43.2 (1112). Тяжелый однородный стержень длиной ^ подвешен своим верхним концом на горизонтальной оси О. СтержНю> находившемуся в вертикальном положении, была сообщена угло^а я скорость
шв = ЗТ/ ~. |
Совершив пол-оборота, он отделяется |
от 0СИ ®- |
Определить |
в последующем |
движении |
стержня |
траекторию его |
центра тяжести |
и угловую |
скорость |
вращения ш. |
|
|
|
|
|
/ |
2 |
|
|
Ответ: |
1) Парабола ус |
= |
-^ — =^ xb, |
2 ) Ш = 1 / ^ |
1 X
К задаче 43.2. |
|
К. задаче 43.3. |
|
|
43.3(1113). Однородный стержень |
АВ |
длиной 2а подвешен |
за |
конец А; другой конец В находится у |
самого пола. С о о б ^ 8 |
стержню |
некоторую начальную угловую скорость |
ш„, освобождзю т |
конец |
А |
в тот момент, когда стержень окажется в горизонтальной положении. Дальнейшее движение свободного стержня происходит г!о д влиянием
одной |
силы тяжести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти, при какой начальной скорости щ |
/*"t"*—v<7 |
|
|
стержень, падая на пол, в момент прикосно- |
|
|
|
|
вения к полу будет вертикален. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: щ = -\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где k = 0, 1, |
2, |
3,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43.4(1114). |
|
Два |
однородных |
круглых |
|
|
|
|
цилиндра А |
и |
В, веса |
которых соответст- |
|
|
|
|
венно |
равны |
Pi |
и |
Р |
2 , а радиусы основа- |
|
43-4- |
|
|
ний Г\ и г2, |
обмотаны двумя |
гибкими нитя- |
|
|
|
ми, завитки |
которых |
|
расположены |
симмет- |
|
|
|
|
рично |
относительно |
средних |
плоскостей, параллельных основаниям |
цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем |
об{?а з Ую щ и е |
и х |
перпендикулярны |
к линиям наибольших |
скатов. Ось |
циЛ и н д Ра |
"• н е " |
подвижна; цилиндр В |
падает |
из состояния покоя под д е # с т в и е м |
силы |
тяжести. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
в |
момент t |
после начала |
движения, пре/'п о л а г а я > |
ч т о |
в этот |
момент |
нити |
еще |
остаются |
намотанными |
на о^ а цилиндра: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
331 |
1) угловые скорости u>j и щ цилиндров, 2) пройденный центром тяжести цилиндра В путь s и 3) натяжение Т нитей.
Ответ: 1) <о} = г, (ЗЯ,+ 2PS) |
(ЗЯ, |
|
Т |
43.5 (1115). Однородный стержень АВ длиной а поставлен в вертикальной плоскости под углом <ро к горизонту так, что концом А он опирается на гладкую вертикальную стену, а концом В — на гладкий горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости.
|
К задаче 435. |
|
К задаче 43 7. |
1) |
Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. |
2) |
Найти, какой угол |
<pi будет составлять |
стержень 9 горизонтом |
в тот |
момент, когда он |
отойдет от стены. |
|
Ответ : 1) <j = —l/-£(sincp0—sin<p), |
<$=r£rco&<?', |
2
2)sin cpi sa-q- sin<p0.
43.6.Использовав условие предыдущей задачи, определить угловую
скорость ф стержня и |
скорость нижнего |
его |
конца в момент па- |
дения стержня |
на пол. |
|
|
|
Ответ: ф |
= |
-g-sin9<р„)sinср0; |
vA |
=-jsin<?<,Vgasin |
43.7 (1116). Тонкая однородная доска ABCD прямоугольной формы, высота которой АВ==21, прислонена к вертикальной стене и опирается на два гладких гвоздя Е и F без головок; расстояние АЕ равно FD. В некоторый момент доска начинает падать с ничтожно малой начальной угловой скоростью, вращаясь вокруг прямой AD.
