- •Аналитическое представление проективных преобразований 71
- •Дополнительная литература 91 введение
- •Структурно-логическая схема курса «проективная геометрия»
- •Исторические сведения
- •Проективное пространство
- •Аксиомы проективного пространства
- •Модели проективной прямой, проективной плоскости
- •Изоморфизм моделей
- •Проективная система координат
- •Проективный репер
- •Координаты точки на прямой (плоскости)
- •Принадлежность трёх точек одной прямой
- •Однородные проективные координаты
- •Уравнение прямой. Координаты прямой
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Принадлежность трёх прямых одному пучку
- •Координаты точки и уравнение прямой в пространстве
- •Преобразование координат
- •Принцип двойственности
- •Теорема Дезарга
- •Простое отношение
- •Сложное отношение
- •Гармонизм
- •Гармонические свойства полного четырехвершинника
- •Квадрики на проективной плоскости
- •Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости.
- •Взаимное расположение прямой и квадрики
- •Уравнение касательной
- •Полюс и поляра
- •Теорема Штейнера
- •Теорема Паскаля и ее предельные случаи
- •Задачи на построение, связанные с овалом
- •Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости
- •Проективные преобразования
- •Проективные преобразования плоскости
- •Аналитическое представление проективных преобразований
- •Перспектива
- •Отображение пучка в пучок
- •Инволюция
- •Коллинеация
- •Инварианты коллинеации
- •Гомология
- •Гомологии на расширенной плоскости
- •Дополнительная литература
Гомология
Определение: Не тождественная коллинеация, для которой существует точечно неподвижная прямая называется гомологией.
По принципу двойственности у гомологии будет неподвижная точка.
Определение: Прямая называется осью гомологии. Точка называется центром гомологии.
Обозначение: Р – центр, р – ось.
Определение: Если Р р - гомология называется параболической, если Р р - гомология называется гиперболической.
Теорема. Любая прямая инцидентная центру гомологии является неподвижной.
Доказательство. (самостоятельно).
Свойства:
1. Точка и ее образ лежат на одной прямой с центром А А′(АР).
2. Прямая и ее образ пересекаются на оси а а′ ∩ а = А0 р.
Теорема. Для любых точки Р, прямой р и пары точек А и А′, коллинеарных с точкой Р, существует единственная гомология с центром Р и осью р, переводящая А в А′.
(Сформулируйте теорему двойственную этой.)
Доказательство.
1 случай: Р р.
Пусть р ∩(АА′)=Х , возьмем ещё две точки U ≠ V р .
Рассмотрим две четвёрки точек: А, Р, U, V и А', Р, U, V – в каждой четвёрке точек никакие три не лежат на одной прямой. Тогда можно рассмотреть коллинеацию
φ: U→U, V→V, Р→Р, А→А′.
Так как U, V – неподвижные точки, тогда неподвижна вся прямая - р, а значит это гомология.
2 случай: Р р (самостоятельно). □
Вывод: Гомологию можно задать: осью, центром и парой точек, коллинеарных с центром. Гомологию можно задать: осью центром и парой прямых.
Построение образов и прообразов точек при гомологии.
-
Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.
Простроить образ и прообразы произвольных точек.
а) М р → точки прямой р инвариантны.
б) В, С′ (АА′): (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.
(А′С′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.
в) К(АА′) → для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С′
(см (б)).
г) D∞ → построение аналогично (б).
-
Дано: Р р , А , А′ , Р – коллинеарны.
Простроить образ и прообразы произвольных точек.
а) М р → точки прямой р инвариантны.
б) В, С′ (АА′): → (АВ)∩р=В0 , (РВ)∩(В0А′)=В′ - образ.
→ (А′С′)∩р=С0 , (РС′)∩(С0А)=С - прообраз.
в) К(АА′) → для таких точек вместо точек А и А′ можно использовать В , В′ или С , С′ (см (б)).
г) D∞ → построение аналогично (б).
Замечание: Построения для параболической гомологии аналогичны построениям для гиперболической гомологии.
Рассмотрим гиперболическую гомологию, пусть Х= (АВ)∩(А′В′).
При центральном проектировании прямой (АА′) на прямую (ВВ′) с центром Х точки В, В′, В0 являются центральными проекциями точек А, А′, А0 . Точка Р при этом проектировании является неподвижной (почему?). Тогда по свойствам сложного отношения (РА0 , АА′)=(РВ0 ,ВВ′), значит это сложное отношение - величина постоянная.
Обозначим её h =(РА0 , АА′) - она называется константой гомологии.
Теорема. Для любой прямой р, точки Р р, и любого действительного числа h, отличного от 0 и 1. Существует гиперболическая гомология с центром Р, осью р и константой h.
Доказательство. Дано Р р, h , берем А. А0= р∩(АР) - точка единственна. Тогда точка А′ находится из условия h =(РА0 , АА′) - по свойствам сложного отношения такая точка единственна, причем А′ (РА). По предыдущей теореме существует гомология с осью р, центром Р и А → А′. □
Определение: Гомология называется инволюционной, если она совпадает со своим обратным отображением.
Теорема. Параболическая гомология не может быть инволюционной.
Доказательство. От противного. Пусть Р р .
Так как преобразование - инволюция, то существуют точки А↔А′ и В↔В′. Тогда прямые (АВ)↔(А′В′) - переходят друг в друга, Q=(АВ)∩(А′В′)р. Прямые (А′В)↔(АВ′) – тоже переходят друг в друга, R=(А′В)∩(АВ′)р.
Но АВА′В′ - четырёхвершинник и ΔРQR – диагональный трёхвершинник, а значит эти точки не могут лежать на одной прямой (оси - р). (противоречие). □
Теорема. Для того чтобы гиперболическая гомология была инволюционной, необходимо и достаточно, чтобы константа h =-1.
Доказательство. Пусть Р р , М → М′ , (ММ′)∩р=М0 .
Необходимость h = -1.
Пусть М′→М′′, тогда (РМ0 ,ММ′)= - 1 =(РМ0 ,М′М) - по свойству сложного отношения,
но (РМ0 , М′М)=( РМ0 , М′′М′) - по свойству проективного преобразования М=М′′ М ↔ М′.
Достаточность М ↔ М′.
(РМ0 , ММ′)= (РМ0 ,М′М)2 = 1 (РМ0 ,М′М)=± 1.
Но (РМ0 ,М′М)=1 - не может быть (почему?), (РМ0 ,М′М) = - 1. □
Вывод: Инволюционная гомология определяется центром и осью.