ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

„

14Р,+ 99Р2

„

ш

Ответ: • ~

г2.

ре О к

вертикальной оси, образуя

с ней

угол а.

Вычислить

моменты инерции стержня Jx,

Jy и центробежный

момент инерции Jxv.

Оси координат

показаны на

чертеже.

pfi

pp

рр

Ответ: Jx — -5— cos2 a; Jv = -5— sin2 а; Jxv = -%— sin 2а.

6g

•> ig

•>

bg

3

1^3~

Ответ: Jxt=x —w-md{a-\-b); Jyz=

——^-md(a-\-b); Jxy

= 0.

34.25. Однородный круглый диск весом Р эксцентрично насажен

на ось z, перпендикулярную к его плоскости. Радиус диска

равен г,

Ж задаче 34.25.

К задаче 34 27.

угол а. Радиус диска равен г. Вычислить

центробежные моменты

инерции диска Jxz,

Jyz, Jxy (оси

X,

координат

показаны на чертеже).

Ответ- Jxy=Jzy

= 0;

Jxz

=

34.29.

Решить

предыдущую

задачу в предположении, что диск

эксцентрично насажен на ось z,

причем эксцентриситет

ОС=а.

Ответ: Jxv=Jvz

= 0;

Jxz

=

К задаче 3*30.

Р

xy=Jyz

) s m

Ответ:

1 R.A cos*

S l n 2

•a2] sin a cos a;

= Жа& sin a.

34.31. Однородная прямоугольная пластинка весом

Р со сторо-

нами длиной а

и b

прикреплена к оси z, проходящей

через

одну

из ее диагоналей. Вычислить центробежный момент инерции Jyz

пла-

стинки относительно

осей у

и г, лежащих вместе

с пластинкой

в плоскости чертежа. Начало

координат совмещено с центром

тяже-

сти пластинки.

Ответ: J,

Р аЬ(аг — Ь2)

•yz-

К задаче 34.31.

К задаче 34.32.

Ответ: Jx

м

Л1

= jx (/>"4-с2),

' — Tfiv"1

То

(

10'

10

м

М

/

- ^

_

J их — 20

34.33.

Приняв

в

условии

предыдущей

задачи

а=Ь=с,

найти

уравнение

эллипсоида

инерции тетраэдра

относительно

точки О.

г,

Ма2 , , , ,. , М , ,

Ответ:

—^- {хх + yt) + -yg- аН\ =

= 1; ось

zt

симметрии

эллипсоида

инерции составляет с осями х,

у, г

равные

углы. Оси хх

и ух

занимают

произвольное

положение

в плоскости,

проходящей через

точку О перпенди-

кулярно к zx.

34.34. Вращающаяся часть подъемно-

го крана

состоит

из

стрелы CD дли-

Ной L и

весом

О, противовеса

Е ве-

сом Q и груза К весом Р. Рассматри-

вая стрелу

как

однородную

тонкую

К задаче 34.34.

балку,

а

противовес

Е и груз

К как

точечные

массы,

определить

момент

инерции

Jz

крана

относительно

вертикальной

оси

вращения

г

и

центробежные

моменты

инерции

относительно

осей

координат

х,

у,

г, связанных

с краном.

Центр

тяжести

всей

системы

находится

на

оси z;

стрела

CD

расположена

в плоскосги

yz.

Ответ: Jz

p + -1 o\ L* sina a] j

P

=

I * sin 2a — — £/sin a, lxy

§ 35. Теорема о движении центра масс

материальной системы

35.1.

Определить главный вектор внешних сил, действующих

на

маховик

М, вращающийся

вокруг оси АВ с угловым ускорением

е.

равномерно вокруг

оси DE. Центр тяжести С маховика находится

в точке пересечения

осей АВ и DE.

Ответ: Главный

вектор внешних СИЛ равен нулю.

К задаче35.1.

К

задаче35.2.

35.2. Определить главный вектор

внешних

сил, приложенных

К задаче35.3.

К

задаче 35.4.

К

задаче 355.

