ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

28.10 (742). Два метеорита

М\ и 7И9

описывают один и тот же

эллипс, в фокусе которого 5

находится

Солнце. Расстояние между

ними настолько мало, что дугу

М\Ма, эллипса можем считать за отре-

зок прямой. Известно, что расстояние MiM% равнялось а, когда сере-

движутся

с равными секториаль-

ными скоростями, определить рас-

стояние МуМъ когда середина его

будет проходить через афелий А,

если известно, что

SP = R\

и

Ответ: М\М% = ~ а.

к задаче 28 ю.

28.11 (743). Мальчик весом

40 кГ стоит на полозьях спортивных

саней, вес

которых

с грузом равен 40 кГ, и делает каждую секунду

толчок с

импульсом

2 кГсек.

Найти скорость, приобретаемую санями

за 15

сек, если

коэффициент трения

/ = 0 , 0 1 .

Ответ: г)=

2,2

м/сек.

28.12 (744). Точка совершает

равномерное

движение

по

окруж-

ности

со

скоростью

v = 20 см/сек,

делая

полный

оборот

за

время

7" = 4

сек.

Найти

импульс

сил S,

действующих

на точку,

за время

одного

полупериода,

если

масСа

точки

т =

5

г.

Определить

среднее зна-

чение силы F.

s

Ответ: 6 " = 200 дин сек; F=W0

дин

и направлена

по конечной

скорости.

28.13

(745). Два

математических

маятника, подвешенных

на нитях

длиной

4

и /а

(h^>

h)> совершают

колебания одинаковой амплитуды.

Оба маятника

одновременно начали

двигаться

в одном

направлении

мени

Т.

Ответ:

Л/ ~ =

~, где k, п — целые числа

и дробь — несокра-

тима;

Г =

А7"2 = йГ1.

28.14

(746). Шарик весом р, привязанный к нерастяжимой нити,

скользит

по

гладкой

горизонтальной плоскости;

другой конец нити

известно, что

в начальный момент нить

расположена по прямой, рас-

стояние между шариком и отверстием

равно R, а проекция началь-

ной скорости

шарика на перпендикуляр

к направлению нити равна %.

Ответ: В полярных

координатах (если

принять отверстие за на-

чало координат

и угол

ср0 равным нулю):

Т

^ — а '

У Д — at'

"giR—ut)" '

„

г

4тМ3

m

сила притяжения Земли Солнцем равна

- = ~ • -j,

где

г—расстояние

Земли

от

Солнца.

Ответ: М = 1 9 7 . 1 0 3 1

г.

28.16

(748). Точка

массы от, подверженная действию центральной

силы F,

описывает

лемнискату

г2 = a cos 2ср, где а—величина

постоян-

ная,

г — расстояние

точки

от

силового центра; в

начальный момент

г =

го, скорость точки

равна

v0 и составляет угол а с прямой, соеди-

няющей точку с силовым центром. Определить величину

силы F,

зная, что

она зависит только от расстояния г.

По формуле Бияе F —

г \'wra ' "^

/> г д е

с — удвоенная

секторная

скорость точки.

Ответ: Сила притяжения

F=-^-

rji>o sin8 a.

28.17 (749). Точка М, масса которой

т, движется

около непо-

движного центра О под влиянием силы

F,

исходящей из этого центра

и зависящей

только

от

расстояния МО —г.

Зная,

что скорость точки

ii =

ajr,

где

а — величина

постоянная, найти величину силы F

и траек-

торию

точки.

Ответ:

Сила притяжения

F— —$-•>

траектория — логарифмиче-

ская спираль.

кубу

расстояния

точки

от

центра

силы, при

следующих

данных:

на расстоянии, равном

1 см,

сила равна

1 дине; в начальный момент

расстояние

точки

от

центра

го = 2

см,

скорость

ио =О,5 см/сек и

составляет

угол

45° с направлением

прямой, проведенной из центра

к точке.

Ответ: г =

2еи;

г2

= 4 4-^|/ Г 2.