Определить, какой угол а будет составлять со стеной доска в тот момент, когда она соскочит с гвоздей. Случай скольжения доски вдоль гвоздей, без отрыва от них, исключается.
Ответ: a = arccos4- = 70°32'.
О
|
48.8(1117). |
Два |
диска вращаются |
вокруг |
одной |
и той же |
оси |
с |
угловыми скоростями <Й1 и u)g; моменты инерции дисков |
относительно |
91ой оси равны Ji и J% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить потерю кинетической энергии в |
случае, |
когда |
оба |
диска |
будут внезапно |
соединены |
фрикционной |
муфтой. Массой |
ее |
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: АГ = |
-к- , |
' 8 |
(шх — ш4)2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£• |
Jl |
-f- |
Ja |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43.9 (1119). Стержень АВ |
массы |
m, |
совершая |
плоское движение, |
имеет |
в данный |
момент угловое ускорение е. Радиус инерции стержня |
относительно оси, проходящей |
через центр тяжести С |
|
|
|
перпендикулярно к плоскости движения стержня, |
|
|
|
равен |
р; расстояния от |
центра тяжести С до концов А |
|
|
|
и |
В |
стержня |
соответственно |
равны |
а |
|
и Ъ. Масса |
|
|
|
' стержня заменена |
двумя |
точечными массами, сосредо- |
|
|
|
точенными в концах |
стержня |
А и В |
гак, |
что |
сумма |
|
|
|
' приведенных масс равна массе стержня, а центр инер- |
К задаче 43 9. |
ции приведенных |
масс |
совпадает |
с центром тяжести |
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить, |
равны |
ли соответственно |
главный |
вектор |
и главный |
момент сил инерции приведенных масс главному вектору и главному
|
моменту |
сил |
инерции |
стержня? |
|
|
Ответ: |
Главные |
векторы сил инерции приведен- |
N |
|
ных масс |
и стержня |
геометрически равны, а главные |
|
|
|
моменты |
отличаются |
на величину |
|
т{ab — р2) е.
43.10(1122). Твердое тело весом Р качается вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной к
плоское]и |
чертежа. |
|
Расстояние |
от |
оси подвеса |
до |
К задаче 43 10. |
центра тяжести С равно а; радиус инерции тела от- |
|
|
|
носительно |
оси, |
проходящей |
через |
центр тяжести перпендикулярно |
jK плоскости чертежа, |
равен |
р. В |
начальный |
момент |
тело |
было |
от- |
клонено |
из |
положения |
равновесия |
на угол |
<р0 и |
отпущено |
без |
на- |
чальной |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
две |
|
составляющие |
реакции |
|
|
|
|
|
оси R и N, расположенные вдоль направле- |
|
|
|
|
|
ния, проходящего через точку привеса и |
|
|
|
|
|
центр тяжести тела, и перпендикулярно к |
|
|
|
|
|
нему. Выразить их |
в |
зависимости |
от угла<р |
|
|
|
|
|
отклонения |
тела |
от |
вертикали. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# = Pcoscp-}-- |
|
|
i (cos <p — |
cos<p0); |
|
|
|
|
|
|
|
N—P |
|
|
|
?• |
|
|
|
К задаче 43 П. |
|
|
|
р 2 |
- |
s i n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j — <2 |
|
|
|
|
|
|
|
43.11 (1070). Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно малую начальную скорость, скатывается без скольжения с горизонтальной площадки АВ, край которой В заострен и параллелен образующей
К задаче 44.1.
1
Xh
К задаче 44.2.
цилиндра. Радиус основания цилиндра г. В момент отделения цилиндра от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край В, отклонена от вертикального положения на некоторый угол CBCi = a.
Определить угловую скорость цилиндра в момент отделения его от площадки, а также угол а. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь.
