Задачи на построение, связанные с овалом

Задача 1. Даны пять точек А, В, С, D, F - инцидентные овальной квадрике, прямая проходящая через одну из точек. Построить точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Квадрика не изображена).

Решение. Применим теорему Паскаля. Пусть прямая проходит через точку А - а.

Обозначим: А = А₁ , В = А₂ , С = А₃ , D = А₄ , F = А₅ ,

тогда а=(А₁А₆) , и точку А₆ необходимо построить.

(А₁А₂) ∩ (А₄А₅)=P, (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆)=Q, (А₃А₄) ∩ (А₆А₁)=R.

По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны.

Из этих точек можно построить: P=(А₁А₂)∩(А₄А₅) и R=(А₃А₄)∩(А₆А₁),

А значит можно построить паскалеву прямую (PR). Тогда можно найти точку Q

Q = (А₂А₃)∩(PR) , а значит, становится известной прямая (А₅ А₆) = (А₅Q).

Тогда А₆ = (А₅ А₆)∩(А₆А₁).

Построение:

1. P = (А₁А₂) ∩ (А₄А₅)

R = (А₃А₄) ∩ а,

Q = (А₂А₃)∩(PR),

2. А₆ = (А₅ Q)∩ а

Задача 2. Даны пять точек А, В, С, D, F - инцидентные овальной квадрике. Через одну из них построить касательную к квадрике. (Сама квадрика не изображена).

Решение. Будем строить касательную через точку А . Так рассматривается касательная, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля.

Обозначим А = А₁ = А₆ , В = А₂ , С = А₃ , D = А₄ , F = А₅ ,

тогда необходимо построить прямую (А₁А₆).

(А₁А₂) ∩ (А₄А₅)=P, (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆)=Q, (А₃А₄) ∩ (А₆А₁)=R.

По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны.

Из этих точек можно построить P = (А₁А₂)∩(А₄А₅) и Q = (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆).

А значит можно построить паскалеву прямую (PQ).

Тогда можно найти точку R - R= (А₃А₄)∩(PQ) , а значит, становится известной прямая (А₁ А₆)=(А₁R).

Построение:

P=(А₁А₂)∩(А₄А₅)

Q=(А₂А₃)∩(А₅А₆)

R=(А₃А₄)∩(PQ).

(А₁А₆)=(А₁R) - искомая касательная.

Задача 3. Даны четыре точки А, В, С, D - инцидентные овальной квадрике, и касательная в одной из них. Через вторую точку проведена прямая. Построить точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Сама квадрика не изображена).

Решение. Пусть дана касательная в точке А - а. Через В проведена прямая b. Будем строить вторую точку пересечения прямой b с квадрикой. Так рассматривается касательная, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля.

Обозначим А = А₁ = А₆ , С = А₂ , D = А₃ , В= А₄ , тогда а=(А₁А₆) , b =(А₄А₅) и точку А₅ необходимо построить. (А₁А₂) ∩ (А₄А₅)=P, (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆)=Q, (А₃А₄) ∩ (А₆А₁)=R.

По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить

P = (А₁А₂)∩(А₄А₅) и R = (А₃А₄)∩(А₆А₁),

А значит можно построить паскалеву прямую (PR). Тогда можно найти точку Q

Q = (А₂А₃)∩(PR) , а значит, становится известной прямая (А₅ А₆) = (QА₆). Тогда А₅ = (А₅ А₆)∩(А₄А₅).

Построение:

1. P = (А₁А₂) ∩ b и

R = (А₃А₄) ∩ а,

2. Q = (А₂А₃)∩(PR),

3. А₅ = (QА₆)∩ b.

Задача 4. Даны четыре точки А, В, С, D - инцидентные овальной квадрике, и касательная в одной из них. Построить касательную к квадрике через другую точку. (Сама квадрика не изображена).

Решение. Пусть дана касательная в точке А - а. Будем строить касательную через В. Так рассматриваются касательные, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля.

Обозначим: А=А₁ =А₆ , С = А₂ , D = А₃ , В= А₄= А₅, тогда а=(А₁А₆), тогда необходимо построить прямую (А₄А₅). (А₁А₂) ∩ (А₄А₅)=P, (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆)=Q, (А₃А₄) ∩ (А₆А₁)=R.

По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить

Q = (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆) и R = (А₃А₄)∩(А₆А₁), а значит можно построить паскалеву прямую (QR). Тогда можно найти точку P - Р = (А₁А₂)∩(PR) , а значит, становится известной прямая

(А₄ А₅) = (РА₄) – искомая касательная.

Построение:

1. Q = (А₂А₃)∩(А₅А₆) ,

R = (А₃А₄)∩ а,

Р = (А₁А₂)∩(PR),

2. (А₄ А₅) = (А₄Р) -

искомая касательная..

Задача 5. Даны три точки А, В, С - инцидентные овальной квадрике, и через две из них проведены касательные. Через третью точку проведена прямая. Построить вторую точку пересечения этой прямой с квадрикой. (Сама квадрика не изображена).

Решение. Пусть даны касательные в точках А - а и В - b.

Через С проведена прямая с. Будем строить вторую точку пересечения прямой с с квадрикой. Так как рассматриваются касательные, то задача будет сводиться к предельным случаям теоремы Паскаля. Обозначим А = А₁ = А₆ , В = А₂ = А₃ , С= А₄ ,

тогда а=(А₁А₆) , b =(А₂А₃) и прямая с = (А₄А₅) . Точку А₅ необходимо построить.

(А₁А₂) ∩ (А₄А₅)=P, (А₂А₃) ∩ (А₅ А₆)=Q, (А₃А₄) ∩ (А₆А₁)=R.

По теореме Паскаля точки P, Q, R - коллинеарны. Из этих точек можно построить: P = (А₁А₂) ∩ (А₄А₅) и R = (А₃А₄)∩(А₆А₁), а значит можно построить паскалеву прямую (РR).

Тогда можно найти точку Q=(А₂А₃)∩(PR), а значит, становится известной прямая (А₅ А₆) = (QА₆). Тогда А₅ = (А₅ А₆)∩(А₄А₅).

Построение самостоятельно.

Задача 6. Даны пять точек А, В, С, D, F - принадлежащие овальной квадрике и точка М не инцидентная квадрике. Построить поляру точки. (Сама квадрика не изображена).

Идея решения. Проведем прямые три прямые, например, (АМ), (ВМ), (СМ). Построим последовательно точки Х, Y, Z (см. задачу 1), затем К, N. Прямая (КN) - искомая (обоснуйте.)

Задача 7. Попробуйте решить самостоятельно предыдущие задачи, применяя теорему Брианшона.