ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

Ответ: F=p(l

+ ~ Ц = 10,3т.

§ 3 1 . Смешанные задачи

31.1 (798). Груз

весом 1 кГ

подвешен на нити

длиной

50

см

в неподвижной точке

О. В начальном положении груз

отклонен

от

вертикали на угол 60° и ему сообщена

скорость

v0

в вертикальной

плоскости

по перпендикуляру к нити вниз, равная

210

см/сек. Опре-

делить: 1) натяжение нити в наинизшем положении; 2)

отсчитываемую

по вертикали высоту,

на которую

груз

поднимается

над

этим

поло-

жением.

Ответ:

1) 2,9 кГ;

кроме величины скорости v0,

.М,

найти, при

какой величине

скорости v0

груз будет про-

ходить всю

окружность.

Ответ: v0 >

443 см/сек.

31.3 (800).

По

рельсам,

положенным по пути

АВ и

образующим затем

петлю в

виде кругового

кольца ВС

К задаче 31.3.

радиуса а, скатывается

ваго-

|

)

К задаче 31.4.

Ответ: h =

r fl-f-cosa-j—2 'cdsa')' hmm

п р и

a = = 4 5 ° -

31.5 (802).

Тяжелая стальная отливка

весом

Р = 20 кГ прикреп-

вых пяти секунд с момента раскрытия

парашюта,

при постоянной

силе

сопротивления

движению,

скорость

парашютиста

уменьшилась

до 4,3 м/сек.

Сопротивлением воздуха движению человека

пренебречь.

Ответ:

127,4

кГ.

31.8

(805).

За

500 м

до

станции, стоящей

на пригорке высотой

2 м,

машинист

поезда,

идущего

со

скоростью

12 м/сек,

закрыл пар

и начал

тормозить.

Как велико

должно быть сопротивление от тор-

можения, считаемое постоянным, чтобы поезд

остановился у станции, если вес поезда ра-

вен

1000 т, а сопротивление трения 2 г?

Ответ:

8679

кГ.

31.9. Тяжелая

отливка

веса

Р

прикреп-

лена

к

стержню,

который

может

вращаться

без

трения' вокруг

неподвижной

оси О и от-

клонен

от

вертикали

на угол <р0. Из этого

к задаче 31.9.

начального

положения отливке сообщают на-

чальную

скорость

Ф0

(см. чертеж). Опре-

делить

усилие

в стержне

как

функцию

угла отклонения стержня от

вертикали, пренебрегая

массой

стержня. Длина

стержня I.

точки М весом Р, прикрепленной к другому

концу

нити. Точку М

отклонили

из

положения

равновесия

так, что

ее

координаты стали:

лри ^= 0 дг=хо, у=0,

и сообщили ей начальную

скорость: JCo = 0>

j>o =

^o, io = O. Определить, при каком соотношении начальных усло-

вий

а очка

М

будет

описывать

окружность

в

горизонтальной

К задаче 31.10.

К задаче 31.11.

31.11

(807). Лыжник припрыжке с трамплина спускается

с эста-

кады АВ, наклоненной подуглом а = 3 0 °

к горизонту. Перед

отры-

вом

он проходит небольшую

горизонтальную

площадку ВС, длиной

которой

при расчете пренебрегаем. В момент

отрыва

лыжник

толчком

сообщает себе вертикальную состав-

ляющую

скорости

vy=\

м/сек.

Высота

эстакады.

h = 9 м, коэффициент трения лыж о снег /== 0,08,ли-

ния

приземления CD образует

угол р = 45° с горизон-

том. Определить

дальность

/ полета

лыжника, прене-

брегая сопротивлением воздуха.

П р и м е ч а н и е . Дальностью

полета считать длину, изме-

ряемую от точки

отрыва С доточки приземления лыжника

на линии CD.

Ответ:

1 = 47,4 м.

31.12

(808).

Груз М весом Р падает

без началь-

ной

скорости с

высоты Н на плиту А, лежащую на

к з а д а ч е 3 1 1 2 -

спиральной

пружине В. От действия

упавшего

груза М

пружина

сжимается

на величину h. He учитывая веса

плиты А и

сопротивлений,

вычислить

время Т сжатия

пружины на величину h

и импульс S упругой силы пружины за время Т.

Ответ: Т = ± (|-«)./

5=

где

tg a =

2]fH(H-\-h) '

k = V2g(H+h)

h

'

31.13

(809). При разрыве

маховика одна из его частей, наиболее

удаленная

от места

катастрофы, оказалась на расстоянии s = 280 м

от

первоначального

положения. Пренебрегая

сопротивлением воздуха

п ри

движении

указанной

части

из первоначального

положения в

шее возможное

значение угловой

скорости

маховика

в

момент

ката-

строфы, если радиус

маховика

R=l,75

м.

