- •Аналитическое представление проективных преобразований 71
- •Дополнительная литература 91 введение
- •Структурно-логическая схема курса «проективная геометрия»
- •Исторические сведения
- •Проективное пространство
- •Аксиомы проективного пространства
- •Модели проективной прямой, проективной плоскости
- •Изоморфизм моделей
- •Проективная система координат
- •Проективный репер
- •Координаты точки на прямой (плоскости)
- •Принадлежность трёх точек одной прямой
- •Однородные проективные координаты
- •Уравнение прямой. Координаты прямой
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Принадлежность трёх прямых одному пучку
- •Координаты точки и уравнение прямой в пространстве
- •Преобразование координат
- •Принцип двойственности
- •Теорема Дезарга
- •Простое отношение
- •Сложное отношение
- •Гармонизм
- •Гармонические свойства полного четырехвершинника
- •Квадрики на проективной плоскости
- •Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости.
- •Взаимное расположение прямой и квадрики
- •Уравнение касательной
- •Полюс и поляра
- •Теорема Штейнера
- •Теорема Паскаля и ее предельные случаи
- •Задачи на построение, связанные с овалом
- •Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости
- •Проективные преобразования
- •Проективные преобразования плоскости
- •Аналитическое представление проективных преобразований
- •Перспектива
- •Отображение пучка в пучок
- •Инволюция
- •Коллинеация
- •Инварианты коллинеации
- •Гомология
- •Гомологии на расширенной плоскости
- •Дополнительная литература
Простое отношение
Среди любых трех точек лежащих на одной прямой (евклидовой), одна всегда лежит между двумя другими.
Определение: Простым отношением трех различных точек А, В, Сl называется число λ такое, что .
Тогда λ=±.
Обозначение: λ=(АВ,С)
Если С (АВ), тогда , а значит λ > 0.
Если С (АВ), тогда , а значит λ < 0.
При λ = 0 получим А=С, при λ = - 1 получим А=В. Но точки А, В, С различны, значит λ ≠ 0 и λ ≠ - 1.
На расширенной евклидовой плоскости возможно в случае, когда С∞.
Будем считать на расширенной евклидовой прямой, что (АВ,С∞) = -1.
Пусть точки имеют аффинные координаты А(α), В(β), С(γ). Тогда вектор = ( γ - α ), а вектор = ( β – γ ).
( γ - α ) = λ∙( β – γ ) λ = - здесь уже учтен знак простого отношения.
Схема для запоминания формула для вычисления
Задача. Даны аффинные координаты точек А(3), В(-2), С(2), М(3,5). Найти простые отношения (АВ,С), (ВС,А), (ВС,М), (СМ,А).
Решение.
(АВ,С) = = 0,25, ( ).
(ВС,А) == -5, ( ).
(ВС,М) =, ( )
(СМ,А) = = 2, ( ).
Сложное отношение
На проективной прямой одна из трёх точек всегда лежит между двумя другими.
Нет смысла говорить о простом отношении трех точек. Необходима дополнительная точка.
Рассмотрим A, B, C, D, причем А, В, С – различны и D ≠ А.
Из первых трёх точек можно составить репер - R(А,В,С) и пусть точка D в этом репере.
Определение: Число λ = называется сложным (или двойным) отношением четырёх точек лежащих на одной прямой.
Обозначение: λ=(AB,CD).
Замечание: Так как D ≠ А , значит х2 ≠ 0 (AB,CD)= - всегда определено.
Теорема. Для А, В, С - различных точек на проективной прямой и любого действительного числа λ существует единственная точка D на этой прямой такая, что (AB,CD) = λ.
Доказательство. Так как А, В, С – различны, то они могут образовать репер R(А,В,С). Тогда в этом R(А,В,С) существует некоторая точка D с координатами и по определению сложного отношения (AB,CD)== λ (существование).
Докажем единственность от противного: Пусть существует еще одна точка D1 такая, что
(AB,CD1)=λ= х1=λ∙х2 D1 ==D D1=D (единственность). □
Вывод: По любым трем точкам и λ всегда можно найти четвертую.
Пусть А , В , С , D - различные точки.
Возьмем первые три в качестве нового репера, если +≠, то репер R′(А , В , С) не согласован. Согласуем репер:
k1 + k2 =
∆=, ∆1=, ∆2= k1 =, k2 =.
Тогда матрица преобразования координат - M=.
Обратная для неё - M-1 =.
По формулам преобразования координат: μ DR′ = М-1 ∙ DR
=∙=
Множитель можно отбросить. (Почему?)
(AB,CD) =.==
=
Эту формулу можно записать с помощь определителей (проверьте самостоятельно):
=
Схема для запоминания формула для вычисления
Свойства:
1. Сложное отношение не зависит от выбора репера.
Доказательство основано на формулах перехода к новому реперу
λ ХR =А∙XR′ и μ XR′ = А-1 ∙ ХR и свойствах определителя.
2. При перестановке пар сложное отношение не меняется: (AB,CD) =( CD, AB).
3. При перестановке точек в паре сложное отношение меняется на обратное:
(AB,CD)=.
Доказательство свойств 1 - 3. Самостоятельно.
4. При перестановке крайних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице. При перестановке внутренних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице.
(AB,CD) = 1 - (DB,CA) или (AB,CD)= 1 - (AC,BD).
Доказательство. Рассмотрим репер из первых трёх точек А, В, С и пусть точка D в этом репере, тогда (АВ,СD)== λ .
(DВ,СА)=
Докажите это свойство другим способом.
Из точек A, B, C, D можно составить 24 комбинации сложных отношений точек (4!) , некоторые из них будут совпадать. Например (AB,CD) =( CD, AB) = (DC,BA) = (BA,DC) (проверьте).
