ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

Ответ: wc =•?

=

2Re0e2 + -§^-

(е4 - 2е3),где и е4 —

лежащие в

плоскости

рисунка

единичные векторы, перпендикулярные

к прямым

ОС и ОВ

соответственно (оба орта

направлены вверх).

%

£

X

cosjj

0

—sinp

У

sin a sin j3

cos а

sin a cos P

г

cos a sin P

— sin

а

cos a cos p

20.2. Во втором способе установки карданова

подвеса, описанного

в предыдущей задаче, ось вращения

внешнего

кольца

параллельна

поперечной оси

корабля. При

этом способе

подвеса ось

\, связанная

с кораблем, совпадает с осью

хх

вращения внешнего кольца, а ось у

вращения внутреннего кольца

совпадает

с осью уь

жестко связанной

л

С

X

cosр

sin к sin р

— cos a sin P

У

0

cos a.

sin a

Z

sing

— sin л cos p

cos a cosP

Ответ: со =

j _ да _j_<^_j_2фф cos 65

u)£ = tpsin 0 cos ф— 8sin ф, u>n= ? s i n 9 sin ф-[-9 cos ф,

шс =

фcos 8 -\- ф;

( Й ^ . ^ — 4>sin8coscp-j-8sin!p, (o)l = 4)sin8sin'f-|"9coscp,

ш^=

фcos6-|-4>.

1

1

I

X

cos г|5 cos б

sine

— sin if cos 6

и

sin i|> sin ф — cos i|) sin в cos ф

COS 6 COS ф

cos г|) sin ф + sin ^ sin 6 cos ф

г

sin ф cos ф + c o s г|> sin 6 sin ф

— cos в sin ф

cos i|) cos ф — sin t|) sin в sin ф

К задачам 20.3 и 20.4.

К задачам 20.5 и 20.6.

проекции угловой скорости самолета на оси систем

координат Cxyz

и С|г)£ (Ол. чертеж к предыдущей задаче).

Ответ: со*=ф sin 8-fcp,

^ ^

©У = ф cos 8 cos ф+ 8 sin ф,

<»г = — ф cos 8sin ф-f- 8 cos ф;

со*= ф cos ф cos 8-(- 8 sin ф,

20.7. Для исследования качки корабля и

его устойчивости на курсе вводят три кора-

бельных

угла:

ф — дифферент, 8 — крен

и

К задачам 20.7

и 20.8.

ф —угол

рыскания;

система

отсчета Cxyz

жестко

связана

с кораблем;-С — центр

тяжести

корабля; ось х на-

правлена

от кормы

к носу,

ось у — к

левому

борту, ось

z — пер-

сительно курса

корабля: ось £ вертикальна, горизонтальная ось \

направлена по

курсу, горизонтальная ось т} — влево от курса

(на

рисунке изображены системы осей, введенных А. Н. Крыловым).

. •

153

Ответ: ч>х = фcos бsin<p-f- бcos ср> ^ = 8 cos ф-f- <fsin ф cos б, •

wy = фcos б cos tp—6 sin 9, ш = ф— фsin б,

шг = — фsin 9-f- Т!

ю^= — 0sinф+ фcos фcos 0.

20.9. Точка -М (центр тяжести

самолета, корабля) движется

вдоль

поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса R*)\ восточная состав-

ляющая скорости точки

равна VE> а северная V/f. Определить

скорость

изменения

широты

9

и

долготы

X текущего положения

точки М.

VN

\

VE

Ответ:

ф= -тг,

—-в

; при положительных

vE и v^ состав-

ляющая ф

направлена

на

запад,

а составляющая

%—по оси

SN

К

задачам 20.9.

К задачам 20.10.

20.10. Для изучения движения вблизи

земной поверхности тел

(самолетов,

ракет,

кораблей) и

приборов,

установленных

на них,

вводят

подвижной координатный

трехгранник —трехгранник

Дарбу.

При географической

ориентации

трехгранника Дарбу OfrjC горизон-

тальная

ось k направляется на

восток, горизонтальная ось

т\—на

п = (U + Я) cos ф =

c o s Ф"»

<ос = (С/+ й.) sin ф =

(U + ^ j j j )

sin Ф .

20.11. Трехгранник Дарбу Oxyz

на поверхности

Земли ориенти-

рован не географически, как это было сделано

в предыдущей задаче,

а по траектории основания трехгранника относительно

Земли: ось х

направляется горизонтально по скорости v вершины

О

(центр тяже-

Определить проекции угловой скорости трехгранника

Oxyz,

если

скорость точки О равна v, а ее курс

определяется углом i|)

(угол

между направлением на север и

относительной

скоростью

точки О).

Ответ:

<ля = Ucossфcossif;; <о^==£/cos9sini|) + -D;

—•.

Здесь R, U, ф и X имеют значения, введенные в задачах

20.9 и 20.10,

а р — радиус

геодезической кривизны траектории (р >

0 при ф 0

и р < 0 при ф > 0).

11

1у(себер)

//роещия/праешории

f/а горизонтамни/с

ftucosa + и£

^плоскость Оху

К задаче 20.11.

К задаче 20.12.

Определить

проекции

угловой

скорости

трехгранника

Ox°y°z°>

если

составляющие

скорости

точки

О относительно

Земли равны .

vE и vN.