Ответ: и= 286

обIмин.

31.14

(810). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке

А

круглого

кольца, расположенного

в

вертикальной

плоскости,

падает,

скользя

по кольцу без трения. Найти, какова

должна

быть

жесткость

пружины

для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В

равнялось

нулю

при

следующих

данных: радиус

кольца 20 см, вес груза 5 кГ, в начальном поло-

жении

груза

расстояние

AM

равно 20

см и

пру-

жина

имеет

натуральную

длину;

начальная

ско-

рость груза равна нулю; весом пружины прене-

брегаем.

Ответ: Пружина должна удлиняться на 1 см

при

действии

силы, равной

0,5

кГ.

К

задаче 31.14.

31.15

(811). Определить

давление

груза

М на

кольцо в нижней точке В (чертеж

предыдущей

задачи) при следующих данных: радиус

кольца

20 см,

вес груза

7 кГ;

в

начальном

положении груза

расстояние AM

равно 20

см,

причем

пружина

растянута

и длина

ее

вдвое

более

натуральной

длины, ко-

торая

равна

10

см;

жесткость

пружины

такова,

что

она

удлиняется

на

1 см

при действии *силы

в 0,5- кГ; начальная

скорость

груза

равна нулю; весом пружины пренебрегаем.

Ответ: Давление направлено вверх и равно

7

кГ.

31.16 (812). Гладкое тяжелое кольцо М весом

Q может

сколь-

зить

без

трения

по дуге

окружности

радиуса

R

см,

расположенной

в

вертикальной

плоскости.

К кольцу

привязана

упругая

нить

МОА,

проходящая

через

гладкое

неподвижное

кольцо

О

и

закрепленная

в

точке

А. Принять, что натяжение нити равно

нулю, когда кольцо М

находится

в

точке

О, и что

для вытягивания

нити

на

1 см

нужно

приложить

силу

с. В начальный момент кольцо

находится

в точке

В

в неустойчивом

равнове-

сии

и при ничтожно малом

толчке начинает скользить

по

окружности. Опреде-

лить

давление

N, произ-

водимое

кольцом

на ок-

ружность.

Ответ:

N=

2Q -j-

-f

cR + 3 (Q + сR) cos 2<p;

давление

направлено на-

ружу

при N>0,

внутрь

при

JV<0.

К

задаче 31.16.

К

задаче 31.17.

31.17

(813). Груз под-

вешен

на

нити

дли-

ной

50

см

в неподвижной

точке

О. В

начальном

положении

Мо

груз

отклонен

от

вертикали

на

угол

60°

и

ему

сообщена

скорость va в

вертикальной

плоскости

по перпендикуляру

к нити

вниз,

равная

350

см/сек.

1)

Найти

тоположение М груза, в котором натяжение

нити бу-

дет равно

нулю, и скорость

vt

в этом

положении.

2)

Определить

траекторию

последующего

движения груза до

того

момента,

когда

нить будет

опять

натянута, и время, в течение кото-

рого точка пройдет эту траекторию.

Ответ:

1) Положение М находится над

горизонталью

точки О

на

расстоянии MD = 25

см;

г>1 = 157

см/сек.

2)

Парабола

МАВС,

уравнение

которой,

отнесенное к осям Мх

и

My,- будет у = лг|Лз—0,08JC2 ;

груз

описывает

эту параболу

в те-

чение

0,55

сек,

31.18

(814).

Математический маятник установлен насамолете, ко-

торый

поднимается

на высоту

10 км. На какую

часть длины

надо

уменьшить

длину нити маятника, чтобы период малых колебаний

маятника

на этой

высоте

бстался

без изменений?

Силу тяжести

счи-

тать

обратно

пропорциональной

квадрату У///////////////////////

расстояния до центра Земли.

Ответ:

На

0,00313/,

где

/— длина

нити

на

поверхности

Земли.

31.19

(815). В неподвижной точке О по-

средством

нити

ОМ длиной

/

подвешен

груз М с

массой

т. В начальный

момент

нить ОМ

составляет

с вертикалью

угол а и

скорость

груза

М равна

нулю.

При

после-

дующем

движении

нить

встречает

тонкую

проволоку

О\,

направление* которой

перпен-

К задаче 31.19.'