28.19 (753). Частица М с массой 1 г притягивается к неподвиж-

ному центру О силой, обратно пропорциональной

пятой степени рас-

стояния; эта

сила

равна

8 дин при расстоянии, равном 1 см. В началь-

ный

момент

частица

находится

на расстоянии

ОМ0 = 2 см

и имеет

скорость, перпендикулярную к ОМ0

и равную г>0=0,5 см/сек. Опре-

делить траекторию частицы.

Ответ: Окружность радиуса 1 см.

28.20 (754).

Точка

массы 20

г,

движущаяся

под влиянием силы

притяжения

к неподвижному

центру

по

закону

тяготения

Ньютона,

описывает полный эллипс с полуосями 10 см

и 8 см

в течение

50 сек. Определить наибольшую и наименьшую

величину

силы при-

тяжения F при этом движении.

Ответ: F m a x = 1 9 , 7 дин; F m i n = l,2 дин.

обходимо

затратить на опрокидывание

его вращением вокруг

ребра D.

Ответ:

4000 кГж = 39,24 кдж.

дГ*

ffflf'

и

г\ п*л

"• задаче

zy.i.

ииент полезного действия насоса 0,8?

Коэффициентом полезного действия называется отношение

полезной

работы, в данном

случае

работы,

затраченной

на

подяятяе

вооы, к работе

движущей силы,

которая

должна

быть

больше

полезной работы

вследствие

вредных сопротивлений.

Ответ:

34

час 43

мин 20

сек.

29.4 (758). Как велика мощность в

лошадиных силах и киловат-

тах

машины, поднимающей 84

раза

в

минуту

молот

весом

200

кГ

на

высоту

0,75

м, если коэффициент полезного действия машины

0,7?

Ответ: 4 л. с.= 2,94 кет.

29.5 (759). Вычислить в лошадиных

силах

и мегаваттах

общую

реке. Высота падения воды: у первого водопада—12

м,

у

вто-

рого—12,8

м,

у

третьего—15 м.

Средний расход

воды в реке —

75,4 м3/сек.

Ответ:

40 000 л. с. = 29,4 мгвт.

29.6 (760). Вычислить мощность турбогенераторов

на

станции

трамвайной

сети, если число вагонов на линии 45, вес

каждого

вагона 10 г,

сопротивление трения

равно 0,02

веса

вагона,

средняя

скорость

вагона

12 км/час и потери в

сети 5%.

Ответ:

421 л. с. = 309 кет.

29.7

(761). Разгрузка угля с баржи производится

мотором, подни-

мающим

бадью. Бадья вмещает 1 т угля и весит 200

кГ. За

12 часов

работы должны

быть

нагружены 600 т

угля,

причем бадью

с

углем

приходится

поднимать

на высоту

10 м.

Определить

теоретическую

мощность мотора.

Ответ:

2,22

л. с. = 1,63 кет.

его

развивает

мощность

5144 л.

с. Определить

силу сопротивления

воды движению

турбохода,

зная, что коэффициент полезного дейст-

вия турбины

и винта равен

0,4 и 1 узел =

0,5144

м/сек.

Ответ:

20

т.

29.10 (764).

Найти в

лошадиных

силах

и

киловаттах мощность

двигателя

внутреннего

сгорания,

если

среднее

давление

на поршень

в течение всего хода равно 5 кГ

на 1 см*\ длина хода поршня 40 см,

площадь поршня 300 смг, число рабочих ходов

120 в минуту и коэф-

фициенг полезного действия

0,9.

Ответ:

14,4 л. с. =

10,6

кет.

29.11 (765).

Шлифовальный

камень

диаметром

60

см

делает

120

об/мин.

Потребляемая

мощность

равна

1,6

л. с. Коэффициент

трения шлифовального

камня о

деталь

равен

0,2.

С

какой

силой

прижимает

камень шлифуемую деталь?

Ответ:

1570 к.

29.12 (766). Определить мощность мотора продольно-строгального

станка, если длина рабочего

хода 2 м,

его продолжительность

10 сек,

Движение

счшать равномерным.

Ответ:

2,96 кет.

