ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

Ответ: Ф— Фо = С arctg —

vt

, где §0 и С —

произвольные постоянные.

48.21

(1203). Концы однородного

тяжелого

стержня АВ длиной 2а

К задаче 48.20.

К задаче 48.21.

и массы М скользят без трения по

горизонтальному

и вертикаль-

ному

стержням

рамки,

вращающейся

с постоянной угловой

скоро-

стью

«

вокруг

вертикальной

стороны.

Составить

уравнение

движения стержня

и определить положение

относительного

равновесия.

4

- 4

Ответ: -^Ма2гг—^--/Wco2a2

sin •& • cos # — Mga sin -г> = 0, где •& —

угол, образуемый стержнем с вертикалью.

В положении

равновесия $ = 0

(неустой-

чивое

равновесие).

48.22 (1204). К окружности однород-

ного

диска

радиуса

R шарнирно присое-

динен рычаг, несущий на своих концах

сосредоточенные

массы

т{

и

т%. Рас-

стояния масс от шарнира соответственно

равны 1г и /2. Диск вращается около вер-

тикальной оси, перпендикулярной к его

плоскости,

с угловой

скоростью и. Со-

v

ставить

уравнение движения

рычага

ич

к задаче 48.22.

определить

его

относительное положение

равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось

вращения рычага

парал-

лельна

оси

вращения диска.

Ответ: {тх1\ + тгЩ •§ — Ru? (т^

— m2/2) cos {Ир — wt) — 0.

При

m-J-i = mj-г

рычаг

в

безразличном относительном

равно-

весии.

При Ш\1\ =£ mj%

существуют

два

положения

относительного

координатах

х

и у,

связанных

с диском

и имеющих начало

в его

центре

тяжести,

заданы

в виде x = x(t),

y=y(t).

Момент инерции

диска

относительно

его

центра

тяжести

равен J.

Определить

закон

изменения угловой

скорости диска. В начальном

положении

диск

неподвижен.

скоростью v =

at.

Найти закон движения

диска.

,,

mM

Ra

,8

p a

Ответ: Т=

-

H

**

**

вращается под действием постоянного момен-

К задаче 48.27.

та М, (См. чертеж к задаче 48.27.)

Ответ: та*Ь — та1

sin Ь cos & • <j>2-f- mga sin & =

0,

Jy -f- ma* sin3

& • cp-\- 2mc? sin & cos Ь• &<p=

M

48.33. Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг

однородного круглого цилиндра радиусом

R, второй конец прикреплен

к неподвижной точке О.

Цилиндр, разматывая нить,

опускается вниз, одновременно

раскачиваясь

вокруг

горизонтальной оси,

проходящей

через точку

подвеса

нити. Пренебрегая

весом нити, составить дифферен-

циальные уравнения

движения цилиндра.

Ответ:

р — Ri

— -3 р ? 9 = - 3 g cos<p;

48.36 (1217). Маховик /, вращающийся

та)

вокруг вертикальной оси

Oi

под

действием

прилагаемого

к нему

постоянного момента

М,

несет ось вращения О3

шестерни

2.

Шестер-

ня 2 находится в зацеплении с шестерней 3,

которая может вращаться вокруг оси независимо

от маховика. Вращению шестерни 3 препят-

ствует не показанная на чертеже спиральная

пружина,

реактивный момент которой — сф про-

порционален углу поворота ф шестерни 5.

Определить

движение

системы,

принимая

шестерни за однородные диски одинаковых

К задаче 48.36.

радиусов

а

и

масс

т

и

считая

момент

инерции

маховика

относительно

оси О\ рав-

ным

20

та\

В

начальный

момент

система

находилась в покое.

Ответ: ф=

ТТ~- 1 — cos 1,02 Vibi

Mt2

М

cos

-Ч*

т

~~52/ла2 ~

676с

где

<р— угол

поворота маховика.

48.37 (1218).

