

[2] стр.: 173-174

[3] стр.: 161-163

[1] стр.: 246-248

[2] стр.: 168-169

[3] стр.: 150-152

[1] стр.: 248-251

[2] стр.: 171-173

[1] стр.: 251-252

[2] стр.: 175-176

[3] стр.: 164-165

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятие и свойства производной;

• зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции;

• схему вычисления производной;

• основные правила дифференцирования;

• понятие производных высших порядков;

• понятие дифференциала функции;

уметь

• применять основные правила дифференцирования;

• вычислять производные сложной и обратной функций, неявной и параметрически заданной функций;

• применять дифференциал в приближенных вычислениях;

владеть

• навыками решения задач с использованием производной и дифференциала.

Тема 2.4. Приложения производной (4 часа).

1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

2. Правило Лопиталя.

3. Возрастание и убывание функций.

4. Экстремум функции.

5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале.

6. Выпуклость функции. Точки перегиба.

7. Асимптоты графика функции.

8. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

[1] стр.: 210-213

[1] стр.: 214-217

[2] стр.: 181-183

[3] стр.: 176

[1] стр.: 217-218

[2] стр.: 183-184

[3] стр.: 115-118

[1] стр.: 219-225

[2] стр.: 184-187

[4] стр.: 78-79

[1] стр.: 225-226

[2] стр.: 187-188

[1] стр.: 226-230

[2] стр.: 191-194

[3] стр.: 194-198

[1] стр.: 230-233

[2] стр.: 194-196

[3] стр.: 198

[1] стр.: 233-235

[2] стр.: 196-198

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные теоремы дифференциального исчисления;

• правило Лопиталя;

• общую схему исследования функций и построения их графиков

уметь

• применять основные теоремы дифференциального исчисления;

• исследовать возрастание и убывание функций;

• находить экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и интервале;

• определять выпуклость функции и точки перегиба, асимптоты графика функции;

владеть

• навыками решения задач с использованием приложений производной.

Тема 2.5. Функции нескольких переменных (5 часов).

1. Основные понятия.

2. Предел и непрерывность.

3. Частные производные.

4. Дифференциал функции.

5. Производная по направлению. Градиент.

6. Дифференцирование сложной функции.

8. Экстремум функции нескольких переменных.

9. Наибольшее и наименьшее значения функции.

10. Условный экстремум.

11. Метод множителей Лагранжа.

12. Понятие об эмпирических формулах.

13. Метод наименьших квадратов.

[1] стр.: 402-407

[2] стр.: 283-285

[1] стр.: 407-408

[2] стр.: 286-287

[1] стр.: 409-411

[2] стр.: 289-290

[4] стр.: 52-53

[1] стр.: 411-412

[2] стр.: 168-173,

[4] стр.: 53-61

[1] стр.: 412-415

[4] стр.: 66-69

[4] стр.: 61-63

[1] стр.: 415-419

[2] стр.: 301

[4] стр.: 78-85

[1] стр.: 419-422

[1] стр.: 422-423

[4] стр.: 103-104,107-111

[1] стр.: 423-425

[4] стр.: 105-107

[1] стр.: 425

[1] стр.: 426-429

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятие и свойства функции нескольких переменных;

• правила дифференцирование сложной функции;

• понятие об эмпирических формулах;

уметь

• определять частные производные, дифференциал функции, производную по направлению и градиент;

• находить экстремум функции нескольких переменных, наибольшее и наименьшее значения функции, условный экстремум;

• производить дифференцирование сложной функции;

• применять метод множителей Лагранжа;

владеть

• навыками решения задач с использованием функции нескольких переменных.

2 семестр

Тема 2.6. Неопределенный интеграл (6 часов).

1. Первообразная функция и неопределенный интеграл.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Интегралы от основных элементарных функций.

4. Метод замены переменной.

5. Метод интегрирования по частям.

6. Интегрирование простейших рациональных дробей.

7. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.

8. Интегрирование тригонометрических функций.

9. Об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях.

[1] стр.: 254-256

[2] стр.: 213-214

[3] стр.: 233-235

[1] стр.: 256-257

[2] стр.: 214-216

[3] стр.: 235-237

[1] стр.: 257-261

[2] стр.: 218-228

[3] стр.: 237-238

[1] стр.: 261-265

[2] стр.: 217-218

[3] стр.: 238-241

[1] стр.: 265-269

[2] стр.: 218

[3] стр.: 241-242

[1] стр.: 269-273

[2] стр.: 219-221

[3] стр.: 242-243

[1] стр.: 273-276

[3] стр.: 244-247

[1] стр.: 276-277

[2] стр.: 224-226

[1] стр.: 282

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства первообразной функция и неопределенного интеграла;

• интегралы от основных элементарных функций;

• метод замены переменной, интегрирования по частям;

• правила интегрирования простейших рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей, тригонометрических функций;

• об интегралах, «неберущихся» в элементарных функциях;

уметь

• находить интегралы методом замены переменной, интегрирования по частям;

• производить интегрирования простейших рациональных дробей, некоторых видов иррациональностей, тригонометрических функций;

владеть

• навыками решения задач с использованием неопределенного интеграла.

