Взаимное расположение прямой и квадрики

Пусть дана овальная квадрика Х ^Т∙Q∙Х =0 и прямая (АВ).

Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы:

Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются.

Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются.

Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики.

(λ∙А ^Т+ μ∙В ^Т)∙Q∙(λ∙А + μ∙В) =0 λ²∙А ^Т∙Q∙А + λ∙μ∙А ^Т∙Q∙В+ μ∙λ∙В ^Т∙Q∙А + μ²∙В ^Т∙Q∙В = 0

Каждое из выражений А ^Т∙Q∙А , А ^Т∙Q∙В , В ^Т∙Q∙А , В ^Т∙Q∙В является числом,

так как матрицы Q , А , А ^Т, В , В ^Т - заданы.

(А^Т∙Q∙В)^Т = В^Т∙Q^Т∙А^ТТ=В^Т∙Q∙А, но А^Т∙Q∙В - это число, а значит (А^Т∙Q∙В)^Т=А^Т∙Q∙В, т.е. А^Т∙Q∙В=В^Т∙Q∙А.

Обозначим А^Т∙Q∙А = а, В^Т∙Q∙В= b, А^Т∙Q∙В = В^Т∙Q∙А = с,

Тогда получим: λ²∙а + 2∙λ∙μ∙с + μ²∙b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0).

- квадратное уравнение относительно .

D =4∙с² - 4∙а∙b = 4∙(А^Т∙Q^Т∙В) ² - 4∙( А^Т∙Q∙А)∙( В ^Т∙Q∙В).

Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта.

При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей;

при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике;

при D < 0, точек пересечения прямой и квадрики нет.

Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.

Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.

Задача. Установить взаимное расположение квадрики х₁²+х₂² -х₃²-2∙х₁∙х₂ -4∙х₁∙х₃=0 и прямой, проходящей через точки А и В.

Решение. Первый способ: Q=- матрица квадрики, тогда

а =А^Т∙Q∙А = ∙∙= 12

b= В^Т∙Q∙В=∙∙= 4

с = А ^Т∙Q∙В = ∙∙= -8,

и

Одно решение λ₁=1 и μ₁= 3 Х₁ = 1∙+ 3 ∙==.

Второе решение λ₂=1 и μ₂=1 Х₂ = 1∙+ 1 ∙==.

Прямая пересекает квадрику в двух точках Х₁ и Х₂.

Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ):

=0 - 2х₁ +2х₂ -2х₃ = 0 х₁ - х₂ + х₃ = 0.

Решим систему

Х₁= и Х₂=- точки пересечения (АВ) и КВП

Уравнение касательной

Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(А^Т∙Q^Т∙В)²-4∙(А^Т∙Q∙А)∙(В^Т∙Q∙В)=0 (А^Т∙Q^Т∙В)²-(А^Т∙Q∙А)∙(В^Т∙Q∙В)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (А^Т∙Q^Т∙Х) ² - ( А^Т∙Q∙А)∙( Х ^Т∙Q∙Х) = 0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

• АКВП А^Т∙Q∙А=0(А^Т∙Q^Т∙Х)²=0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. А^Т∙Q^Т∙Х =0 - уравнение касательной.

• АКВП.

(А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = (и∙Х)²

Х^Т∙Q∙Х=((А^Т∙Q^Т∙Х)² -(и∙Х)²)=((А^Т∙Q^Т∙Х)- и∙Х) ((А^Т∙Q^Т∙Х)+и∙Х)

овальная квадрика Х^Т∙Q∙Х распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х₁²+х₂²-х₃²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а₁²+а₂²-а₃² < 0 (если а₁²+а₂²-а₃² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2∙х₁²+х₃²-2∙х₁∙х₂-2∙х₁∙х₃=0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q=.

А^Т∙Q∙А=(1:8:5)∙∙=(-11:-1:4)∙=1 А КВП,

Применим формулу (**) (А^Т∙Q^Т∙Х)² - (А^Т∙Q∙А)∙(Х ^Т∙Q∙Х) = 0.

А^Т∙Q∙Х=( 1: 8 : 5 )∙∙=(-11 : -1 : 4)∙ 11∙х₁+ х₂ - 4∙х₃=0

(11∙х₁ + х₂ - 4∙х₃ )² - 1∙(2∙х₁² + х₃² - 2∙х₁∙х₂ - 2∙х₁∙х₃ ) =

= 121∙х₁² + х₂² + 16∙х₃² + 22∙х₁∙х₂ - 88∙х₁∙х₃ - 8∙х₂∙х₃ - 2∙х₁² - х₃² + 2∙х₁∙х₂ + 2∙х₁∙х₃ =

= 119∙х₁² + х₂² + 15∙х₃² + 24∙х₁∙х₂ - 86∙х₁∙х₃ - 8∙х₂∙х₃ =

= х₂² +2∙х₂∙12∙х₁ -2∙х₂∙4∙х₃ +144∙х₁² +16∙х₃² -2∙12∙х₁∙4∙х₃ -144∙х₁² -16∙х₃² +96∙х₁∙х₃ +119∙х₁² +15∙х₃² -86∙х₁∙х₃ =

= (х₂ + 12∙х₁ -∙4∙х₃ )² - 25∙х₁² - х₃² + 10∙х₁∙х₃ = (х₂ + 12∙х₁ -∙4∙х₃ )² - (5∙х₁ - х₃ )² =

= ((х₂ + 12∙х₁ - 4∙х₃ ) - (5∙х₁ - х₃ ))∙((х₂ + 12∙х₁ - 4∙х₃ ) + (5∙х₁ - х₃ ))=

= (х₂ + 12∙х₁ - 4∙х₃ - 5∙х₁ + х₃ )∙(х₂ + 12∙х₁ - 4∙х₃ + 5∙х₁ - х₃ )=

= (х₂ +7∙х₁ -3∙х₃ )∙(х₂ +17∙х₁ -5∙х₃) = (7∙х₁ + х₂ - 3∙х₃ )∙(17∙х₁ + х₂ - 5∙х₃) = 0.

Т.о. касательные: 7∙х₁ + х₂ - 3∙х₃ = 0 и 17∙х₁ + х₂ - 5∙х₃ = 0.

В^Т∙Q∙В=(18:13:6)∙∙= (17:-18:-12) ∙=0 В КВП.

Уравнение касательной:

В^Т∙Q∙Х = ( 18 : 13 : 6 )∙∙ = 0 ( 17 : -18 : -12 )∙= 17∙х₁ -18·х₂ - 12∙х₃ = 0.