дикулярно

к

плоскости

движения

груза, а

положение определяется полярными коорди-

натами: h = OOi ир. Определить наименьшее

значение угла а, при котором

нить ОМ после

встречи

с

проволокой будет на нее нави-

ваться, а также

изменение натяжения

нити в

момент еевстречи

с проволокой. Толщиной

проволоки

пренебрегаем.

„

кг

Po|cos2o

.

Ответ: N——-

^

Г#о COS О Л

.

[Vo COS а Л

Ответ:

x = rcos\-~—t\;

y = r sin

- ^ — 1 \ ;

Ответ: Ф =

31.23

(819).

Точка М с массой т дви-

К задаче 31.22.

жется по гладкой поверхности полусфери-

ческого

купола

радиуса R. Считая, что на

точку действует сила

тяжести, параллельная оси г, и зная, что в на-

чальный момент точка

имела скорость Va и находилась на высоте ka

от основания купола,

определить давление точки на купол, когда

она будет на высоте h от основания купола.

Ответ:N=n-[

iy

К задаче 31.23.

К задаче 31.24.

31.24 (820). Точка М с массой т движется по цепной линии

под

действием силы отталкивания, параллельной оси Оу, направлен-

ной

от оси Ох и равной kmy. В момент £= 0 х= 1 м, х= 1 м/сек.

Определить

давление iV точки на кривую и движение точки при

k = 1 сек"8 и

а=\ м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кри-

К задаче 31.25.

31.26(822). Точка УИ с массой т=\

г

движется по

гладкой

поверхности круглого конуса, угол раствора

которого 2а =

90°, под

влиянием силы отталкивания от

вершины О, пропорциональной рас-

стоянию: F =

с • ОМ дин, где с =

1 дин/см. В

начальный момент точка

М находится

в точке А, расстояние ОА равно

а = 2 см, начальная

тяжести пренебрегаем).

Положение

точки М определяем

коорди-

натой z и

полярными

координатами

г

и tp в

плоскости,

перпендикулярной

к оси Ог;

урав-

нение поверхности

конуса

r s

— z s = 0 .

Ответ: гг

=

е4* -j-1

31.27

(823).

При

условиях

предыду-

щей задачи, считая

ось конуса направлен-

ной по вертикали вверх и учитывая силу

тяжести, определить давление точки на

поверхность конуса.

Ответ: N=m

sin a \g-\

^ s — •

31.28

(824).

Материальная

точка А

ПОД действием

СИЛЫ ТЯЖеСТИ ДВИЖеТСЯ ПО

К задаче 31 28.

шероховатой

винтовой

поверхности,

ось

где tg a = a/r0; скорость движения v = Vgrof

(r0).

- 31.29. Тело К, размерами которого

можно пренебречь,

установ-

лено в верхней

точке А шероховатой

поверхности

неподвижного

полуцилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную

скорость

г%, направленную

по касательной к цилиндру,

нужно

сообщить телу

если коэффициенты

трения скольжения при движении и покое оди-

наковы и равны /?

Ответ: v0

[У

е~фо ~(1~ Я/3)],

где fO =

К задаче 31.29.

К задаче 31 30.

груз начинает совершать колебания. Выразить

длину нити х в функ-

ции времени и найти, какому

условию должна

удовлетворять началь-

ная длина

ее х9, чтобы во

время движения

гири нить оставалась

натянутой.

Натяжение нити

пропорционально

удлинению;4

длина ее

в нерастянутом состоянии равна /; от действия

статической

нагрузки,

равной q я, нить удлиняется

на 1 см. Начальная скорость груза

равна нулю.

Ответ: х —/-\- ~ -J- !х9

— I —

-t

свободно положен однород-

ный стержень; центрышки-

вов

О] и Ов находятся на

горизонтальной прямой OiOs;

расстояние OiOa = 2/;

стер-

жень

приводится в движе-

ние силами трения, разви-

вающимися в точках

каса-

К задаче 32.10.

. ния

его со" шкивами; эти

силы пропорциональны дав-

KjtUQcni, II X Ло LOS I I/

~~r-1 11

Zl

Гтгг

<

\r

I /'

' J

gT*

32.11 (838). К одной и той же пружине

подвесили сначала груз

весом р, а в,о второй раз груз весом

Ър. Определить, во сколько раз

Ответ: ^ =Vd;

Xl =~£-cosV^t;

xi=-~^cQSV^t.

* 1

Q

w P

'

С f

of)

3112. К пружине жесткостью с —2

tcrjcM сначала

подвесили

груз P t = 6 кГ, а затем

груз

Р%=\2кГ

(вместо

первого груза). ''