Составить

уравнения

движения

эллиптического

маятника, состоящего из ползуна Mi массы

ть

скользящего

без трения по горизон-

о

1

и

тальной

плоскости, и шарика Жа массы

ть

у

соединенного с ползуном стержнем АВ

длиной /. Стержень

может

вращаться во-

круг оси А, связанной с ползуном и пер-

пендикулярной к плоскости чертежа. Мас-

сой

стержня

пренебречь.

Ответ: --fMtni-\-m<i)j>-\-m<il§zos®]=Q;

Щ-J-costpjj -j-g sin cp =

0.

X задаче 48.37.

48.38 (1219).

Определить

период

ма-

лых колебаний описанного в предыдущей

задаче

эллиптического

маятника.

К задаче 48 40.

К задаче 4841.

очередь

вращается

с постоянной угловой

скоростью

<о вокруг верти-

кальной

оси

ОС,

Центр

тяжести тела

G

лежит

на

расстоянии I

от

точки

О

на прямой, перпендикулярной

к О\0$.

Предполагая,

что

оси

Ofti

и OQ являются главными осями инерции

тела

в точке

О,

составить

уравнение

движения. Моменты

инерции тела

относительно

главных

осей равны

Л, В,

С,

Ответ:

АЬ — ш*(С — B)sin &cos» =

— P/sin»,

где

8 —угол

поворота вокруг OiOa.

48.42 (1223).

Груз

Р приводит

во

вращение

вокруг

оси

BD

рамку / уравновешенного гироскопа посредством нити и

шкива Е

радиуса г. Определить давление на

подшипники

В

и

D рамки,

обусловленное

гироскопическим моментом, в

положении, когда

груз

спустится на высоту

И. А

и С — момен-

ты инерции ротора относительно осей

Ox,

Oz,

A\ — момент

инерции рамки

относительно оси Ох, массой шкива Е

пренебрегаем. Ротор

совершает и обо-

ротов

в

секунду. Расстояние BD = b.

Ответ: RB

— RD

= -^ =

2Сяп,

А .

2ph

—ту .

48.43

(1224).

Система,

состоящая

К

задаче 48.42.

из

двух

одинаковых

колес

радиуса

а

каждое,

могущих

независимо вращаться

вокруг

общей

нормальной

к

ним оси

L

О(О8 длиной /, катится по горизон-

а

,

тальной плоскости. Колеса связаны пру-

I

I

жиной жесткостью с, работающей на

д 1

^ ^

кручение (упругий торсион). Масса

каждого

колеса М; С — момент инерции

колеса

относительно

оси

вращения;

А — момент

инерции

колеса

относи-

тельно

диаметра.

Составить

уравнения

К

аадаче 48.43.

движения системы и определить движе-

ние,

отвечающее

начальным

условиям

<pi=

0, $1= 0,

<р«

=

(?i>

<р« — углы

поворота

колес). Массой

оси пренебречь.

Ответ:

y1

=

-

T

r

(

t

^ s i k

t

)

2с

J

48.44 (1225). Какую работу нужно совершить для сообщения

тележке массой М скорости и в следующих случаях:

1) На полу тележки

лежит (поперек) однородный цилиндрический

каток

массой

т и радиусом

г. Радиус

инерции

катка

относительно

его

оси

р. Каток

может

катиться по полу тележки

без

скольжения.

2)

Указанный

каток

неподвижно

скреплен

с

полом

тележки.

Массой

колес

пренебречь.

Ответ: Ax

=

^

A>A,

Ответ: и>=

с..

- т — _..

gsina.

