рый также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М — массы верхнего и нижнего волчков, С и С — их моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и е ' — расстояния центров тяжести волчков от соответствующих остриев; h — расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Q и Q'. Вывести условия устойчивости системы.
Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой степени
[АА' + Mh2 |
(А — Мс2)] X* -f [A'C'Q' + CQ (A' -f Mh2)] Xs + |
|
|
+ [A (Me' + Mh)g+ (A' + Mh2) Mcg+ CC'QQ'] Xa + |
|
|
|
|
+ [CQ (Me' + Mh) g+ C'2'Mcg]X + Mc (Me' + Mh) |
g2=0 |
различны |
и вещественны. |
|
55.20. Деталь / |
перемещается поступательно с постоянной скоро- |
стью |
v0 |
и |
через |
пружину передает движение ползуну 2. Сила |
тре- |
ния |
между |
ползуном и направляющими 3 зависит от скорости пол- |
зуна |
v следующим |
образом: |
|
/ / = / / 0 sign v—<ro -f- $гР,
где HQ, a, p — положительные коэффициенты.Определить, при каких значениях v0 равномерное движение ползуна является устойчивым.
i Ответ:
К задаче 55.20. |
К задаче 55.21. |
55.21. Агрегат, состоящий из двигателя / и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент инерции Jlt приложен момент Mv зависящий от угловой скорости ротора $ следующим образом:
К валу машины, имеющему момент инерции J2> приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф:
М2 = М0—р-2(ф—о»0).
Коэффициенты (^ и fi2 положительны. Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью ю0 является усгойчивым.
Ответ:
55.22. Уравнения возмущенного движения имеют вид
Л _ . |
9v |
V |
v |
v |
v- |
v |
V |
и-]_ - |
' A.~*V j |
" ' З ~"~ " * 3 ~"~ " |
4> |
" 2 *"—* |
1 """"" 4* |
Определить собственные числа и устойчивость системы. Ответ: 'k-l='k2 = — 1 , Х3 — А4—0; движение устойчиво.
55.23. Уравнения возмущенного движения имеют
|
л j '~—^™* &Ж j ~' |
•Л'2 " * ^ 3"™""" |
АР' *^2 — * • |
|
^ |
, |
TV* |
О V* |
_ ^ О V* |
|
|
лз — |
^ ^ 1 |
""^З |
*"-*"4' |
|
Определить |
собственные |
числа |
и устойчивость |
|
системы. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Я,1= Лз= — Ь |
Яз= Я4= 0; движение |
|
неустойчиво (сравнить с ответом к задаче 55.22). |
|
55.24. Исследовать устойчивость |
установившегося |
К задаче 55.24. |
Движения (8= C0nst, i|) —Const) |
СферичеСКОГО МЭЯТ- |
|
ника относительно |
величин |
б, 9 и ф. |
|
У к а з а н и е . Воспользоваться линейной связкой интегралов. Ответ: Движение устойчиво.
§56. Нелинейные колебания
56.1(1291). При испытаниях рессор была получена «треугольная»
характеристика |
изменения упругой силы. При отклонении рессоры |
от положения |
статического равновесия имеет место верхняя ветвь (cj) |
характеристики, при возвращении —нижняя ветвь (с2) характеристики. |
В начальный момент рессора |
отклонена от положения статического |
|
|
равновесия |
на х0 и не имеет |
|
|
начальной скорости. Масса рес- |
|
|
соры т\ коэффициенты жестко- |
|
|
сти рессоры сх и с2. Написать |
|
|
уравнения |
свободных |
колеба- |
|
~х |
ний рессоры для первой поло- |
|
|
вины полного периода колеба- |
|
|
ний и найти полный период |
К задаче 56.1. |
|
колебаний |
Г. |
|
|
Ответ: |
При возвращении |
|
|
|
|
рессоры в положение |
статиче- |
ского равновесия x — x0cosk%t; |
при отклонении от положения стати- |
ческого равновесия |
|
|
|
|
56.2 (1292). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи свободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и i. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости с^с^, соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики.