У к а з а н и е . |
В |
момент отделения цилиндра от площадки составляющая |
веса |
по прямой |
Сф |
равна величине центробежной силы цилиндра вокруг |
ребра |
площадки — лв2, где Q—вес цилиндра. |
Ответ: = 21/ ~\ a = arccos^=- = 55,l°.
43.12 (1121). На боковой поверхности круглого цилиндра с вертикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В начальный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяжелый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и заставляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его R, масса шарика т; расстояние от шарика до оси считаем равным R и момент инерции
цилиндра равным у MR2.
Определить |
угловую |
скорость а>,которую цилиндр будет иметь |
в тот момент, когда шарик опустится на высоту h. |
Ответ: оо = |
2т cos a |
2gh |
|
R |
(M. + 2m) (M+ 2m sin2 a ) ' |
§44. Удар
44.1(1123). Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и
ударяет наковальню В, укрепленную на пружине. Вес бабы 10 кГ, вес наковальни 5 кГ.
Определить, с какой скоростью начнется движение наковальни после удара, если баба будет двигаться вместе с ней.
Ответ: 6,54 м/сек.
44.2 (1128). Груз А весом Р падает без начальной скорости с высоты h на плиту В весом р, укрепленную на пружине, которая имеет коэффициент жесткости с.
Найти величину s сжатия пру- жины после удара в предположении, что коэффициент восстановлени я
равен нулю.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44.3 (1129). |
В приборе для опытного |
определения коэффициента |
восстановления шарик из испытуемого материала |
падает без начальной |
скорости внутри |
вертикальной стеклянной |
трубки с заданной |
высоты |
1гг |
= 50 см на неподвижно закрепленную |
горизонтальную пластинку |
из |
соответствующего материала. |
|
|
|
|
Найти |
коэффициент |
восстановления, |
если |
высота, на |
которую |
подскочил |
шарик |
после |
удара, оказалась |
равной |
/га = 45 см. |
|
|
Ответ: |
£ = 1/ |
-А = 0,95. |
|
|
|
44.4 (ИЗО). Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т. д., продолжая эти движения.
Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен k.
Ответ: s — . |
,„ h. |
|
|
|
|
|
i |
— я * |
|
|
|
|
44.5 |
(1131). |
Паровой молот |
весом 12 |
т падает со |
скоростью |
5 м/сек |
на наковальню, вес которой вместе |
с отковываемой |
деталью |
равен 250 т. |
|
|
|
|
|
Найти работу |
Ai, поглощаемую |
отковываемой деталью, |
и |
работу |
А2, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычислить коэффициент т] полезного действия молота; удар неупругий.
Ответ: Аг = 14 600 кГм; Л2 = 700 кГм; т] = 0,95.
44.6 (1124). Найти скорости после абсолютного упругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями Vi И 1)2.
Ответ: Шары после удара обмениваются скоростями.
44.7 (1125). Два одинаковых упругих шара А и В движутся навстречу друг другу.
При каком соотношении между скоростями до удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен k.
и. |
1+& |
|
Ответ: — = -.—г. |
|
vB |
1-ft |
|
44.8 (1126). |
Определить |
отношение масс тх и т2 двух шаров |
в следующих двух случаях: |
1) первый шар находится в покое; про- |
исходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое. Коэффи-
циент восстановления |
равен k. |
Ответ: 1) "^ = k; |
2) -? = 1+ 2k. |
44.9 (1127). Три абсолютно упругих шара с массами ть т2 и т3 лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся »шар.
