Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тувинский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Проективная геометрия для ИМ..doc

Скачиваний:

246

Добавлен:

30.10.2018

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Простое отношение

Среди любых трех точек лежащих на одной прямой (евклидовой), одна всегда лежит между двумя другими.

Определение: Простым отношением трех различных точек А, В, Сl называется число λ такое, что .

Тогда λ=±.

Обозначение: λ=(АВ,С)

Если С (АВ), тогда , а значит λ > 0.

Если С (АВ), тогда , а значит λ < 0.

При λ = 0 получим А=С, при λ = - 1 получим А=В. Но точки А, В, С различны, значит λ ≠ 0 и λ ≠ - 1.

На расширенной евклидовой плоскости возможно в случае, когда С_∞.

Будем считать на расширенной евклидовой прямой, что (АВ,С_∞) = -1.

Пусть точки имеют аффинные координаты А(α), В(β), С(γ). Тогда вектор = ( γ - α ), а вектор = ( β – γ ).

( γ - α ) = λ∙( β – γ ) λ = - здесь уже учтен знак простого отношения.

Схема для запоминания формула для вычисления

Задача. Даны аффинные координаты точек А(3), В(-2), С(2), М(3,5). Найти простые отношения (АВ,С), (ВС,А), (ВС,М), (СМ,А).

Решение.

(АВ,С) = = 0,25, ( ).

(ВС,А) == -5, ( ).

(ВС,М) =, ( )

(СМ,А) = = 2, ( ).

Сложное отношение

На проективной прямой одна из трёх точек всегда лежит между двумя другими.

Нет смысла говорить о простом отношении трех точек. Необходима дополнительная точка.

Рассмотрим A, B, C, D, причем А, В, С – различны и D ≠ А.

Из первых трёх точек можно составить репер - R(А,В,С) и пусть точка D в этом репере.

Определение: Число λ = называется сложным (или двойным) отношением четырёх точек лежащих на одной прямой.

Обозначение: λ=(AB,CD).

Замечание: Так как D ≠ А , значит х₂≠ 0 (AB,CD)= - всегда определено.

Теорема. Для А, В, С - различных точек на проективной прямой и любого действительного числа λ существует единственная точка D на этой прямой такая, что (AB,CD) = λ.

Доказательство. Так как А, В, С – различны, то они могут образовать репер R(А,В,С). Тогда в этом R(А,В,С) существует некоторая точка D с координатами и по определению сложного отношения (AB,CD)== λ (существование).

Докажем единственность от противного: Пусть существует еще одна точка D₁ такая, что

(AB,CD₁)=λ= х₁=λ∙х₂ D₁ ==D D₁=D (единственность). □

Вывод: По любым трем точкам и λ всегда можно найти четвертую.

Пусть А , В , С , D - различные точки.

Возьмем первые три в качестве нового репера, если +≠, то репер R′(А , В , С) не согласован. Согласуем репер:

k₁ + k₂ =

∆=, ∆₁=, ∆₂= k₁ =, k₂ =.

Тогда матрица преобразования координат - M=.

Обратная для неё - M^-1 =.

По формулам преобразования координат: μ D_R_′ = М^-1 ∙ D_R

=∙=

Множитель можно отбросить. (Почему?)

(AB,CD) =.==

Эту формулу можно записать с помощь определителей (проверьте самостоятельно):

Схема для запоминания формула для вычисления

Свойства:

1. Сложное отношение не зависит от выбора репера.

Доказательство основано на формулах перехода к новому реперу

λ Х_R =А∙X_R_′ и μ X_R_′ = А^-1 ∙ Х_R и свойствах определителя.

2. При перестановке пар сложное отношение не меняется: (AB,CD) =( CD, AB).

3. При перестановке точек в паре сложное отношение меняется на обратное:

(AB,CD)=.

Доказательство свойств 1 - 3. Самостоятельно.

4. При перестановке крайних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице. При перестановке внутренних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице.

(AB,CD) = 1 - (DB,CA) или (AB,CD)= 1 - (AC,BD).

Доказательство. Рассмотрим репер из первых трёх точек А, В, С и пусть точка D в этом репере, тогда (АВ,СD)== λ .

(DВ,СА)=

Докажите это свойство другим способом.

Из точек A, B, C, D можно составить 24 комбинации сложных отношений точек (4!) , некоторые из них будут совпадать. Например (AB,CD) =( CD, AB) = (DC,BA) = (BA,DC) (проверьте).

Таким образом, будет 6 различных сложных отношений (проверьте).