Ответ:

(в*.—О, а у = - £ - ,

u)2o =

(f/-b^)sin<p + ^

где

Н, U,

tp и

А имеют

значения,

введенные

в

задачах 20.9

и

20.10(

V"N И tgo = -

20.13.

Гироскоп

направления

установлен

в кардановом

подвесе.

Система координат x1y1z1

связана

с

внешней рамкой (ось вращения

ее вертикальна),

система xyz

скреплена

с

внутренней

рамкой (ось х

1

вращения

ее

горизонтальна). Ось z

внутренней рамки является одновре-

менно

осью

собственного

вращения

гироскопа.

географически

ориентированных

осей

\if, (см. задачу 20.10), если

поворот внешней рамки

(оси уг)

отсчитывается по часовой стрелке

ог плоскости

меридиана

(плоскость

rfj) и

определяется углом а,

а подъем оси z над горизонтом

определяется

углом Р;

Ответ: 1)

С

2

Sin a COS P COS a COS P sin p

ная

составляющие скорости точки подвеса соответственно равны

1>N и

VE-

Ответ;

© * = В — (U + ' - Б — - — ) cos шsin a

^- cos a,

х

^

\ '

#СОвф / Т

#

<o y =acosP + (£/ +

7r-^—) (cos<pcosa sin В —sincpcosB)—^ sin a sin p,

J

\

i\ COS ф/

/\

ю*= a sin В-ы t/ -\-R

E—)

(cosфcosa cos В-f-sin<psin B),

где R — радиус

Земли.

20.15

(604).

Движение

тела

вокруг неподвижной точки задано

К задаче 20.16.

П р и м е ч а н и е .

Колесо

вращается вместе с вагоном вокруг

вертикаль-

ной оси Ог, проходящей через центр закругления

пути,

и относительно

вагона

вокруг

оси АВ,

т. е. вращается вокруг неподвижной точки

О.

Ответ:

Неподвижный

аксоид — конус, ось

которого

совпадает

с осью Oz и с углом

при

вершине

a = 2 arctg 21,6= 174°42'.

Подвижный

аксоид — конус

с

осью

АВ

и

углом

при вершине

Р = 2 arctg 0,0463= 5° 18'.

20.17

(610).

Движение

тела

вокруг

неподвижной

точки

задано

при

помощи

углов

Эйлера

следующими

уравнениями:

<p = nt,

ij) = я/2 -{- ant, 6= я/3.

Определить

проекции

угловой

скорости и

углового

ускорения

тела

на неподвижные

оси, если а и п —постоян-

Ответ:

и>х =

— j - cos ant, (uy==-—smant,

ч>г = n I a -f- -^

e^ = — д я

/

sin a?rf, гу = ап

cos ant, ^ = 0; a = — -s-.

20.18.

УГЛЫ

Эйлера,

определяющие положение тела,

изменяются

по

закону

(регулярная

прецессия)

ф=

ф0-j~и^,

6=

9О, <р = фо-\-щ(,

где

фо> 6Oi

?о— начальные значения

углов,

а «f

и «а — постоянные

числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить

угловую скорость

со тела,

неподвижный

и подвижный

аксоиды.

Ответ.

1) <о = Yn\ -f- n\-j~2щщ cos60;

2)

неподвижный

аксоид — круговой

конус

Е44" ^

—

П% Sin8

60

а

п

v

n

• И» Sin 8n

— 7—^-н—г—Г2^"

: =0

с

осью

С и углом

раствора

2arcsin-s

-;

(геа cos80 +

rtt)2

Jру

v

F

у

\усо

L

a

s i n

"E—г3)—^2подвижный= 0 с осьюаксоидг и —угломкруговойраствораконус2 arcsin "'^

^ "

Хх= 2 cos(nt -f- я/2), х2

= 3cos(я^+ я).

о

Ответ:

JtT= l/l3cos(rc£-J-a),

где a = arctg у = 33°40f.

21.2. Барабан

записывающего

устройства

вращается равномерно

со

скоростью

ю0

сек'1.

Радиус

барабана г.

Самописец соединен

с

деталью, движущейся

по вертикали

по закону

К задаче 21.2

К задаче 21.3.

Ш2 Г "

0) 2 Г

К задаче 21 4.

21.5. Стрела

АВ

поворотного крана

вращается

вокруг

оси Oi02

с

постоянной угловой

скоростью о. По горизонтальной стреле от А

к В

движется тележка с постоянной скоростью v0.

Определить

абсолютную траекторию тележки, если

в

начальный

момент

тележка

находилась

на

оси ОуО%.

Ответ:

Траектория — архи-

медова

спираль

9L

\

7"

J__.

К

/

\

где

г — расстояние

тележки

о

оси

вращения, <р — угол поворот

К задача 21.6.

крана вокруг оси ОхО2.

21.6 (417). Лента прибора, слу-

жащего для записи колебательных

движений,

движется

по направлению

Ох

со

скоростью

2 м/сек.

Колеблющееся

вдоль

оси Оу тело вычерчивает на ленте

синусоиду,

наибольшая

ордината

которой АВ = 2,5 см, а

длина

О^С = 8

см.