При какой величине массы т% второго шара третий шар получит |
наибольшую |
скорость? |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
т2=У |
|
|
|
|
|
|
|
44.10(1132). |
Шар массой |
тъ |
движущийся поступательно со ско- |
ростью Vi, встречает покоящийся шар |
массой от2, так что скорость |
его образует |
при ударе угол а с |
линией, соединяющей центры шаров. |
Определить: |
1) скорость |
первого |
шара |
после удара, считая удар |
абсолютно неупругим; 2) скорость каждого |
из шаров после удара в |
предположении, что удар |
упругий |
с коэффициентом восстановления k. |
Ответ: |
1) H I ^ I I , l / |
sin2 |
а 4-f |
m,1 |
| |
cos2 a; |
|
^u^Y^a |
|
+ C |
|
|
|
|
т, (1+ k) cos a |
|
|
|
|
H=gT> |
|
+ |
|
|
|
|
|
44.11(1133). |
|
х |
г |
|
|
|
|
Абсолютно упругий шар, центр которого движется |
прямолинейно со скоростью v, встречает |
под углом а гладкую верти- |
кальную плоскость. |
|
|
|
|
|
|
|
Определить скорость шара после удара. |
|
Ответ: Угол |
отражения |
равен |
углу |
падения, скорости до и после |
удара по модулю равны. |
|
|
|
|
|
|
|
44.12(1134). |
Стальной |
шарик падает на горизонтальную стальную |
плиту под углом |
45° и отскакивает |
под |
углом 60° к вертикали. |
Определить коэффициент восстановления при ударе. |
Ответ: & = |
0,58. |
|
|
|
|
|
|
|
К задаче 44.13. |
|
|
К задаче 44 14. |
44.13(1135). |
Шарик |
падает |
наклонно со скоростью v на непод- |
вижную горизонтальную |
плоскость и отскакивает от плоскости со ско- |
ростью v1 = |
|
|
|
'~--. |
Определить |
угол падения а |
|
и угол отражения {$, если коэффициент |
восстановления |
|
, |
Уз |
при ударе к = |
|
~-. |
"Ответ: а = ^ ; 8 = |
^ . |
|
|
|
6 ' г |
4 |
|
|
44.14(1136). Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями v. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол а (см. чертеж).
|
Найти скорости шаров после удара. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
м1л = — г» cos a; |
Mlt = 0; u2n=v\ |
«2t = i |
|
|
|
|
|
Ось |
п |
направлена |
по |
линии |
центров |
вправо, |
ось |
т — вверх. |
|
44.15(1137). |
Имеются три одинаковых |
шара: Мь |
М2, Мъ |
радиу- |
сов |
R, |
расстояние |
центров |
С1С2Ж=П. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить, |
на |
какой прямой АВ, пер- |
|
|
|
|
|
|
пендикулярной к линии СхС2, должен на- |
|
|
|
|
|
|
ходиться центр С3 |
третьего |
шара для того, |
|
|
|
|
|
|
чтобы, получив некоторую скорость по |
|
|
|
|
|
|
направлению |
АВ, |
этот |
шар после |
удара |
|
|
|
|
|
|
о шар М2 нанес центральный удар шару |
|
|
|
|
|
|
Mil |
шары |
абсолютно |
упруги и |
движутся |
|
|
|
|
|
|
поступательно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
Расстояние |
прямой |
АВ |
от |
|
|
К задаче 44.15 |
|
|
центра |
С2 |
равно |
ВС2 |
= |
—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44.16(1138). |
Для |
|
укрепления грунта под фундаментом здания |
сваи |
весом |
Р = 50кГ |
|
вбивались |
копром, боек |
которого |
весом |
Рг = |
= 450 кГ |
падал |
без |
начальной |
скорости |
с |
высоты |
h = 2 м; |
при по- |
следних |
десяти ударах |
свая углубилась на |
б = 5 см. |
|
|
|
|
|
Определить |
среднее |
сопротивление |
грунта |
при |
вбивании |
свай. |
Удар |
считать |
неупругим. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 5=16,2 г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44.17(1139). Два |
шара |
с массами тх |
и т2 |
висят на параллельных |
нитях |
длиной |
1Х |
и /2 |
так, что центры их находятся на одной высоте. |
Первый |
шар был отклонен от вер- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тикали на угол а г |
и затем отпущен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
без |
начальной |
скорости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить угол |
предельного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонения |
а2 |
второго шара, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
коэффициент |
восстановления ра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вен |
k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
a» |
m, (I A-k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
задаче 44.18. |
К задаче |
44.19. |
|
44.18 (1141). Маятник ударной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
машины |
состоит из стального дис- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ка |
А |
радиуса |
10 см |
и |
толщиной |
5 см |
и из стального |
круглого |
стержня |
В |
диаметром |
|
2 см |
к длиной |
90 |
см. |
|
|
|
|
|
|
На каком |
расстоянии |
/ от горизонтальной |
плоскости, |
в |
которой |
лежит ось вращения О, должен быть помещен разбиваемый машиной
брусок С, чтобы ось |
не испытывала удара? Ударный импульс лежит |
в плоскости чертежа |
и направлен горизонтально. |
Ответ: /=97,5 см.