6M-f9m + 2Ml

6

48.46 (1227). В дифференциальном

регуляторе, изображенном на

чертеже,

валы

Ог

и О2, вращающиеся

в противоположные

стороны

с угловыми

скоростями (лх и (о2, снабжены

зубчатками

Мх

и М% и

при помощи двух пар сателлитов

С сцеплены с шестерней D, играю-

щей роль рукоятки сателлитов. Если

о>1 равно

(о2, то шестерня D остается

неподвижной. В противном случае D

начнет

вращаться

и через вал А при-

ведет

в действие

не показанное на чер-

теже

регулирующее

приспособление;

ы

последнее

создает при этом передавае-

мые валам Ох

и <Э2 моменты, причем

а

опережающий

вал будет тормозиться, а

9

отстающий —увеличивать свою угловую

скорость. Считая эти моменты пропор-

циональными угловой скорости шестер-

ни D (коэффициент пропорциональности

обозначается

через п)

и одинаковыми

по

величине

для

того

и другого вала

и обозначая через У приведенный коси

ОХО% момент

инерции

системы, найги

закон изменения угловых скоростей<ох

и <о2, если их начальные

значения ш10

и

со2О

не равны друг другу. Моменты

инерции

Jx

и У2

валов Ох

и

О2

с

шестернями Мх

и Л42

считаем

равными

друг

другу; приведенный к оси вращения шестерни D мо-

мент

инерции

этой

шестерни

и проводимых

ею через вал А в дви-

жение

частей

механизма обозначаем

через Уд; при решении задачи

вводится

еще в

рассмотрение

момент

инерции JQ сателлитов отно-

сительно

оси их собственного

вращения (эта величина не фигурирует

в окончательном

результате). Под приведенным

к оси вала моментом

инерции

системы

понимается

сумма

J—2Jx-\-JD-\-4fc,

где Ус —мо-

мент инерции одного сателлита относительно оси Ох02.

Ответ: ах=4-

% 0 (1-J- <

^„П+«-«) +-£-Шм»(1-е-Ч

«а = у »ю 0 — е~и)+ у Щ0(1 + <ги\

где Л =

2л

Т'

48.47

(1228). К концам нити А и В, пропущенной через отверстие

Ответ: а= \г»-п\,Т =

rdr

msg

\

'

^ i

,

-f-

mRl

sin (<p—

<J>) фа -|- mgR sin <p = О,

mRl

cos ( Ф — ф ) $ -j-mPty—mRl sin (tp — ф)tpa—j—

—[— mgl sin^ = 0,

где

9 — угол

поворота

диска, а

ф— угол

i

отклонения

нити

от вертикали.

К задаче 48.48.

48.49 (1230).

Диск

системы,

описанной

в предыдущей

задаче, вращается

с постоян-

ной

угловой скоростью

ш. Составить уравнение движения материаль»

ной

точки.

Ответ:

ф— ufi-j-sm^wt— 6) —j—£ sin ф = 0 .

где ср— угол поворота

колеса вокруг оси, перпендикулярной к его

плоскости; Ь — угол

наклона плоскости колеса к горизонту;

2. За обобщенные

координаты принять изменение заряда конденсатора q

я

смещение пружин

из положения равновесия. Тогда полный заряд будет

q0

-f- q, а полное смещение х0 -f- х; здесь q0 — заряд конденсатора, а А-,,—сме-

Е

аг

' Ответ: mx-\-cx~

— q — т^ =р (Q;

48.52

(1234). Определить частоты малых свободных колебаний

конденсаторного

микрофона, описанного в предыдущей задаче. Сопро-

тивлением

электрической

цепи

пренебречь.

: klti=у=у ~+ -ц^

1

a*mL'

Ответ

48.53

(1235).

Определить

электрические

колебания, возникающие

ном

приложении постоянного давления р0

к пластине микрофона. Для

упрощения вычислений пренебречь массой подвижной пластины и счи-

тать,

что омическое сопротивление непи равно нулю; следует также

отбросить нелинейные члены в уравнениях движения.

Ответ: Рри са^>-^г заряд

конденсатора равен

'0й

Ро<1о

1 —

COS У

C0L\

call—-

' сСоа>