Ответ: Последовательные значения амплитуд через каждые полпериода колебаний убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем
56.3. Масса т колеблется на пружине, коэф- |
т |
|
фициент |
жесткости |
которой с. На одинаковых рас- |
|
стояниях А от положения равновесия установлены |
|
жесткие |
упоры. Считая, |
что удары |
об упоры |
проис- |
к задаче 5б.з. |
ходят с коэффициентом восстановления, равнымеди- |
|
нице, |
определить |
закон |
движения |
системы при периодических коле- |
баниях |
с частотой |
<в. Найти возможные |
значения <в. |
|
_ |
|
|
д |
|
|
/ |
|
|
я \ |
п |
, |
я { * с |
Ответ: х = —г— sin д |
\ |
г — д— 1 при Oss^rsg: — Ik — — |
|
|
. |
kn |
|
|
|
|
2(о / |
|
|
со \ |
от |
|
|
8 Ш 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56.4. |
Решить |
предыдущую |
задачу в предположении, что имеется |
только |
|
нижний упор. |
Д |
|
|
|
|
/я |
\ |
|
|
2я |
|
Ответ: х= |
|
rcosf |
|
|
|
|
|
|
п |
при 0 ^ / ^ —; k*e^a>*£^Zk. |
|
|
|
COS Jlft |
|
|
|
\ СО |
'/ |
|
|
(О |
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56.5. Определить |
зависимость амплитуды первой гармоники свобод- |
ных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид
|
|
|
тх + Fo sign JC-j- |
ex=0. |
Ответ: а,1 |
= — |
; |
— 2^ — r . |
|
|
л (mo) — c) |
|
56.6. Движение |
|
системы описывается |
уравнением |
х + (i2 + кгхг - а2) к+ Аадг= 0.
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить амплитуду |
автоколебательного |
процесса, возникающего |
в системе; исследовать его устойчивость. |
|
Ответ: a= a/k; |
автоколебания устойчивы |
в большом. |
56.7 |
Выявить |
условия, |
при |
которых в |
системе, рассмотренной |
в задаче 55.20, могут |
возникнуть |
автоколебания, близкие к гармони- |
ческим колебаниям |
частоты |
А= Т / — , где |
с —коэффициент жест- |
кости |
пружины, т —масса |
ползуна! Определить приближенно ампли- |
туду |
этих |
автоколебаний. |
|
|
|
Ответ: 0,8 ^<vl<^; |
*~ £ ( $ - *5) . |
56.8. Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 55.20, сила трения Н постоянна и равна Яа при v^O и равна # i при г/= 0 («трение покоя»), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна равна т, а коэффициент жесткости пружины с.
|
Ответ: Т=^+ |
-^(1 |
— cosktj, гж *=K--±1^L-, |
k==y - , |
ti |
— наименьший корень уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a sinktx = cos kti — 1. |
|
|
|
|
56.9. |
Macca |
|
tn |
связана |
с |
неподвижным |
основанием |
пружиной |
с |
жесткостью с |
и |
демпфером |
сухого трения, величина силы сопро* |
тивления в котором не зависит |
от скорости |
и равна Н. На одинако- |
вых расстояниях |
Д от положения равновесия установлены жесткие |
упоры. Считая, |
что удары |
об |
упоры |
происходят |
с коэффициентом |
восстановления, равным единице, определить |
значение И, при котором |
вынуждающая |
сила |
Fcosiot |
не может |
вызвать |
субгармонических |
резонансных колебаний, имеющих частоту w/s (s — целое число). |
|
Указание . |
|
Определить |
. условия |
существования |
периодического |
режима, близкого к свободным |
колебаниям системы с частотой |
и/s. |
|
Ответ: Для четного s |
//^>0; для нечетного |
s |
|
|
|
56.10. |
Центр |
однородного |
кругового |
цилиндра, |
катящегося без |
скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной горизонтали с центром диска. Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с. В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна /.
Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения.
Ответ: Г = 4/ т/б £ I _ ^ = = 4 КЗ т/« LK Ш где
J
К— полный эллиптический интеграл первого рода.
56.11.Методом малого параметра определить амплитуду а и период Т автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением
А р* К Л •— •-• |л | ^ * А / А —
Ответ: а — 2я; 7 = у (1 —
56.12. Уравнения движения маятника в среде с сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном направлении, имеют вид
где A, k иЖ» — постоянные величины.
Считая, что у <, 1, ^ - < < i , применить метод медленно меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося движения маятника.
Ответ: Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла на плоскости (ф, ф) равен
1 Ак где Г — -
h T k2 > г д е ' — k-
56.13. Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования.
Ответ: <Po = -jp- j — = и \ % = °-
ДОБАВЛЕНИЕ
МЕЖДУНАРОДНАЯ СИСТЕМА ЕДИНИЦ (СИ)
В декабре 1960 г. XI Генеральная конференция по мерам и весам приняла единую Международную систему единиц (СИ).
Процесс введения этой системы в практику (и особенно тех ее единиц, которые еще не получили широкого распространения) будет осуществляться постепенно, в течение ряда лет; в переходный период, конечно, будут сохраняться и традиционные единицы систем СГС и МкГС, использованные в настоящем «Сборнике».