44.19(1142). Определить положение центра удара прямоугольной
мишени для стрельбы. Высота мишени равна h. 2
Ответ: s = -^h.
44.20. |
Определить |
положение центра удара К треугольной ми- |
шени для стрельбы. Высота мишени равна Л. |
|
Ответ: s = -^- h. |
|
|
|
44.21 |
(1143). Два |
шкива вращаются в |
одной |
плоскости вокруг |
своих осей с угловыми |
скоростями ы1 0 и о)2о- |
|
Определить угловые скорости шкивов щ |
и ш2 |
после того, как на |
них будет |
накинут |
ремень, считая шкивы круглыми дисками одинако- |
|
|
вой |
плотности с радиусами Rt |
и R2 и пренебре- |
|
'&2L |
гая |
скольжением и массой ремня. |
|
Z7/. |
Ответ, т щ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R i ( R l + R |
l ) |
|
щ =-
|
44.22(1145). Баллистический маятник, употреб- |
К задаче 44.20. |
ляющийся для определения скорости |
снаряда, со- |
|
стоит |
из цилиндра АВ, подвешенного |
к горизон- |
тальной оси О; цилиндр |
открыт с одного конца А и наполнен песком; |
снаряд, влетающий в цилиндр, производит вращение маятника вокруг
оси О на некоторый угол. Дано: М— масса |
маятника; ОС = h — рас- |
стояние |
от |
его |
центра тяжести С до оси |
О; р —радиус инерции |
относительно |
оси О; т — масса |
снаряда; |
OD — а — расстояние |
от |
линии |
действия |
ударного |
импульса до оси; |
а — угол |
отклонения |
маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
|
скорость |
снаряда, |
предполагая, |
что ось |
маятника |
О |
не испытывает |
удара, причем а/г = р2 . |
|
|
|
|
Ответ:v |
= |
|
2(Mh+™) |
|/~j-sinf. |
|
|
|
|
У
т\ *~—
К задаче 44.22. |
К задаче 44.23. |
44.23(1146). Однородный стержень с массой М и длиной /.прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О, падает без начальной скорости из горизонтального положения. В вертикальном положении он ударяег груз массы т, сообщая ему дви-
жение |
по |
горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент тре- |
ния |
скольжения |
/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить |
путь, пройденный грузом, считая удар неупругим. |
~ |
|
3/ М2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 8 = |
|
ЩЩТШ£ |
|
|
|
|
|
|
|
|
44.24 (1147). Однородная прямая призма с квадратным основанием |
стоит |
на |
горизонтальной |
плоскости и может |
вращаться |
вокруг |
|
|
|
|
|
ребра АВ, |
лежащего |
вэтой плоскости. Реб- |
|
|
|
|
|
ро основания призмы равно а, высота ее За, |
|
|
|
|
|
масса Ът. В середину С боковой грани, про- |
|
|
|
|
|
тиволежащей |
ребру |
АВ, |
ударяет |
шар мас- |
|
|
|
|
|
сой |
т сгоризонтальной |
скоростью v. |
v |
Q | |
|
|
Предполагая, что |
удар неупругий |
и что |
|
|
|
|
|
масса шара сосредоточена вего центре, ко- |
|
|
|
|
|
торый после |
удара |
остается вточке С, оп- |
|
|
|
|
|
ределить |
наименьшую величину скорости v, |
|
|
|
|
|
при |
которой |
призма |
опрокинется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: v = ~Ybdga. |
|
|
|
|
|
|
|
|
44.25 |
(1148). Платформа с помещенным |
|
К задаче 44.24. |
на |
ней призматическим |
грузом |
АВ |
катится |
|
по горизонтальным рельсам со |
скоростью v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
платформе имеется выступ, в который |
упирается ребро Вгруза, препятствуя последнему скользить по плат- |
форме |