(AB,CD) = λ → .

Определение: Если (AB,CD) > 0, то говорят, что пара AB не разделяет пару CD. Если (AB,CD) < 0, то говорят, что пара AB разделяет пару CD.

5. (AB,CD) = (поэтому сложное отношение называется двойным).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат. Пусть известны аффинные координаты точек А(α), В(β), С(γ), D (δ), тогда их проективные координаты будут

А , В, С, D .

С одной стороны (AB,CD) = =.

С другой стороны (AB,C) = и (AB,D) =

===□

6. Если D_∞ - несобственная точка, тогда (AB,CD_∞) = - (AB,C).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат R(Е_1∞, Е₂, Е). Пусть известны аффинные координаты собственных точек А(α), В(β), С(γ), тогда их проективные координаты будут А , В, С.

Так как точка D несобственная, то D=Е_1∞, D .

С одной стороны (AB,CD_∞) = =.

С другой стороны (AB,C) = .

Попробуйте доказать это свойство другим способом. □

Определение: Центральной проекцией прямой ℓ на прямую ℓ' из точки S называется отображение, при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А' прямой ℓ'

такая что А'= ℓ ' ∩ (SА).

7. При центральном проектировании сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой не меняется. (AB,CD)=(A'B',C'D').

Доказательство. (AB,CD) =λ, доказать, что (A'B',C 'D') = λ.

На прямой (SС) возьмем точку Е и рассмотрим репер

R( А, В, S, Е).

Тогда А, В, S, Е .

D(АВ) D, С=Е₃₀=.

Тогда в согласованном репере R(А,В,С) - D (AB,CD)==λ (обоснуйте).

А'(АS) А', сократим на х₁ , получим .

В' (ВS) В', сократим на у₂ , получим .

Рассмотрим репер R'(А',В',S,Е). Он не согласован т.к. ++ ≠.

Решая систему , получим k₁ = 1, k₂ = 1, k₃ = - а – b.

Тогда, М и М^-1

Пусть точка D в репере R' имеет координаты , тогда по формулам преобразования координат μ Х_R_′ = М^-1 ∙Х_R

D_R_′ =·= .

С_R_′ =·==.

Так как точка D' является проекцией точки D из точки S (вершины нового репера) на координатную прямую (А'В'), то по теореме о проекциях D'_R_′=. Точка С' является проекцией точки С из точки S на (А'В'), то С'_R_′=. Значит в репере из точек А', В', С' точка D' ,

тогда (A'B',C 'D')= . □

Замечание: Это свойство позволяет вычислять сложное отношение для точек, заданных своими координатами на проективной плоскости.

Задача. Найти сложное отношение точек A, B, C, D.

Решение. Проверим коллинеарность точек.

~~~~ rang = 2 точки коллинеарны.

(Какими ещё способами можно проверить коллинеарность точек?)

Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например, из Е₃ на (Е₁Е₂), получим точки

A₃ ,B₃,C₃ ,D₃ .

В репере R( Е₁, Е₂, Е₃₀) эти точки будут иметь координаты A₃ ,B₃,C₃,D₃.

По свойству (7) получим

(AB,CD) = (A₃B₃,C₃D₃) ==3.

Замечание: Проверка коллинеарности точек на плоскости обязательна!

Замечание: Это свойство позволяет вводить понятие сложного отношения четырёх прямых пучка. Проводя любую прямую, не принадлежащую пучку, мы будем получать четвёрки точек с одинаковым сложным отношением.

Определение: Сложным отношением 4 прямых пучка будем называть число (ab,cd) = (AB,CD).

Задача. Найти сложное отношение прямых а: х₁ – 3х₂ + 5х₃ =0, b: 4х₁ + 3х₂ - х₃ =0,

c: 2х₁ – х₂ + 3х₃ =0, d: 3х₁ – 4х₂ + 8х₃ =0.

Решение.

Первый способ: Проверим принадлежность прямых одному пучку.

Найдем точку пересечения прямых а и b:

→ → или - М.

Проверим, принадлежит ли точка М прямым с и d:

для прямой с: 2∙(-4) – 7 + 3∙5= 0, для прямой d: 3∙(-4) - 4∙7 + 8∙5 = 0.

прямые принадлежат одному пучку. (Какими ещё способами можно проверить принадлежность прямых одному пучку?)

Выберем любую прямую не проходящую через точку М, например прямую (Е₂Е₃), её уравнение х₁ = 0. Найдем точки пересечения данных прямых с прямой (Е₂Е₃):

→ → - точка А,