Теорема Дезарга

Теорема. Пусть даны два ∆АВС и ∆А′В′С′ между вершинами, которых установлено соответствие (А↔А′, В↔В′, С↔С′).

Доказательство. Нам даны два трехвершинника ∆АВС и ∆А′В′С′, причем (АА′)∩(ВВ′)∩(СС′) = S .

Пусть (АВ)∩(А′В′)=Р, (АС)∩(А′С′)=Q, (ВС)∩(В′С′)=R.

Докажем, что точки Р, Q, R - принадлежат одной прямой. Обозначим - векторы, порождающие соответствующие точки.

Точка S(АА′) - линейно зависимы (1)

Точка S(ВВ′) - линейно зависимы (2)

Точка S(СС′) - линейно зависимы (3)

Рассмотрим разности этих равенств:

(2) - (1):

- вектор который зависит от , а значит точка порождаемая этим вектором лежит на прямой (АВ), в то же время этот вектор зависит от , а значит точка лежит на прямой (А′В′). Т.е. эта точка является пересечением прямых (АВ) и (А′В′)

это точка Р

(3) - (1):

- вектор который зависит от , а значит точка порождаемая этим вектором лежит на прямой (АС), в то же время этот вектор зависит от , а значит точка лежит на прямой (А′С′). Т.е. эта точка является пересечением прямых (АС) и (А′С′)

это точка Q

(3) - (2):

- вектор который зависит от , а значит точка порождаемая этим вектором лежит на прямой (BС), в то же время этот вектор зависит от , а значит точка лежит на прямой (B′С′). Т.е. эта точка является пересечением прямых (BС) и (B′С′)

это точка R .

Итак: , ,

- линейно зависимы точки Р, Q, R - принадлежат одной прямой. □

Замечание: Теорема, двойственная теореме Дезарга, тоже будет верна в силу принципа двойственности. (Самостоятельно).

Замечание: Теорема Дезарга справедлива и в случае, если трёхвершинники лежат в разных плоскостях.

Конфигурация Дезарга состоит из 10 точек и 10 прямых. На каждой прямой 3 точки через каждую точку проходит 3 прямые. Конфигурация Дезарга двойственна сама себе.

Определение: Точка S - называется центром конфигурации, дезарговой точкой или дезарговым центром.

Определение: Прямая, содержащая точки P, Q, R - называется осью конфигурации, дезарговой осью или дезарговой прямой.

Замечание: Любая точка в конфигурации может быть дезарговой точкой. Любая прямая может быть дезарговой прямой.

Задача. Найти трехвершинники в конфигурации Дезарга, если дезаргов центр - точка А.

Решение. А=(СQ)∩(SА′)∩(ВР), остались точки С′, В′, R – они образуют дезаргову ось:

С′=(А′Q)∩(СS), В′=(А′Р)∩(ВS), R=(QР)∩(СВ).

Теперь можно увидеть из каких точек состоят трёхвершинники, это тройки точек А′, Q, Р и В, С, S.

Осталось установить соответствие: А′↔S, Q↔С, Р↔В, ∆А′QР и ∆SСВ.

Задача. Найти трехвершинники в конфигурации Дезарга, если дезаргова ось – (АА′).

Решение. На прямой (АА′) лежит ещё одна точка - S. А=(СQ)∩(ВР),

А′=(С′Q)∩(В′Р),

S=(С′С)∩(В′В).

Теперь можно увидеть из каких точек состоят трёхвершинники, это тройки точек С, С′, Q и В, В′, Р.

Осталась точка R - она является дезарговым центром - R=(ВС)∩(В′С′)∩(QР)

В′↔С′, В↔С, Q↔Р, ∆В′ВР и ∆С′СQ.

Замечание: На расширенной плоскости конфигурация Дезарга может содержать несобственные элементы. (Сколько и какие?)

Задачи на построение.

Задача. Даны a∩b=S, причем точка S расположена за пределами чертежа, и точка Сa, Cb. Построить прямую (CS).

Решение. Задачу можно решить, применяя теорему Дезарга.

(недоступная точка чертежа отделена волнистой чертой).

Построение:

1. А, А′ а и В, В′ b.

2. (АВ)∩(А′В′)= Р. Проведем прямую через точку Р - s.

3. (АС)∩ s = Q и (ВС)∩ s= R.

4. (А′Q)∩(В′R)=С′, (СС′) - искомая прямая.

Замечание: Прямые а и b могут быть параллельными, задача решается аналогично. (Обоснуйте)

Опишите построение самостоятельно: