ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdfскорости пришел в движение по вертикальной прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно положения равновесия. Принять удельный вес воды равным f-
Ответ: х = -g- h cos kt, где |
А2 = ~- (с -f- it-jr4). • |
||
32.54 (846). В предыдущей |
задаче |
определить колебательное дви- |
|
жение цилиндра, если |
сопротивление |
воды пропорционально первой |
|
степени скорости и равно <xv. |
|
|
|
Ответ: Движение |
цилиндра будет |
колебательным, если |
|
(±4-—-Л-
\m ' m '/
Тогда
где
тI (и *'
32.55(847). Тело Л весом 0,5 кГ лежит на негладкой горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось
которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения плоскости 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на 1 см требуется сила 0,25 кГ. Тело А отодвинуто от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем отпущено беэ начальной
|
|
К задаче 32.55. |
скорости. Найти: 1) |
число |
размахав, которые совершит тело А, |
2) величины размахов |
и 3) |
продолжительность Т каждого из них. |
Тело остановится, когда в положении,где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее.
Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см;
3)Г = 0,141 сек.
32.56.Груз весом Q = 20 кГ, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сообщили ему начальную скорость г>0= 0,5 м'сек, направленную вниз. Коэффициент
трения скольжения / = 0 , 0 8 , коэффициент жесткости пружины
251
с= 2 кГ/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом,
а= 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число размахов, которые совершит груз, 3) величины размахов.
Ответ: 1) |
Г = 0,628 сек; 2) 8 размахов; |
|
||
3) |
7,68 см, 6,56 см, 5,44 |
см, |
4,32 |
см, |
|
3,2 см, 2,08 см, 0,96 |
см, |
0,16 |
см. |
32.57. Тело весом Р = 0,5 кГ совершает колебания на горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пружин, прикреплен-
ных к |
телу |
одним концом и |
к неподвижной стойке —другим; оси |
||||||||||||
|
|
ft |
|
|
пружин |
лежат |
на |
|
одной |
горизон- |
|||||
|
С/ |
|
|
тальной прямой. Коэффициенты жест- |
|||||||||||
|
|
|
|
кости |
пружин |
сх = с2 = 0,125 |
кГ/см; |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
коэффициент |
трения |
при |
движении |
|||||||
|
|
о |
|
|
тела |
/ = 0 , 2 , |
при |
покое |
/„ = 0,25. |
||||||
|
|
|
|
В |
начальный |
момент тело |
было |
||||||||
|
К |
задаче 32.57. |
|
||||||||||||
|
|
отодвинуто от своего среднего по- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ложения |
О |
вправо |
в |
положение |
||||||
хо = д |
см и отпущено без начальной |
скорости. |
Найти: |
1) |
область |
||||||||||
возможных |
равновесных |
положений тела — «область |
застоя», |
2) вели- |
|||||||||||
чины |
размахов |
тела, 3) |
число |
его |
размахов, |
4) |
продолжительность |
||||||||
каждого из них, |
5) положение |
тела |
после колебаний. |
|
|
|
|
||||||||
Ответ: 1) —0,5 см <.х< |
0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; |
||||||||||||||
3)4 размаха; 4) 7 = 0,141 сек; 5) х = — 0,2 см.
32.58.Под действием силы сопротивления R, пропорциональной первой степени скорости (R = av), тело массы т, подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания.
Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т
превосходит |
период незатухающих |
колебаний |
То, |
если |
отношение |
||
njk = 0,1 {№= c/m, n = <х/2от). |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Г л * 1,0057"0. |
|
|
|
|
|
|
|
32.59. В |
условиях предыдущей |
задачи определить, |
через |
сколько |
|||
полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз. |
|
|
|
|
|||
Ответ: через 7,5 полных колебаний. |
|
|
|
|
|
||
32.60 (848). Для определения сопротивления |
воды |
движению мо- |
|||||
дели судна |
при очень малых скоростях модель |
М пустили |
плавать |
||||
|
|
в сосуде, привязав нос и |
|||||
|
|
корму посредством двух оди- |
|||||
|
|
наковых пружин An |
В, силы |
||||
|
|
натяжения которых |
пропор- |
||||
|
|
циональны |
удлинениям. Ре- |
||||
К задачам 32.60 и 32.61. |
зультаты наблюдений пока- |
||||||
зали, что отклонения модели |
|||||||
|
|
от положения |
равновесия |
||||
после каждого размаха уменьшаются, составляя геометрическую про-
грессию, знаменатель |
которой равен 0,9, а продолжительность каж- |
|
дого размаха Т = 0,5 |
сек. |
|
Определить в граммах силу R сопротивления |
воды, приходящую- |
|
ся на каждый грамм |
веса модели, при скорости |
ее, равной 1 см/сек, |
252
предполагая, что сопротивление воды пропорционально первой |
сте- |
||||||||||||||||||||||
пени |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
|
R — 0,00043 |
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
32.61. В условиях |
предыдущей задачи найти уравнение движения |
|||||||||||||||||||||
модели, если в начальный момент пружина А была растянута, а пру- |
|||||||||||||||||||||||
жина |
В |
сжата |
|
на величину |
А1= |
4см |
|
и |
модель |
|
|
|
|
||||||||||
была отпущена без начальной скорости. |
|
|
ШШШШШ |
|
|||||||||||||||||||
|
Ответ: х = е~й-2и |
(4 cos 6,2& -f |
0,134 sin 6,28*). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
32.62 (849). Для определения вязкости жидко- |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
сти Кулон употреблял следующий метод: подвесив |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
на |
пружине |
тонкую |
|
пластинку |
А, |
он |
заставлял |
|
|
|
|
||||||||||||
ее |
колебаться |
сначала |
в |
воздухе, |
а |
затем в |
той |
|
|
|
|
||||||||||||
жидкости, |
вязкость |
которой |
|
надлежало |
|
опреде- |
|
|
|
|
|||||||||||||
лить, и находил продолжительность одного раз- |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
маха: |
7"i — в |
первом |
случае |
|
и |
|
Г3 |
— во |
втором. |
|
|
|
|
||||||||||
Сила |
трения между |
пластинкой |
и жидкостью |
мо- |
т77Я77ж/////х//////// |
||||||||||||||||||
жет |
быть |
выражена |
|
формулой |
2Skv, |
где |
2S— |
|
ШШШШЖЖ |
||||||||||||||
ПОверХНОСТЬ ПЛаСТИНКИ, V — ее |
|
СКОРОСТЬ, k — КОЭф- |
|
К задаче 32 62. |
|||||||||||||||||||
фициент вязкости. Пренебрегая трением между |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
'пластинкой |
|
и |
воздухом, |
определить |
коэффициент |
k |
по |
найденным |
|||||||||||||||
из |
опыта |
величинам |
7"j и Тъ |
|
если |
вес |
пластинки |
равен Р. |
|
||||||||||||||
|
Ответ: k = |
" |
|
YT\ — Т\. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
32.63 (850). |
gbi |
li |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тело |
весом |
5 |
кГ |
подвешено |
на |
пружине, коэффи- |
||||||||||||||||
циент жесткости которой равен 2 кГ/см. |
Сопротивление среды |
про- |
|||||||||||||||||||||
порционально |
скорости. Амплитуда |
после |
четырех |
колебаний умень- |
|||||||||||||||||||
шилась |
в 12 |
раз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Определить |
период колебаний |
и логарифмический декремент зату- |
||||||||||||||||||||
хания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ответ: |
|
Т = |
0,319 |
сек; ^ |
= |
|
0,311. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
32.64. В условиях |
предыдущей |
задачи |
найти уравнение |
движения |
||||||||||||||||||
тела, |
если |
его |
подвесили |
к концу нерастянутой пружины и |
отпустили |
||||||||||||||||||
без начальной |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: х = е~х№(— |
2,5 cos 19,2*— 0,252 sin 19,20. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
32.65 (851). Тело |
весом |
5,88 |
кГ, |
подвешенное |
на пружине, |
при |
||||||||||||||||
отсутствии |
сопротивления колеблется с периодом Т = |
0,4гс сек, а если |
|||||||||||||||||||||
действует сопротивление, пропорциональное первой степени |
ско- |
||||||||||||||||||||||
рости, — с периодом |
7\ = |
0,5тс сек. |
Найти |
силу сопротивления k |
при |
||||||||||||||||||
скорости, равной 1 см/сек, и определить |
движение, если в |
начальный |
|||||||||||||||||||||
момент |
пружина |
была |
растянута из положения равновесия на 4 см |
||||||||||||||||||||
и |
тело |
предоставлено |
самому |
|
себе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: k ==0,036; х = Ъе~3' sin (it -f arctg ~Y
32.66 (852). Тело весом 1,96 кГ, подвешенное на пружине, которая силой 1 кГ растягивается на 20 см, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скоросш 1 см[сек равное 0,02 кГ. В начальный момент пружина растянута
253
из положения равновесия на 5 см, и тело пришло в движение без начальной скорости. Определить движение тела.
