- •Аналитическое представление проективных преобразований 71
- •Дополнительная литература 91 введение
- •Структурно-логическая схема курса «проективная геометрия»
- •Исторические сведения
- •Проективное пространство
- •Аксиомы проективного пространства
- •Модели проективной прямой, проективной плоскости
- •Изоморфизм моделей
- •Проективная система координат
- •Проективный репер
- •Координаты точки на прямой (плоскости)
- •Принадлежность трёх точек одной прямой
- •Однородные проективные координаты
- •Уравнение прямой. Координаты прямой
- •Взаимное расположение двух прямых
- •Принадлежность трёх прямых одному пучку
- •Координаты точки и уравнение прямой в пространстве
- •Преобразование координат
- •Принцип двойственности
- •Теорема Дезарга
- •Простое отношение
- •Сложное отношение
- •Гармонизм
- •Гармонические свойства полного четырехвершинника
- •Квадрики на проективной плоскости
- •Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости.
- •Взаимное расположение прямой и квадрики
- •Уравнение касательной
- •Полюс и поляра
- •Теорема Штейнера
- •Теорема Паскаля и ее предельные случаи
- •Задачи на построение, связанные с овалом
- •Прямые и квадрики на расширенной евклидовой плоскости
- •Проективные преобразования
- •Проективные преобразования плоскости
- •Аналитическое представление проективных преобразований
- •Перспектива
- •Отображение пучка в пучок
- •Инволюция
- •Коллинеация
- •Инварианты коллинеации
- •Гомология
- •Гомологии на расширенной плоскости
- •Дополнительная литература
Принадлежность трёх прямых одному пучку
Рассмотрим три прямые l : и1 х1+ и2 х2+ и3 х3 = 0,
т : v1 х1+ v2 х2+ v3 х3 = 0,
п : w1 х1+ w2 х2+ w3 х3 =0.
Если l ∩ m ∩ n = А, то у однородной системы линейных уравнений должно существовать одно не нулевое решение (с точностью до пропорциональности), т.е. подпространство решений состоит из одного вектора
1 = 3 – rg rg = 2,
это означает, что одна строка является линейной комбинацией других: w = λ∙и + μ∙v - параметрическое уравнение пучка прямых. (сравнить с коллинеарностью трех точек Х = λ∙А + μ∙В ).
Координаты точки и уравнение прямой в пространстве
Рассмотрим п –мерное проективное пространство Pп.
Определение: Е1 , Е2 ,…, Еп+1 , Е - упорядоченная система различных точек среди которых никакие три не лежат на одной прямой (Р1), никакие четыре не лежат на одной плоскости (Р2), никакие пять не принадлежат (Р3), и т.д. называется проективным репером в пространстве Pп.
Обозначение: R(Е1, Е2, …, Еп+1, Е) - проективный репер на прямой.
Названия: Е1, Е2,… , Еп+1 - вершины репера или базисные точки,
Е - единичная точка,
(Е1Е2), (Е1Е3), …, (ЕпЕп+1) - координатные прямые.
Проективное пространство Pп порождается Vп+1.
Пусть Е1, Е2,…, Еп+1, Е порождаются - ē1 , ē2 ,…, ēп+1 , ē Vп+1.
Векторы ē1 , ē2 ,…, ēп+1 – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в Vп+1.
Определение: Система векторов ē1 , ē2 , ,…, ēп+1 , ē - называется согласованной,
если ē1+ē2 +…+ ēп+1 =ē.
Пусть ē1, ē2, ,…, ēп+1 , ē - согласованная система векторов и пусть точка МPп порождается вектором , тогда = х1∙ē1+ х2∙ē2 +…+ хп+1 ∙ēп+1
Определение: Набор чисел ( х1 : х2 : … : хп+1 ) называется координатами точки в данном репере.
По аналогии с проективной прямой и проективной плоскостью, координаты точки в Pп определяются с точностью до пропорциональности.
Точки могут лежать на одной прямой или не лежать на одной прямой.
1. А, В, С P1 , тогда векторы , , L2 , , - линейно-зависимы α, β такие, что = α∙ā + β∙
=α∙+ β∙, или rg= 2.
2. А, В P1 и С P1 , тогда векторы , , L2
, , - линейно-независимы ≠ α∙+ β∙
≠ α∙+ β∙, или rg≠ 2.
Пусть даны две различные точки А и В, по свойствам Рп через две различные точки проходит одна и только одна прямая - (АВ).
Пусть точка Х (АВ), тогда = λ∙+ μ∙ или Х=λ∙А+ μ∙В – параметрическое уравнение прямой в пространстве.
Замечание: В проективном пространстве прямая может задаваться только параметрическим уравнением (сравнить с заданием прямой в евклидовом пространстве).
Однородное уравнение вида и1 х1+ и2 х2+…+ ип+1 хп+1 = 0 не будет задавать прямую.