Тема 2.7. Определенный интеграл (6 часов).

1. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

2. Свойства определенного интеграла.

3. Определенный интеграл как функция верхнего предела.

4. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

6. Геометрические приложения определенного интеграла.

7. Несобственные интегралы.

8. Приближенное вычисление определенных интегралов.

9. Понятие двойного интеграла.

[1] стр.: 285-288

[2] стр.: 230-232

[3] стр.: 251-253

[1] стр.: 290-294

[2] стр.: 232-233

[3] стр.: 274-278

[1] стр.: 294-297

[2] стр.: 235

[1] стр.: 297-299

[2] стр.: 233-235

[3] стр.: 162

[4] стр.: 158

[1] стр.: 299-301

[2] стр.: 236-237

[1] стр.: 301-308

[2] стр.: 245-252

[3] стр.: 286-299

[1] стр.: 308-313

[2] стр.: 240-245

[3] стр.: 299

[1] стр.: 313-316

[2] стр.: 237-240

[1] стр.: 430-433

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства определенного интеграла, несобственного интеграла, двойного интеграла;

• свойства определенного интеграла как функции верхнего предела;

• формулу Ньютона-Лейбница;

• метод замены переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле;

• геометрические приложения определенного интеграла;

уметь

• вычислять определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, методом замены переменной и интегрирование по частям;

• осуществлять приближенное вычисление определенных интегралов;

• применять геометрические приложения определенного интеграла;

владеть

• навыками решения задач с использованием определенного интеграла.

Тема 2.8. Дифференциальные уравнения (8 часов).

1. Основные понятия.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Задача Коши.

4. Теорема о существовании и единственности решения.

5. Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.

6. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка.

7. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

8. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

10. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

11. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

12. Системы дифференциальных уравнений.

[1] стр.: 326-329

[2] стр.: 431-434

[1] стр.: 329-330

[2] стр.: 434-436

[1] стр.: 331

[2] стр.: 493-495

[1] стр.: 330

[1] стр.: 331-334

[1] стр.: 335--336

[1] стр.: 336-337

[2] стр.: 436-439

[1] стр.: 338-339

[2] стр.: 446

[1] стр.: 340-341

[2] стр.: 447-448

[1] стр.: 341-342

[2] стр.: 456-457

[1] стр.: 342-351

[2] стр.: 459-463

[1] стр.: 351-357

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства дифференциальных уравнений первого и второго порядка;

• задачу Коши, теорему о существовании и единственности решения, элементы качественного анализа дифференциальных уравнений;

уметь

• решать неполные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения первого порядка;

• решать дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка, линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, системы дифференциальных уравнений;

владеть

• навыками решения задач с использованием дифференциальных уравнений.

Тема 2.9. Числовые ряды (2 часа).

1. Основные понятия.

2. Сходимость ряда.

3. Необходимый признак сходимости.

4. Гармонический ряд.

5. Ряды с положительными членами.

6. Ряды с членами произвольного знака.

[1] стр.: 358-359

[2] стр.: 377-379

[3] стр.: 321-322

[1] стр.: 359-362

[3] стр.: 322-325

[1] стр.: 362

[1] стр.: 363-364

[3] стр.:324-325

[1] стр.: 364-371

[2] стр.: 382-386

[3] стр.: 325-332

[1] стр.: 371-375

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства числовых рядов: гармонический ряд, ряды с положительными членами, ряды с членами произвольного знака;

• необходимый признак сходимости числовых рядов;

уметь

• осуществлять представление гармонического ряда, ряда с положительными членами, ряда с членами произвольного знака;

владеть

• навыками решения задач с использованием числовых рядов.

Тема 2.10. Степенные ряды (2 часа).

1. Область сходимости степенного ряда.

2. Ряды Маклорена и Тейлора.

3. Формула Тейлора.

[1] стр.: 381-386

[2] стр.: 395-399

[3] стр.: 369-376

[1] стр.: 386-390

[2] стр.: 400-402

[3] стр.: 378-393

[3] стр.: 180

[1] стр.: 387

[4] стр.: 72-78

[3] стр.: 378-393

Изучив данную тему, студент должен:

знать

• основные понятия и свойства степенных рядов

• ряды Маклорена и Тейлора;

• формулу Тейлора;

уметь

• осуществлять представление степенных рядов;

• находить область сходимости степенного ряда;

• применять формулу Тейлора;

владеть

• навыками решения задач с использованием степенных рядов.