Ответ: х^Ье'Ы {Ы-\-1) см.
32.67. Грузы весом Рг — 2 кГ и Р2 ==3 кГ подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости
у/////////А |
которой |
с = 0,4 |
кГ/см. Масляный демпфер |
вызывает |
||
|
силу сопротивления, пропорциональную первой степени |
|||||
|
скорости |
и равную # = — од, где а = 0 , 1 кГ |
сек/см. |
|||
|
Груз Р 2 |
сняли. Найти после этого уравнение движе- |
||||
|
ния груза Pv |
|
' |
|
||
|
Ответ: х= |
|
8,34е-4-5' — 0,84е-«.5'. |
|
||
|
32.68. |
Статическое удлинение пружины под дей- |
||||
IP, |
ствием груза |
Р |
равно /. На колеблющийся груз |
|||
действует |
сила |
сопротивления среды, пропорциональ- |
||||
|
||||||
IIPg ная скорости.
кзадаче 32.67. Определить наименьшее значение коэффициента
|
|
сопротивления а, при котором процесс движения |
||||||||
будет |
апериодическим. |
Найти |
период затухающих |
колебаний, |
если |
|||||
коэффициент сопротивления меньше найденного значения. |
|
|
||||||||
Ответ: |
аз=•2Р |
|
При а<< |
IP •движение |
будет |
колебательным |
||||
|
|
У if |
|
|
У if |
|
|
|
|
|
с периодом Т = ~\/ ~ |
— т—Г . |
|
|
|
|
|
|
|||
32.69. |
Груз весом |
100 Г, подвешенный |
к |
концу |
пружины, |
дви- |
||||
жется в жидкости. Коэффициент жесткоста |
пружины с = 20 |
Г 1см. |
||||||||
Сила |
сопротивления движению |
пропорциональна первой |
степени ско- |
|||||||
рости |
груза: R~av, |
где а = 3,5 |
Гсек/см. |
|
|
|
|
|
||
Найти |
уравнение |
движения |
груза и построить зависимость пере- |
|||||||
мещения от времени, если в начальный момент груз |
был |
смещен из |
||||||||
положения |
равновесия |
на х о = 1 см и отпущен без начальной |
ско- |
|||||||
рости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: * = e-1 7 .1 5 '(l,36e9 .9 5 ' — 0,36е-9-950 |
см. |
|
|
|
||||||
t,cm
К решению задачи 32.761
32.70. Груз весом 100 Г, подвешенный к концу пружины, движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 20 Г{см. Сила
29*
сопротивления |
движению |
пропорциональна первой |
степени |
скорости |
|
груза: R = av, |
где |
а — 3,5 |
Г сек/см. |
|
|
Найти уравнение движения груза и построить график зависимости |
|||||
перемещения |
от |
времени, |
если в начальный момент груз смещен из |
||
положения статического |
равновесия на расстояние |
хо=1 |
см и ему |
||
была |
сообщена |
начальная |
скорость 50 |
см/сек |
в направлении, про- |
|||||||
тивоположном смещению. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: х = е~17-ш(— |
1,15е9.95' + 2,15е-9-950 |
см. |
|
|||||||||
32.71. Груз |
весом |
100 Г, подвешенный к концу пружины, движется |
||||||||||
в жидкости. Коэффициент жест- |
|
|
|
|
||||||||
кости |
пружины |
с = 20 |
Г/см. |
|
|
|
|
|||||
Сила |
сопротивления |
|
движению |
|
|
|
|
|||||
пропорциональна |
первой степени |
|
|
|
|
|||||||
скорости груза: R = av, |
где а |
= |
|
|
|
|
||||||
= 3,5 |
Г |
сек/см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти |
уравнение |
движения |
|
|
|
|
||||||
груза и построить |
график зависи- |
|
|
ВЛЗ W |
teen |
|||||||
мости |
перемещения |
от |
времени, |
|
|
|||||||
К решению задачи 32.71. |
|
|||||||||||
если в начальный момент груз |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
был смещен из положения равновесия на |
J C O |
= 5 см и ему была |
сооб- |
|||||||||
щена |
начальная скорость в том же направлении 10 см/сек. |
|
||||||||||
Ответ: x = e-i7-i5'(7,30e9-m |
--2,30<?-9-9W) |
см. |
|
|||||||||
32.72. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце невесомого стержня, закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом пропорциональности а, и определить частоту затухающих колебаний. Вес
1 V
У//////Ж
|
К |
задаче 32.72. |
|
|
|
К задаче |
32.74. |
||
точки А равен |
Р, |
коэффициент жесткости |
пружины с, длина стержня |
||||||
I, |
расстояние |
ОВ = Ь. |
Массой |
стержня |
пренебречь. |
В положении |
|||
равновесия |
стержень |
горизонтален. При каком значении коэффициента |
|||||||
а |
движение |
будет |
апериодическим? |
|
|
||||
|
Ответ: |
Х) |
£ |
. |
- |
. - * |
* . - |
* |
|
255
32.73. Приколебаниях груза весом 20 кГ, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 полных колебаний за 9 сек. Каквелик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени скорости) и каково значение коэффициента жесткости с?
Ответ: а = 0,00314 кГ см~1сек\ с= 0,99 |
кГсм'1. |
|
|||
32.74. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний |
|||||
точки |
А и определить |
частоту затухающих |
колебаний. Вес точки А |
||
равен |
Р, коэффициент |
жесткости |
пружины |
с, расстояние |
ОА = Ь, |
ОВ = 1. Сила сопротивления среды |
пропорциональна первой |
степени |
|||
скорости, коэффициент пропорциональности |
равен а. Массой стержня |
||||
ОВ, шарнирно закрепленного в точке О, пренебрегаем. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а движение будет апериодическим?
Р_
Ответ: I) — 2) *i = V W — сек g
3) а: 21 1 / сР
е
в) Вынужденные колебания
32.75. Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q = — сх и достоянной силы Ff>. В начальный момент £= 0 хо = О и хо = О. Найти также период колебаний.
Ответ: х = — (1 — cos kt), |
где k = 1/ —; Т = 2%lk, |
|
||||
с |
|
f |
tti |
' |
|
|
32.76. Определить уравнение прямолинейного движения |
точки |
|||||
массы т, находящейся под действием |
восстанавливающей силы |
Q = |
||||
= — сх и силы F — oi. В начальный момент |
точка |
нахо- |
||||
дится в |
положении |
статического |
равновесия |
и скорость |
||
ее равна |
нулю. |
|
|
|
|
|
Ответ: х=—р |
[kt — sin kt), где k•-VI |
|
||||
32.77. Найти уравнение прямолинейного движения точ-
вки весом Р, на которую действует восстанавливающая сила Q = — сх и сила F = Foe^, если в начальный мо-
мент точка находилась в положении равновесия в состоянии покоя.
Ответ:
S |
v _ |
|
|
где ft = j/^f |
||
К задаче |
( + )\ |
|
|
|
||
32.78 (853). На пружине, |
коэффициент |
жесткости ко- |
||||
32.78. |
||||||
|
торой с = 20 Г1см, |
подвешен магнитный |
стержень ве- |
|||
|
сом 100 Г. Нижний |
конец |
магнита проходит через ка- |
|||
гушку, |
по которой идет |
переменный |
ток /= 20 sin 8nt ампер. Ток |
|||
идет с момента времени £= |
0, втягиаая стержень в соленоид; до этого |
|||||
256 |
|
|
|
|
|
|
момента магнитный стержень висел на |
пружине |
неподвижно. Сила |
||||||||||||||||
'взаимодействия между магнитом и катушкой определяется |
равенством |
|||||||||||||||||
F=16nl |
|
дан. Определить |
вынужденные |
колебания |
магнита. |
|||||||||||||
|
Ответ: х = —0,023 sin 8nt |
см. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
32.79. В условиях предыдущей задачи |
найти уравнение движения |
||||||||||||||||
магнитного |
стержня, если |
его |
подвесили |
к концу нерастянутой пру- |
||||||||||||||
жины |
и отпустили без начальной скорости. |
|
|
|||||||||||||||
|
Ответ: х = {— 5cos Ш-(-0,041 sin Ш — 0,023sin8nO |
см. |
||||||||||||||||
|
32.80. В условиях задачи 32.78 найти уравнение движения магнит- |
|||||||||||||||||
ного стержня, если ему в |
положении статического |
равновесия сооб- |
||||||||||||||||
щили |
начальную скорость чзо = 5 см/сек. |
|
|
|
||||||||||||||
|
Ответ: х = (0,4 sin Ш — 0,023sin 8nf) |
см. |
|
|
||||||||||||||
|
32.81 |
(855). |
Гиря |
М подвешена |
на |
пру- |
|
|
||||||||||
жине |
АВ, верхний |
конец которой |
совершает |
|
|
|||||||||||||
гармонические |
колебания |
|
по |
вертикальной |
|
|
||||||||||||
прямой |
амплитуды |
а |
и |
|
частоты |
п: ОХС |
= |
|
^asinnt |
|||||||||
= |
a sin nt см. |
Определить |
|
вынужденные ко- |
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
лебания |
гири |
М |
при |
следующих |
данных: |
|
|
|||||||||||
вес |
гири |
равен 400 |
Г, |
|
от действия |
силы |
|
|
||||||||||
40 |
Г |
|
пружина |
удлиняется |
на |
1 см, |
а |
= |
|
|
||||||||
= |
2 см, |
п = 7 |
сек'1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ: |
х = 4 sin It |
см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
32.82 (856). Определить движение гири М |
|
|
|||||||||||||||
(см. задачу |
32.81), |
подвешенной |
на |
пружи- |
|
|
||||||||||||
не АВ, верхний конец которой А совершает |
|
|
||||||||||||||||
гармонические колебания по вертикали ампли- |
|
|
||||||||||||||||
туды а и круговой частоты |
|
k, статическое ра- |
|
|
||||||||||||||
стяжение пружины под действием веса гири |
|
|
||||||||||||||||
равно б. В начальный момент |
точка А |
за- |
к задаче 32.81. |
|||||||||||||||
нимает |
свое |
среднее |
положение, |
а |
гиря |
М |
|
|
||||||||||
находится в покое; начальное положение гири принять за начало
координат, а ось |
Ох |
направить |
по вертикали |
вниз. |
|
|||
Ответ:т: х = k2^ |
I k ^f |
- sin j / " | - 1 —sin kt\ при |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
при £ = |
|
32.83 (858). |
Статический |
прогиб рессор |
груженого |
товарного |
||||
вагона |
Д/Ст |
= 5 |
см. |
Определить |
критическую скорость |
движения |
||
вагона, |
при |
которой |
начнется «галопирование» |
вагона, если |
на стыках |
|||
рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынужденные коле-
бания вагона на рессорах; |
длина рельсов L = |
12 м. |
|
||
Ответ: г>=96 |
км/час. |
|
|
|
|
32.84 (859). Индикатор паровой |
машины |
состоит из цилиндра |
А, |
||
в котором ходит поршень В, упирающийся в пружину D; с поршнем |
|||||
соединен стержень |
ВС, к |
которому |
прикреплен пишущий штифт |
С. |
|
Предполагая, что давление пара р на поршень В, выраженное в килограммах на квадратный сантиметр, изменяется согласно формуле
9 И, В. Мещерский |
257 |
p = 4 - f - 3 s ln у*, |
где |
7"—время |
|
одного |
оборота |
вала, |
определить |
|||||||||||
амплитуду |
вынужденных |
колебаний штифта С, если вал совершает |
||||||||||||||||
|
|
3 |
об/сек, |
при |
следующих |
данных: |
площадь поршня |
|||||||||||
|
|
индикатора а = |
4 см%, вес |
подвижной |
части |
инди- |
||||||||||||
|
|
катора |
Q = |
1 кГ; |
пружина сжимается на 1 см си- |
|||||||||||||
|
|
лой |
в |
3 |
кГ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: а = |
|
4,54 |
см. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
32.85. |
В |
условиях |
предыдущей |
задачи |
найти |
|||||||||
|
|
уравнение движения штифта С, если в начальный |
||||||||||||||||
|
|
момент |
времени |
система |
находилась |
в |
покое в по- |
|||||||||||
|
|
ложении статического |
равновесия. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Ответ: х=(—1,57 |
|
sin 54,3* -j- 4,54 sin 6rf) |
см. |
|||||||||||
|
|
|
|
32.86. |
Груз |
|
весом |
|
Q = 200 |
Г, |
|
подвешенный к |
||||||
|
|
пружине, |
коэффициент |
жесткости |
|
которой |
с = |
|||||||||||
к задаче 32.8**ч |
= 1 |
кГ/см, |
находится |
под действием |
силы |
5 = |
||||||||||||
|
Г _ =Hs'mpt, |
где |
Я = 2 , 0 |
кГ, р = |
Ш сек'1. |
В началь- |
||||||||||||
ный момент Хо= 2 см, |
Хо=10 |
см/сек. |
Начало |
координат выбрано |
||||||||||||||
в положении статического |
равновесия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найти |
уравнение |
движения груза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: лг= |
(2cos 70*—2,77 sin 70*-)-4,08 sin50*) |
см. |
|
|||||||||||||||
32.87. |
Груз |
весом |
Q = 200 |
|
Г, |
подвешенный |
к |
|
пружине, |
коэф- |
||||||||
фициент жесткости |
которой |
с = |
1 кГ\см, |
находится |
под действием |
|||||||||||||
силы S=Hsmpt,
Ш////////////Ш
где |
Н=2 |
кГ, р=70 сек'1. В начальный момент |
|||
л;о=2 |
см, J C O = 1 O |
см/сек. |
Начало координат вы- |
||
брано в положении статического равновесия. |
|||||
Найти уравнение |
движения |
груза. |
|
||
Оотве/в: л;=(2 cos 70*4-1,14sln 70*—70* |
cos70*)c«. |
||||
|
г) В л и я н и е с о п р о т и в л е н и я |
||||
|
на в ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я |
||||
32.88 (854). На пружине, коэффициент жестко- |
|||||
сти которой |
с = 20 |
Г(см, |
подвешены |
магнитный |
|
стержень |
весом |
50 Г, проходящий через соленоид, и |
|||||||||
медная |
пластинка |
весом |
50 Г, |
проходящая |
между |
||||||
полюсами |
магнита. |
По |
соленоиду |
течет ток 1= |
|||||||
= |
20 sin 8тс* ампер |
и развивает силу |
взаимодействия |
||||||||
с |
магнитным |
стержнем |
F = 1 6 « |
дин. |
Сила |
тормо- |
|||||
жения |
медной |
пластинки |
вследствие |
вихревых |
токов |
||||||
равна £г>Ф3, где |
А; =10"*, Ф = 1000 V5 |
единиц CGS |
|||||||||
и v — скорость |
пластинки. Определить |
вынужденные |
|||||||||
колебания пластинки. |
|
|
|
|
|
||||||
К задачам |
Ответ: х — 0,022 sin (8тс* — 0,9lit) |
см. |
|
|||
32 88 |
н 32 89. |
|
||||
|
|
|
32.89. В условиях предыдущей задачи найти урав- |
|||
нение |
движения |
пластинки, если |
ее подвесили вместе |
с |
магнитным |
|
стержнем |
к концу нерастянутой |
пружины и сообщили |
им |
начальную |
||
скорость |
©в= 5 |
см/сек, направленную вниз. |
|
|
||
258 |
; |
|
Ответ'. х=е~2-51(~4,99 |
cos 13,75*-0,56 sin 13,75*) + |
|
|
|||
|
|
|
+ 0,022 sin (8 я * - 0,91 я) см. |
||||
|
32.90 (857). Материальная точка |
весом |
Q = 2 |
кГ |
подвешена |
||
к |
пружине, коэффициент |
жесткости |
которой |
равен |
с = 4 |
кГ/см. |
|
На |
точку действует возмущающая сила |
5 = 1 2 |
sinQ?* + 6) |
кГ |
и сила |
||
сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости
и равная R = 0,5 Уте |
х кГ, Чему равно наибольшее значение |
Атах |
|||
амплитуды |
вынужденных колебаний? |
При какой частоте р |
амплитуда |
||
вынужденных колебаний достигает наибольшего значения? |
|
|
|||
Ответ |
Л т а х = 6,21 |
см; /7 = 41,5 |
сек*1. |
|
|
32.91., |
В условиях |
предыдущей задачи найти уравнение |
движения |
||
точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость
были равны: |
дго |
= 2 |
см, |
хо — 3 |
см/сек. |
Частота |
возмущающей |
силы |
||||||||||||||||
^ = 30 |
сек*1, |
начальная |
фаза |
возмущающей |
силы |
6 = 0°. |
Начало |
|||||||||||||||||
координат |
выбрано в положении статического равновесия. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Ответ: х*=е-°'ть( |
|
(2 cos 1,73*+ 1,95 sin 1,73*) + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0,0067 sin (30* — я ) |
см. |
|||||||
|
32.92 (861), |
Материальная |
точка весом р = 3 Г |
подвешена к пру- |
||||||||||||||||||||
жине с коэффициентом жесткости с = 1 2 |
Г/см. |
На точку |
действует |
|||||||||||||||||||||
возмущающая |
сила |
F=H |
sin |
(62,6* + f5) |
Г |
и |
сила |
сопротивления, |
||||||||||||||||
пропорциональная первой степени скорости и рав- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ная |
R = av |
|
Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Во сколько раз уменьшится амплитуда вынуж- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
денных колебаний точки, если сила сопротивления |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
увеличится |
в |
три |
раза? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
|
Амплитуда |
вынужденных |
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
уменьшится |
в |
три |
раза. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
32.93. Тело весом 2 кГ, прикрепленное пру- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
жиной к неподвижной точке А, движется по глад- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
кой |
наклОННОЙ ПЛОСКОСТИ, Образующей |
угол |
а с |
|
|
К задаче 32.93. |
||||||||||||||||||
горизонтом, |
под |
действием |
возмущающей |
силы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
«S=l,8 sin Ю* кГ |
и силы сопротивления, пропорциональной скорости: |
|||||||||||||||||||||||
/? = —0,03© |
|
кГ, Коэффициент жесткости пружины с = 5 кГ/см. В на- |
||||||||||||||||||||||
чальный |
момент |
тело |
находилось в покое в положении |
статического |
||||||||||||||||||||
равновесия. Найти |
уравнение |
движения |
тела, |
периоды |
Т |
свободных |
||||||||||||||||||
и Тх вынужденных |
колебаний, сдвиг фазы |
вынужденных |
колебаний и |
|||||||||||||||||||||
возмущающей силы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ответ: |
|
|
1) |
х== 10-*-е-7.35'(2,3 cos 49*-7,3 sin49*) + |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0,374 sin (10* — 3°34') |
см; |
||||||||
|
|
|
|
2) |
Г = 0,128 |
сек; |
3) 7\ = 0,628 |
сек; |
4) |
е = |
3°34\ |
|
|
|||||||||||
|
32.94. |
|
На |
тело |
весом |
Q = 392 |
Г, |
прикрепленное |
к |
пружине |
||||||||||||||
с |
коэффициентом |
жесткости |
е = 4 |
кГ/см, |
действует |
сила |
|
5 = |
||||||||||||||||
==Нsinpt |
кГ, где |
/ / = 4 кГ, |
р — 50 |
сект1, |
и |
сила |
сопротивления |
|||||||||||||||||
R = av, |
где |
а = 25 |
Г сек/см, |
v — скорость |
тела. В начальный момент |
|||||||||||||||||||
тело покоится в положении статического |
равновесия. Написать |
урав- |
||||||||||||||||||||||
нение движения груза и определить значение круговой |
частоты р, |
при |
||||||||||||||||||||||
котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
9* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259 |
Ответ: х = ae~nl sin (У k2 —я2 *-f р) —Л sin (pt —е), где
ел,
е == arctg ^ ^ - 2 = 0,416, я == 31,25 «й-», у& - и2 = 95 сек-1.
Максимальная амплитуда получается при круговой частоте возбуждения
32.95.На тело весом Q Г, прикрепленное к пружине с коэффи-
циентом жесткости с Г/см, действуют возмущающая сила S=Hsin pt Г и сила сопротивления R = av Г, где v — скорость тела. В начальный момент тело находится в положении статического равновесия и не имеет начальной скорости. Найги уравнение движения тела, если
х = ~ ^ — - (2я cos
|
X sin |
К |
|
|
|
|
|
|
где |
fth - ^Q |
, |
2 |
п/ —j - |
a g |
|
|
|
ftй —Q,- ^ |
|
|
|
|||||
|
32.96. На тело весом б кГ, подвешенное к пружине с жесткостью |
|||||||
с = |
18 кГ/см, действует |
возмущающая сила Р |
оsinatf. Сопротивление |
|||||
жидкости |
пропорционально |
|
скорости. Каким |
должен |
быть коэф- |
|||
фициент |
сопротивления |
а |
вязкой жидкости, |
чтобы |
максимальная |
|||
амплитуда вынужденных колебаний равнялась утроенному значению
(Статического смещения пружины? Чему равняется |
коэффициент рас- |
|||||||
стройки |
z |
(отношение круговой |
частоты |
вынужденных |
колебаний |
|||
К круговой |
частоте свободных колебаний)? Найти сдвиг фазы вынуж- |
|||||||
денных колебаний и возмущающей силы. |
|
|
|
|
||||
Ответ: ос = О,П5 кГ слгЧек; |
z = 0,97; |
e = 79°48\ |
|
|
||||
32.97. На тело весом Q = 100 Г, прикрепленное к пружине с коэф- |
||||||||
фициентом |
жесткости с = 5 |
кГ/см, |
действует сила |
S—Hsinpt, |
где |
|||
/ / = 1 0 |
кГ, |
/7=100 сек'1, |
и сила |
сопротивления |
R = $v, |
где |
§ = |
|
= 50 Г |
сек/см. |
|
|
|
|
|
|
|
Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: 1) * а = 0,98sin 100*—1,22cos 100*;
2)максимума амплитуды не существует, так как я > &/J/2.
32.98.В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
Ответ: 6 = arctg l,26==51°40'.
260