Таким образом, будет 6 различных сложных отношений (проверьте).
(AB,CD) = λ → .
Определение: Если (AB,CD) > 0, то говорят, что пара AB не разделяет пару CD. Если (AB,CD) < 0, то говорят, что пара AB разделяет пару CD.
5. (AB,CD) = (поэтому сложное отношение называется двойным).
Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат. Пусть известны аффинные координаты точек А(α), В(β), С(γ), D (δ), тогда их проективные координаты будут
А , В, С, D .
С одной стороны (AB,CD) = =.
С другой стороны (AB,C) = и (AB,D) =
===□
6. Если D∞ - несобственная точка, тогда (AB,CD∞) = - (AB,C).
Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат R(Е1∞, Е2, Е). Пусть известны аффинные координаты собственных точек А(α), В(β), С(γ), тогда их проективные координаты будут А , В, С.
Так как точка D несобственная, то D=Е1∞, D .
С одной стороны (AB,CD∞) = =.
С другой стороны (AB,C) = .
Попробуйте доказать это свойство другим способом. □
Определение: Центральной проекцией прямой ℓ на прямую ℓ' из точки S называется отображение, при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А' прямой ℓ'
такая что А'= ℓ ' ∩ (SА).
7. При центральном проектировании сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой не меняется. (AB,CD)=(A'B',C'D').
Доказательство. (AB,CD) =λ, доказать, что (A'B',C 'D') = λ.
На прямой (SС) возьмем точку Е и рассмотрим репер
R( А, В, S, Е).
Тогда А, В, S, Е .
D(АВ) D, С=Е30=.
Тогда в согласованном репере R(А,В,С) - D (AB,CD)==λ (обоснуйте).
А'(АS) А', сократим на х1 , получим .
В' (ВS) В', сократим на у2 , получим .
Рассмотрим репер R'(А',В',S,Е). Он не согласован т.к. ++ ≠.
Решая систему , получим k1 = 1, k2 = 1, k3 = - а – b.
Тогда, М и М -1
Пусть точка D в репере R' имеет координаты , тогда по формулам преобразования координат μ ХR′ = М-1 ∙ХR
DR′ =·= .
СR′ =·==.
Так как точка D' является проекцией точки D из точки S (вершины нового репера) на координатную прямую (А'В'), то по теореме о проекциях D'R′=. Точка С' является проекцией точки С из точки S на (А'В'), то С'R′=. Значит в репере из точек А', В', С' точка D' ,
тогда (A'B',C 'D')= . □
Замечание: Это свойство позволяет вычислять сложное отношение для точек, заданных своими координатами на проективной плоскости.
Задача. Найти сложное отношение точек A, B, C, D.
Решение. Проверим коллинеарность точек.
~~~~ rang = 2 точки коллинеарны.
(Какими ещё способами можно проверить коллинеарность точек?)
Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например, из Е3 на (Е1Е2), получим точки
A3 ,B3,C3 ,D3 .
В репере R( Е1, Е2, Е30) эти точки будут иметь координаты A3 ,B3,C3,D3.
По свойству (7) получим
(AB,CD) = (A3B3 ,C3D3) ==3.
Замечание: Проверка коллинеарности точек на плоскости обязательна!
Замечание: Это свойство позволяет вводить понятие сложного отношения четырёх прямых пучка. Проводя любую прямую, не принадлежащую пучку, мы будем получать четвёрки точек с одинаковым сложным отношением.
Определение: Сложным отношением 4 прямых пучка будем называть число (ab,cd) = (AB,CD).
Задача. Найти сложное отношение прямых а: х1 – 3х2 + 5х3 =0, b: 4х1 + 3х2 - х3 =0,
c: 2х1 – х2 + 3х3 =0, d: 3х1 – 4х2 + 8х3 =0.
Решение.
Первый способ: Проверим принадлежность прямых одному пучку.
Найдем точку пересечения прямых а и b:
→ → или - М.
Проверим, принадлежит ли точка М прямым с и d:
для прямой с: 2∙(-4) – 7 + 3∙5= 0, для прямой d: 3∙(-4) - 4∙7 + 8∙5 = 0.
прямые принадлежат одному пучку. (Какими ещё способами можно проверить принадлежность прямых одному пучку?)
Выберем любую прямую не проходящую через точку М, например прямую (Е2Е3), её уравнение х1 = 0. Найдем точки пересечения данных прямых с прямой (Е2Е3):
→ → - точка А,
→ → или - В,
→ → - точка С,
→ → или - D.
Точки лежат на прямой (Е2Е3), найдем их сложное отношение:
(AB,CD) = == 2,5 (ab,cd)=2,5.
Второй способ. Применим принцип двойственности:
а: х1–3х2+5х3=0, → A, b: 4х1+3х2-х3=0, → B ,
c: 2х1–х2+3х3=0, → C, d: 3х1–4х2+8х3=0, → D .
Принадлежность прямых одному пучку коллинеарности точек.
~~~ rang = 2 точки коллинеарны.
Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например из Е2 на (Е1Е3 ), получим точки A2 , B2, C2 , D2.
В репере R( Е1, Е3, Е20) эти точки будут иметь координаты A2 , B2, C2, D2.
По свойству (7) получим (AB,CD) = (A2B2 ,C2D2)= =2,5.
Рассмотрим частные случаи сложного отношения.
Пусть репер R( А, В, С).
1. В=D D (AB,CD) = = 0.
2. С=D D (AB,CD) = = 1.
3. А=D D (AB,CD) = - не существует.
Вывод: Точка D может совпадать с любой точкой кроме точки А.