29.13 (767). В XVIII

веке

для

откачки

воды

из угольных шахт

употребляли конный привод, называемый круговым

топчаком. Диаметр

топчака d = 8

м, и его

вал делал « =

6 об/мин.

Определить

среднюю

силу

тяги

лошади,

приводившей

топчак

в движение, считая ее мощность равной 1 л. с.

Ответ: F —29,9

кГ.

29.14 (768). К концу упругой пружины подвешен груз веса

Р. Для

растяжения

пружины

на

1 см

надо

приложить

силу,

равную

с Г.

Составить выражение

полной

механической

энергии системы.

\

Р

1

Ответ: - ~ — у ? \ - ^ с х г — mgx

— const,

где

х

отсчитывается

от

конца нерастянутой пружины

вниз.

29.15 (769).

При

ходьбе

на

лыжах на дистанцию

в 20

км

по

ческие колебания с

амплитудой

8 см

и

с

периодом Г = 4 сек.

Вес лыжника 80 кГ, а коэффициент трения

лыж о снег / = 0 , 0 5 .

Определить работу лыжника

на марте, если всю дистанцию он

прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника.

Примечание .

Считать, что работа

торможения при опускании цен-t

тра тяжести лыжника

составляет 0,4 работы

при подъеме центра тяжести >*

на ту же высоту.

Ответ: Л = 1,05-10" кГм;

w=s=0,26

л. с.

Ответ: 1) Ру,

2)

\ ^ - .

Оба

ответа одинаковы,

если

можно пренеб-

v

речь

у*. .

0,

29.17 (771). Для измерения мощности

двигателя на его

шкив А надета лента с

де-

К задаче 29.16.

ревянными колодками. Правая ветвь ВС ленты

удерживается пружинными

весами Q, а левая

ее

ветвь DE натяги-

вается

грузом.

Определить

мощность

двигателя,

если,

вращаясь

равномерно, он делает

120 об)мин; при этом пружинные весы

пока-

зывают

натяжение

правой

ветви ленты в 4 кГ;

вес

груза равен

1 кГ;

диаметр

шкива

а! =

63,6

см.

Разность натяжений

ветвей

ВС

и DE ленты равна силе, тормозящей

шкив; определяем

работу

этой

силы

в 1 сек.

Ответ:

0,16

л. с. =

117,8

вт.

К задаче 29.17.

К

задаче 29.18.

29.18

(772). Посредством

ремня

передается

мощность 20

л. с.

Радиус

ременного

шкива

50

см,

угловая

скорость

шкива

равна

150 об/мин. Предполагая,

что натяжение

Т ведущей

ветви

ремня

вдвое больше натяжения t

ведомой ветви, определить натяжения

Tut.

Ответ: Т=382

кГ;

£=

191 кГ.

8 И. В. Мещерский

225

прохождения

положения

равновесия.

о

Ответ: v= " | / | Ц + / „

(/-

30.2. В. условиях предыдущей

задачи опре-

делить скорость тела Е в момент прохождения

положения равновесия О,

предполагая,

что пло-

скость шероховата и коэффициент трения сколь-

жения

равен

/.

Ответ:г>2=J- [с[ £ +

К задаче

30.1.

30.3. Тело

К находится

на

шероховатой

наклонной

плоскости

в покое. Угол наклона плоскости

к горизонту

а

и /0

>

tg а, где /0 —

коэффициент

трения

покоя.

В

некоторый

момент

телу

сообщена

начальная скорость •о0, направленная вдоль пло-

скости

вниз.

Определить

путь

s, пройденный

телом

до остановки, если

коэффициент трения

при движении

равен /.

Ответ:

s = -2g (f cos а — sin а)

'

К задаче зо.з.

30.4

(773). По наклонной плоскости, состав-

ляющей

с

горизонтом угол 30°,

спускается без

скорость будет иметь тело, пройдя 2 м

от начала движения?

Ответ:

4,02

м/сек.

30.5

(774).

Снаряд весом

в

24

кГ

вылетает

из

дула

орудия со

скоростью 500 м/сек. Длина ствола орудия 2 м.

Каково

среднее значение силы давления газов на снаряд?

.

Ответ:

152,9

г.