вперед, |
но |
не препятствуя |
вращению |
его |
около |
ребра |
В. |
Дано: |
h — высота |
центра тяжести |
груза над |
платформой, р —радиус |
инерции груза относительно ребра В. |
|
|
|
|
|
|
Определить |
угловую скорость <в |
|
|
|
|
|
|
вращения груза около ребра В в |
|
h\ |
|
|
|
момент |
мгновенной остановки плат- |
|
|
|
|
формы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: <о = Р-2^. |
|
|
У////////////////////////// |
44.26 (1149). Полагая при усло- |
|
К задаче 44.25. |
|
|
виях |
предыдущей |
задачи, что груз |
|
|
|
|
|
|
представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, авысота 3м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Ответ: v = 30,7 км/час.
§ 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава)
45.1 (1150). Составить уравнение движения маятника переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m — m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю. Длина нити
маятника А На маятник действует также сила сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R — —ф§.
Ответ: ? + ~Щ ¥ + f sin <Р = °-
45.2. Составить дифференциальное уравнение восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов *) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону /« = wo /(t) (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является заданной функцией скорости и положения ракеты: R (х, х).
Ответ: X = - g - ^lv e
45.3 (1152). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при т = т^{\ — at) и R = 0. Начальная скорость ракеты у поверхности земли равна нулю. На какой высоте будет находиться
ракета в моменты t = |
10; 30; 50 сек при ve— |
2000 м{сек и а = |
T-QQ сек'1? |
Ответ: X (t) = |
^ |
[(1 — o.t) In (I — at) -f |
at] — |
^ ; |
|
|
|
|
|
|
д:(10) = |
0,54 и ; лг(30)=г5,65 о ; |
х(50) = 18,4 |
км. |
|
|
45.4. |
Ракета |
с |
|
начальной |
массой |
/я0 |
поднимается |
вертикально |
вверх |
в однородном |
поле |
силы тяжести с |
постоянным ускорением ng |
(g—ускорение |
земного тяготения). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную |
скорость |
ve |
истечения газов |
постоянной, определить: 1) |
закон |
изме- |
нения массы ракет, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии |
поля |
тяготения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
1) т = |
тйе |
™е |
; 2) т |
= |
|
|
|
|
|
|
|
45.5. Масса ракеты, описанной в задаче |
45.2, |
изменяется до |
t — |
t0 |
по закону т = |
т$гл*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая силой сопротивления, найти движение |
|
ракеты |
и, |
считая, что к моменту времени t0 |
весь заряд практически сгорел, |
определить |
максимальную |
высоту |
подъема ракеты. В начальный мо- |
мент |
ракета |
имела |
|
скорость, |
равную |
нулю, |
и находилась |
на |
земле. |
Ответ: |
H=^[o.ve |
— g]tl, |
где |
ve |
— эффективная скорость |
исте- |
чения газов из ракеты.
45.6. При условиях предыдущей задачи определить значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Нтах-,
и вычислить //п,ах (величину у.= at,, = In —*• необходимо считать по-
стоянкой; /И]— масса ракеты в момент U). Ответ: а = оо (мгновенное сгорание);
•) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Ря = — ~гг ve, где ve — эффективная скорость истечения.