Преобразование координат
Рассмотрим проективную прямую Р1 и два репера
R(Е1 ,Е2 ,Е) и R′(Е′1 ,Е′2 , Е′). Пусть известны координаты точек второго репера в первом репере:
Е′1 , Е′2, Е′, т.е. ē′1 = α11 ē1+ α21 ē2, ē′2 = α12 ē1 + α22 ē2 , ē′ = α10 ē1 + α20 ē2 .
В общем случае репер R′(Е′1 ,Е′2 ,Е′) может оказаться не согласованным (ē′1+ ē′2 ≠ ē′). Согласуем точки второго репера, т.е. найдем такие числа k1 и k2 , что ē′ = k1ē′1 + k2ē′2 , для этого необходимо решить систему: .
Пусть матрица системы А, тогда ∆А≠0 (почему?).
Система имеет единственное решение (k1 , k2) и тогда будем считать координатами точек Е′1 и Е′2, репер в этом случае будет согласованным.
Замечание: В дальнейшем будем считать, что второй репер – согласован (если нет, то мы знаем, как его согласовать).
Пусть точка Х в репере R и та же точка в репере R′ имеет координаты .
Тогда вектор , порождающий эту точку может выражаться через вектора первого и второго базисов: = х1 ∙ē1 + х2 ∙ē2 или = у1∙ē′1 + у2∙ē′2
= у1∙ē′1 + у2∙ē′2 = у1∙(α11∙ē1 + α21∙ē2)+ у2∙(α1∙ē1 + α22∙ē2) = =(у1∙α11+ у2∙α12)∙ē1+ (у1∙α21+ у2∙α22)∙ē2 = х1∙ē1+ х2∙ē2 х1 = у1∙α11 + у2∙α12 и х2 = у1∙α21 + у2∙α22 ,
или = ∙, в матричной записи: ХR =A∙XR′ ,
где ХR - столбец координат точки Х в первом (старом) репере,
а XR′ - столбец координат той же самой точки Х во втором (новом) репере.
Матрица А будет матрицей перехода от старого репера к новому реперу.
Замечание: Матрица А является невырожденной. (Почему?).
Вывод: Зная матрицу перехода и координаты точки в новом репере можно находить координаты точки в старом репере:
ХR =A∙XR′ │∙А-1 слева
А-1 ∙ ХR = А-1∙A∙XR′ = XR′ XR′ = А-1 ∙ ХR .
Вывод: Формулы преобразования координат точек при переходе к другому реперу имеют вид:
λ ХR =A∙XR′ и μ XR′ = А-1 ∙ХR .
Аналогичные рассуждения можно применить для Р2,
Пусть Е'1, Е'2, Е'3, Е'.
Для согласования второго репера будем находить k1 , k2 , k3 .
Получим матрицу третьего порядка А.
Формулы преобразования координат точек будут такими же:
λ ХR =A∙XR′ и μXR′ = А-1∙ХR .
Рассмотрим прямую и∙Х=0.
Пусть её координаты в старом репере - иR и в новом - uR′ .
Уравнение прямой в старом репере иR ∙ХR=0, в новом иR′ ∙ХR′=0.
Подставим формулы преобразования координат, получим 0= иR∙ХR = иR∙A∙XR′ = иR′ ∙ХR′ ,
где иR∙A=иR′ или λ иR′= иR∙A, тогда μ иR = иR′ ∙A-1 .
Вывод: Формулы преобразования координат точек и прямых на проективной плоскости имеют вид:
Для точек λ ХR =A∙XR′ и μ XR′ = A -1 ∙ХR .
Для прямых λ иR′= иR ∙ A и μ иR = иR′ ∙ A -1.
Замечание: Обратите внимание на умножение матриц: для точек матрица перехода умножается слева, а для прямых справа.
Задача. Даны два репера R(Е1 , Е2 , Е3 , Е) и R′(Е′1 , Е′2 , Е′3 , Е′). Известны координаты точек второго репера в первом:
Е′1 , Е′2, Е′3, Е′.
Найти формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому. Найти координаты точки М во втором репере если известны её координаты в первом МR . Найти координаты точки К в первом репере если известны её координаты во втором КR ′ .
Найти уравнение прямой а : 5 х1 - 2 х2+3 х3 = 0 в новом репере.
Решение. Проверим, согласованы ли точки второго репера:
++=≠ - второй репер не согласован.
Согласуем его, для этого решим систему ,
её решением будет: k1 = 2, k2 = 2, k3= -1,
тогда матрица перехода будет A ,
обратной является A-1==.
Так как координаты определяются с точностью до пропорциональности коэффициент можно отбросить.
Формулы преобразования координат примут вид:
λХR=∙XR′ и μXR′ =∙ХR .
μМR′ = A -1 ∙МR =∙=.
λКR= A ∙КR′ =∙=, с учетом пропорциональности координаты точки К в старом репере будут .
λ аR′= аR∙A =∙=, с учетом пропорциональности координаты прямой будут аR′ : 10 х′1 + 9 х′2 = 0