30.6

(775). Материальная

точка

весом 3 кГ

двигалась

по

гори-

зонтальной

прямой

влево

со

скоростью

5 м/сек.

К

ней

приложили

постоянную

силу,

направленную

вправо.

Действие

силы

прекрати-

лось

через

30

сек, и тогда скорость точки

оказалась равной 55

м/сек

и направленной

вправо. Найти

величину

этой

силы

и совершенную'

ею

работу.

Ответ:

0,612

кГ;

459

кГж = 4,5 кдж.

30.7 (776). При подходе к станции поезд идет со скоростью 36 км/час

под уклон, угол

которого

а = 0,008 рад.

В некоторый

момент маши-

нист,

увидав опасность,

начинает

тормозить

поезд.

Сопротивление

от

торможения

и

трения

в

осях

составляет 0,1

веса

поезда.

Опре-

делить,

на

каком

расстоянии

и

через

сколько

времени

от

момента

начала

торможения

поезд

остановится,

полагая

sin a =

а.

Ответ:

55,3

м;

11,06

сек.

30.8 (777). Поезд весом 200

т идет

по горизонтальному

участку

при

с

ускорением

0,2

м/сек\

Сопротивление

or

трения

в

осях

составляет

10

кГ

на тонну

веса

поезда

и принимается не зависящим

от

скорости. Определить развиваемую

тепловозом

мощность в момент

£ = 1 0

сек,

если

в момент £= 0 скорость

поезда

равнялась 18

м/сек.

Ответ:

1620

л. с. = 1192

кет.

30.9. Брус весом Q начинает двигаться

с начальной скоростью v0

по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной

остановки

расстояние

s.

Определить

коэффициент трения

сколь-

жения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному

дав-

лению.

Ответ: / = | ^ .

30.10 (779). Сопротивление, встречаемое

железнодорожной

плат-

формой

при движении и происходящее от трения в

осях, равно

15 кГ,

а

вес

ее

6

т. Рабочий

уперся

в покоящуюся

платформу и покатил ее

по

горизонтальному

и прямолинейному участку пути,

производя

дав-

ление,

равное

25

кГ.

Пройдя

20

м,

он

предоставил

платформе

катиться

самой.

Вычислить,

пренебрегая

сопротивлением

воздуха

и трением

колес

о

рельсы, наибольшую

скорость

г>тах

платформы

во время движения, а также весь путь

s,

пройденный

ею до

оста-

новки.

Ответ: vmax

= 0,808 м/сек;

s = 33V3

м.

сопротивле-

ЗОЛ 1 (780). Гвоздь

вбивается

в стену,

оказывающую

ние К= 70

кГ.

При

каждом

ударе

молотка

гвоздь

углубляется

в

стену

на длину

/=0,15

см.

Определить

вес молотка Р, если при

ударе

о

шляпку

гвоздя

он

имеет

скорость

i»= 1,25

м/сек.

30.13 (782). Незаторможенный

поезд

весом Р =

= 500

т, двигаясь с

выключенным

двигателем, испы-

тывает

при движении

сопротивление

где v—скорость

в м/сек. Зная начальную

скорость

поезда

г»0 = 15

м/сек,

определить,

пройдя

какое рас-

стояние

поезд остановится.

х

^

#

Ответ: s=4,6 км.

**""

k

30.14 (783). Главную часть прибора для

испыта-

к задаче зо.14.

ния материалов

ударом составляет

тяжелая

стальная

8*

'

227

точку,

для которой расстояние ОМ =

0,981

м. Определить скоростью

этой точки в наинизшем

положении

В,

если

она падает из наивыс-

шего положения А с ничтожно малой начальной скоростью.

Ответ: г> =

6,2 м/сек.

30.15 (784). Написать выражение потенциальной энергии

упругой

рессоры, прогибающейся

на 1 см от

нагрузки

в

0,4 т, предполагая,

что прогиб х возрастает

прямо пропорционально

нагрузке.

Ответ: V=0,2лг2 ~\- const.

30.16 (785). Пружина

самострела

имеет

в

ненапряженном состоя-

нии длину 20 см.

