Гармонизм

Определение: Если (AB,CD) = - 1, то четверка точек A,B,C,D называется гармонической.

Рассмотрим гармоническую четверку точек (AB,CD) = -1.

По свойству (2) (CD, AB) = (AB,CD) = -1.

По свойству (3) (AB,DC) = = -1.

Вывод: При перестановке пар и/или точек в паре гармонизм не нарушается.

Теорема. Четвёрка точек A, B,C, D_∞ - гармоническая тогда и только тогда, когда точка C - середина AB . (третья точка – середина отрезка из первых двух).

Доказательство. C – середина AB (AB,C) = 1.

По свойству (6) (AB,CD_∞) = - (AB,C) = - 1 - гармоническая четвёрка. В обратную сторону докажите самостоятельно □

Построение гармонических четвёрок.

Задача 1. В пучке П(S) даны три прямые а, b, с. Построить прямую d такую, что (аb, сd) = -1.

Решение. Сложное отношение прямых пучка определяется сложным отношением точек пересечения этих прямых с какой-либо прямой не инцидентной пучку. Мы должны подобрать прямую таким образом, чтобы точки пересечения давали некоторый отрезок вместе с его серединой, тогда по теореме четвёртая гармоническая точка будет несобственной точкой. А значит, четвёртая гармоническая прямая в пучке будет параллельна подобранной прямой.

Построение:

1. На третьей прямой с выбираем М.

2. Через неё проводим прямые параллельные а и b. (АМ)|| b и (ВМ)|| а

3. А=(АМ)∩а и В=(ВМ)∩b.

4. С=(АВ) ∩ с.

5. Четырехугольник АSВМ – параллелограмм, по свойству параллелограмма точка пересечения диагоналей является серединой диагонали. Т.е. С середина АВ. По теореме

четвертая гармоническая точка будет

несобственной, т.е. D_∞ .

6. Искомая прямая - d=(SD_∞).

Задача 2. В на прямой даны три точки A, B, C. Построить точку D такую, что (AB,CD) = -1.

Решение. Будем использовать предыдущую задачу Возьмем S' (АВ).

Обозначим а=(АS'), b=(ВS), с=(СS'). Далее решение задачи 1.

Опишите последовательность построения самостоятельно.

Гармонические свойства полного четырехвершинника

Теорема. На каждой стороне полного четырехвершинника есть четвёрка гармонических точек, состоящая из двух вершин и двух точек пересечения этой стороны с диагональным трехвершинником.

Теорема. На каждой диагонали полного четырехвершинника есть четвёрка гармонических точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами четырехвершинника.

Гармоническими четверками будут на сторонах:

(AB,PM)=(АC,QG)=(AD,RL)=(BC,RN)=(BD,QF)=(CD,PK)= -1.

на диагоналях: (PQ,NL)=(PR,FG)=(RQ,MK)= -1.

Доказательство. Рассмотрим репер R( A, B, C, D ). Тогда A, B, C, D .

Точка Р является проекцией единичной точки D из третьей базисной точки С на координатную прямую (АВ) Р .

Точка Q является проекцией единичной точки D из второй базисной точки В на координатную прямую (АС) Q .

Точка R является проекцией единичной точки D из первой базисной точки А на координатную прямую (ВС) R .

М (АВ) х₃ = 0.

М (QR)=0- х₁ – х₂ = 0- х₁ = х₂М .

Точки A , B , Р , М лежат на одной прямой и подсчет сложного отношения дает (АВ,РМ)= - 1.

Гармонизм других четверок можно доказать аналогично. □

Другой способ доказательства для других четверок основан на свойстве (7) сложного отношения (самостоятельно).

Замечание: В силу принципа двойственности верна теорема для четырехсторонника. (сам-но).

Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника

Задача. На прямой даны три точки - A, B, C. Построить четвёртую гармоническую точку D.

Решение. Мы должны подобрать какой-либо четырёхвершинник для которого точки А, В будут вершинами, а точка С одной из диагональных точек. При этом четвертая гармоническая точка будет пересечением диагонали со стороной (АВ).

Построение:

1. Берем произвольную точку Р (АВ).

2. Проводим прямые (АР) и (ВР).

3. Через точку C проводим произвольную прямую с, так что Р с.

4. С₁= (ВР) ∩ с, D₁ = (АР) ∩ с, Q = (АС₁)∩(ВD₁ ).

5. В четырехвершиннике АВС₁D₁ точки Р , Q , С – диагональные. Тогда (РQ)∩(АВ)= D - искомая.

Замечание: Если C – середина AB, тогда D будет бесконечно удаленной точкой.

Рассмотрим частные случаи полного четырёхвершинника на расширенной евклидовой плоскости.

• Одна из диагональных точек - несобственная.

Например, точка R_∞ (АD) || (ВС) АВСD – трапеция.

(AD,LR_∞)= (BC,NR_∞) = - 1

по свойству гармонических четвёрок

точка L -середина отрезка AD,

а точка N - середина отрезка BC.

Вывод: Прямая проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон и точку пересечения диагоналей трапеции делит основания трапеции пополам. (Теорема о четырёх точках трапеции).

• Две диагональные точки несобственные.

Например, точки Р_∞ и R_∞ (АD) || (ВС) и (АВ) || (СD) АВСD – параллелограмм.

Так как прямая (Р_∞R_∞)- несобственная, то точки F, G тоже несобственные (АC,QG_∞)=(BD,QF_∞)=-1

точка Q - середина отрезков АС и BD.

Вывод: Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит диагонали пополам.

(Свойство параллелограмма).

Задачи на построение.

Задача 1. Даны прямые а || b, точки А, В а. С помощью линейки построить середину отрезка АВ.

Решение. Так прямые параллельны будем использовать частный случай четырехвершинника – трапецию.

Построение:

1. Берем Р неинцидентную прямым а и b.

2. Проводим прямые (АР) и (ВР).

3. Строим точки

С=(АР)∩b,

D=(ВР)∩b.

4. Q = (СВ)∩(АD).

5. (РQ)∩(АВ)= М - искомая середина отрезка.

Задача 2. Даны точки А, В, С а и точка D а , причем точка С - середина отрезка АВ. С помощью линейки, через точку D провести прямую b ||а.

Решение. Так как необходимо построить параллельную прямую, будем использовать частный случай четырехвершинника – трапецию.

Построение:

1. Проводим (АD).

2. Берем Р(АD),

Р≠А, Р≠D.

3. Проводим прямые (СР), (ВР) и (ВD).

4. Q = (СР)∩(ВD).

5. (АQ)∩(ВР)= М.

Искомая

прямая - (МD)||а.

Задача 3. Даны прямые а || b, точки А, В а. С помощью линейки удвоить отрезок АВ.

Решение. Так прямые параллельны будем использовать частный случай четырехвершинника – трапецию.

Построение:

1. На прямой b возьмем две произвольные точки С и D.

2. Используя задачу 1, построим точку М – середину СD.

3. (АС)∩(ВМ)= Р.

4. (РD)∩а = N - искомая точка.