Изоморфизм моделей

Определение: Две модели называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между ними, сохраняющее основные отношения между элементами моделей.

Замечание: Основными отношениями между элементами (точками) моделей является отношение «принадлежности».

Для изоморфных моделей в силу взаимной однозначности справедливы сходные утверждения. Это позволяет доказывать утверждения для одной модели и переносить его на другую модель.

Изоморфизм моделей проективной прямой или проективной плоскости доказать самостоятельно (установить биекцию между моделями).

Проективная система координат

Проективный репер

Рассмотрим проективные прямую P₁. и плоскость P₂.

Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е₁, Е₂, Е - называется проективным репером на прямой P₁.

Обозначение: R(Е₁, Е₂, Е) - проективный репер на прямой.

Определение: Упорядоченная система точек

Е₁, Е₂ , Е₃, Е , среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости.

Обозначение: R(Е₁, Е₂, Е₃, Е) - проективный репер на плоскости.

Названия: Е₁, Е₂, Е₃ - вершины репера или базисные точки,

Е - единичная точка,

(Е₁Е₂), (Е₁Е₃), (Е₂Е₃) - координатные прямые.

Пусть R(Е₁, Е₂, Е) - проективный репер на прямой (на P₂ все определяется аналогично). P₁ порождается V₂.

Пусть Е₁, Е₂ , Е порождаются векторами - ē₁ , ē₂ , ē V₂.

Замечание: Так как Е₁ ≠Е₂ ē₁ , ē₂ – не коллинеарны, а значит они могут образовывать базис в V₂. В дальнейшем будем считать ē₁ , ē₂ – базисом V₂. Аналогично для Р₂ - векторы ē₁ , ē₂ , ē₃ – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V₃.

Определение: Система векторов ē₁ , ē₂ , ē - называется согласованной, если ē₁+ē₂=ē (для Р₂ - ē= ē₁+ ē₂+ē₃).

Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером.

Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии.

Точки Е₁, Е₂, Е порождаются векторами ē₁, ē₂, ē V₂ они линейно зависимы такие, что α∙ē₁ + β∙ē₂ = ē. Но ē'₁=α∙ē₁ - порождает точку Е₁, а ē'₂=β∙ē₂ - точку Е₂ (аксиома 2). Тогда система ē'₁, ē'₂, ē – будет согласованной с данным репером. □

Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много.

Теорема. Пусть R(Е₁, Е₂, Е) репер на прямой, а ē₁, ē₂, ē и ā₁, ā₂, ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда λ ≠ 0 , причем ā₁= λ∙ē₁, ā₂= λ∙ē₂, ā= λ∙ē.

Доказательство. Так как вектора ē₁, ē₂, ē и ā₁, ā₂, ā порождают одинаковые точки по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е.ā₁=λ₁∙ē₁, ā₂=λ₂∙ē₂, ā=λ∙ē, но системы согласованны ē₁+ ē₂= ē и ā₁+ ā₂=ā λ₁∙ē₁+λ₂∙ē₂=λ∙ē λ₁∙ē₁+λ₂∙ē₂=λ∙ē | : λ≠0