Сила, необходимая для изменения ее длины

на 1 см,

равна

0,2 кГ. С

какой

скоростью v

вылетит

из

самострела шарик

весом 30 Г, если пружина была сжата

до длины

10

см?

Самострел

располо-

жен горизонтально.

Ответ: т> =

8,1

м/сек.

30.17

(786).

Статический

прогиб

К задаче 30.16.

балки,

загруженной

посередине

гру-

зом Q, равен 2 мм.

Найти наибольший

прогиб балки, пренебрегая ее массой, в двух случаях:

1) когда

груз Q

положен

на неизогнутую

балку и опущен

без

начальной

скорости;

2) когда

груз Q

падает

на

середину

неизогнутой

балки

с

высоты

10 см

без начальной

скорости.

При решении

задачи следует иметь в виду, что сила,

действующая на

груз со стороны балки, пропорциональна ее прогибу.

Ответ: 1) 4

мм;

2)

22,1

мм.

30.18

(787). Вагон весом в 16 тнаталкивается со скоростью 2 м/сек

на два

упорных

буфера.

Определить

наибольшее

сжатие

пружин

упорных

буферов

при

ударе

вагона,

если известно,

что ва-

гонные

и

буферные

пружины

одинаковы и сжимаются на 1 см

под действием силы в 5 г.

Ответ:

5,7

см.

30.19

(788).

Две

ненапря-

женные пружины АС и ВС,

расположенные

на

горизон-

тальной

прямой Ах,

прикреп-

К задаче 30.18.

лены

шарнирами

к неподвиж-

ным точкам

А

и В, а ъ точке

С — к гире весом

1,962 кГ. Пружина

АС

сжимается

на

1 см

силой

в 2 кГ, а пружина СВ вытягивается

на

1 см

силой

4

кГ. Расстоя*

ния: АС = ВС —

10

см. Гире

сообщена скорость

v» = 2 м/сек в та**

ком направлении, что при последующем

движении она проходит

через.

точку

D,

координаты

которой хо =

8 см,

_у0 =

2 см,

если за

начало

координат принять точку

А и координатные

оси

направить,

как

ука-

ной энергии V

движущейся

точки

в зависимости

от

координаты хг,

в начале координат

V=0.

t

Ответ: Оба

графика — параболы, имеющие уравнения

30.22 (791). Какую

вертикальную силу,

постоянную

по

величине

и направлению, надо

приложить к

материальной

точке,

чтобы

при

падении точки

на Землю с

высоты, равной

радиусу

Земли, эта

сила

сообщила точке

такую

же

скорость, как сила притяжения

к Земле,

Земли /? =

6370 км, г»0 =1 км/сек.

Ответ:

/ / = • , *°* , = 5 1 км.

Ответ:

20

см[сек.

30.26 (795). Определить скорость

г»0, которую нужно сообщить

по вертикали

вверх

телу,

находящемуся на поверхности Земли, для

того,

чтобы

оно поднялось

на высоту,

равную

земному радиусу; при

этом

нужно

принять

во' внимание только силу

притяжения Земли, ко-

от

центра

Земли.

Радиус

Земли равен 637-106 см, ускорение

силы

притяжения

на поверхности

Земли равно 980

см/сек\

Ответ:

7,9

км/сек.

30.27 (796).

Найти, с какой скоростью

va

нужно выбросить

сна-

ряд

с поверхности

Земли

по направлению

к

Луне, чтобы он достиг

воздуха

пренебрегаем. Ускорение силы

тяжести у поверхности Земли

g = 9 , 8

м/сек*. Отношение масс

Луны

и Земли tti:M=l

:80; рассто-

яние

между ними d = 6QR, где

считаем /? = 6000 км

(радиус Земли).

Коэффициент /, входящий в формулу для величины силы всемир-

ного

тяготения, находим из уравнения

М

т

— Н) ¥

тп

59

л[Жа

тщ

a = — — --, или -010= 10,75

км(сек.

30.28 (797). Шахтная клеть движется вниз со скоростью v= 12 м\сек.

Вес

клети Р = 6 г.