Приведем для справок выписку из таблиц Международной системы единиц по ГОСТу 9867-61:
Сокращенные
|
обозначения единиц |
Наименование величины |
Единица измерения |
|
|
|
латинские |
|
русские |
или |
|
|
греческие |
Основные единицы
Длина |
Метр |
м |
m |
Масса |
Килограмм |
кг |
kg |
В р е т , |
Секунда |
сек |
s |
Сила электрического тока |
Ампер |
а |
А |
|
|
|
Дополнительные |
единица |
|
|
|
|
Плоский угол |
|
|
I Радиан |
|
|
|
|
I |
pad |
I |
rad |
Телесный |
угол |
|
|
| Стерадиан |
|
|
|
| |
стер |
| |
вг |
> |
|
Производные |
единицы. |
|
|
|
; |
Площадь |
|
|
|
Квадратный метр |
|
|
м' |
|
тг |
Объем |
|
|
|
Кубический |
метр |
|
|
At1 |
|
га' |
'Частота |
|
. |
|
Герц (1/сек) |
|
|
|
гц |
|
Hz |
Объемная |
масса (плотность) |
|
Килограмм |
на куб. метр |
|
кг/л3 |
|
kg/m3 |
Скорость |
|
|
|
Метр в секунду |
|
|
|
м/cerc |
|
m/s |
Угловая скорость |
|
Радиан в секунду |
|
рад/сек |
|
rad/s |
Ускорение |
|
|
Метр на секунду в квадрате |
|
м1секг |
|
m/sa |
Угловое ускорение |
|
Радиан |
на секунду |
в квадрате |
|
рад{секя |
|
rad/s2 |
Сила |
|
|
|
Ньютон (кг- м/сек1) |
|
|
н |
|
N |
Давление |
(механическое напраже- |
Ньютон на кв. метр |
|
н/мг |
" |
N/mz |
ние) |
|
|
ч - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Динамяческая вязкость |
|
Ньютон • секунда |
на Кв. метр |
|
я • сек/м* |
N • s/щ2 |
Кинематическая вязкость |
|
Кв. метр на |
секунду |
|
мг/сек |
|
m! /s |
Работа, энергия, количество теп- |
Джоуль (к • л) |
|
|
|
дж |
|
J |
лоты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мощность |
|
|
Ватт (дж/сек) |
|
|
|
em |
|
W |
Количество электричества |
|
Кулон |
(а. сек) |
|
|
|
к |
|
С |
Электрическое |
напряжение, |
раз- |
Вольт (в/п/а) |
• |
|
|
в |
|
V |
ность потенциалов, электродви- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жущая |
сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность электрического по- |
Вольт на метр |
|
|
|
в / * |
|
V/m |
ля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Электрическое |
сопротивление |
| |
Ом (в/о) |
|
|
|
|
ом |
|
В |
Электрическая |
емкость |
|
Фарада |
(к/в) |
|
|
|
ф |
|
F |
Поток магнитной индукции |
|
Вебер |
(к/ом) |
|
|
|
вб |
|
Wb |
Индуктивность |
|
|
Генри (вб/а) |
|
|
|
гн |
|
Н |
Магнитная индукция |
|
Тесла (вб]м*) |
|
|
|
тл |
|
Т |
Напряженность магнитного пол» |
Ампер |
на метр |
|
|
|
а/м |
|
А/ш |
Определения основных единиц
Метр—длина, равная 1650763,73 длин волны в вакууме |
излучения, |
соответствующего |
переходу между уровнями 2р10 и Ыь |
атома |
криптона —86. |
К и л о г р а м м—единица массы — представлен массой |
международного |
прототипа килограмма. |
|
|
|
Секунда—1/31556925,9747 часть тропического года |
для |
1900 |
г. января |
0 в 12 часов эфемеридного времени. |
|
|
|
Ампер—сила |
неизменяющегося тока, который, проходя |
по двум парал- |
лельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого
кругового |
сечения, |
расположенным |
на расстоянии 1 |
м один |
от другого |
в вакууме, |
вызвал |
бы между этими |
проводниками силу, |
равную |
2 • 10~J еди- |
ницы силы Международной системы на каждый метр длины.
Некоторые переводные множители
1 кГ = 9,80665 к =«9,81 я |
|
1 кГм = 9,80665 дж«*9,81 дм |
1 дина= 10~Б « |
|
1 зрг=10~7 дж |
1 кГ/см* = 98066,5 н/м3 |
' |
1 кал = 4,1868 дж |
1 дина/см* = 0,1 н/ла |
|
|
Иван Всеволодович Мещерский
Сборник задач по теоретической механике М., 1975 р., 448 стр. о илл.
Редактор И. А. Маркузон
Техн. редактор В, Н. Кондакова
Корректоры Т. С Плетнева, И. Б. Румянцева
Печать с матриц. Подписано к печати 25Ш1 1975 г. Бумага 60x90 V». т и п - № 3. Фнз. печ. л. 28. Усл'овн. печ. л. 28. Уч.-изд. л. 27,98. Тираж 155000 экз. Цена книги 88 коп. Заказ № 1952.
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, !5
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленин-
град. П-136, Гатчинская ул., 26.