35.3. Определить

главный

вектор внешних

сид, действующих на

колесо весом Р, скатывающееся с наклонной

плоскости вниз, если

его центр масс С движется по закону Хс = at2/2.

Ответ: Главный

вектор внешних сил параллелен

оси х, направ-

закон движения

центра масс С

колеса,

если

коэффициент

тре-

ния скольжения

равен

/. В начальный

момент

колесо

находилось

в покое.

Ответ:

XQ=Щ~,

35.6 (958). Вагон трамвая совершает

вертикальные гармонические

колебания

на рессорах

амплитуды

2,5

см

и периода

Г = 0,5

сек.

давление

вагона

на

рельсы.

Ответ: Давление изменяется от 7 до 15 т.

35.7 (959). Определить давление

на грунт

насоса' для

откачки

воды при его работе вхолостую, если

вес неподвижных частей кор-

пуса

D

и фундамента Е равен Ръ вес криво-

шипа

ОА = а

равен

Р2,

вес

кулисы

В и

поршня С равен Р3.

Кривошип ОА, вращаю-

щийся

равномерно с угловой

скоростью со,

считать

однородным

стержнем.

Ответ:

ш*'~

' ™3)cosarf.

35.8.

Использовав

данные

предыдущей

задачи,

считать,

что

насос

установлен

на уп-

1

ругом

основании,

коэффициент упругости

которого равен с. Найти закон движения

vmi

оси О кривошипа ОА

по

вертикали, если в

начальный момент ось

О находилась в поло-

К задаче 35.7.

жении статического равновесия и ей была

сообщена по вертикали вниз скорость

v0. Взять начало отсчета оси xt

направленной вертикально

вниз, в положении статического

равнове-

сия оси О. Силами сопротивления пренебречь.

Ответ: 1) При

Pi+Pi+Рз

ft2 — < п 2

cos (d,

где k =

aco*

2) при

-s

У к а з а н и е .

Выражение 1/ 1—(-=-)

sin2urf следует разложить в ряд

и отброситс ь вссе

члены ряда,

содержащие

отношение г/1 в

степени ввыше

второй.

Ответ: N= Рх + Р2 + Р3

+

-—- [(Pi

cos at +

±- cos

К задаче 35.9

К задаче 35.10.

Ответ:

1)

Гармонические колебания с амплитудой

HP + 2Q)

2я

P+P + Q

и периодом

—

ш

л.)

t\ =

/ш2.

насажен на ось вращения Cj

на расстоянии С^^^а,

где С\ — центр

тяжести

статора

А,

а С 2 ~ центр тяжести ротора

В. Ротор равно-

мерно вращается

с угловой

скоростью ш. Электромотор

установлен

посередине упругой

балки,

статический прогиб которой

равен Д;

Р] — вес

статора,

Рг

— вес ротора.

Ответ: 1) При

] /

|

хх= -

^

sin At

где k=Yii

Ь =Р

2 )

п

р

и ]

/

- f — a

* i =

К задаче 35.13.

груз весом 200 Г на расстоянии 1,3 см от оси

вала.

Угловая

ско-

рость

мотора со = const = 90

сек'1.

Определить

амплитуду

вынужден-

ных

колебаний мотора и критическое число

его

оборотов

в

минуту,

пренебрегая массой балки и сопротивлением движению.

Ответ: а = 0,410

мм; ик р = 950

об/мин.

35.14 (873). Мотор весом

Р = 50

кГ

установлен на балке,

жест-

кость

которой

с = 500

гсГ/см. При

свободных

колебаниях

балки

с мотором

уменьшение

амплитуд

последовательных

отклонений

от

А

10

равновесного положения

оказалось

равным

-г-^- = - ? г .

На

валу

мотора

имеется

неуравновешенный груз

весом р = 0,2

кГ

на

рассто-

янии

г = 6

см

от оси

вращения. Найти

амплитуду и сдвиг

фаз вы-

нужденных

колебаний

мотора,

когда

угловая .скорость вращения вала

соответствует п — const = 980

об/мин.

Ответ: а = 0,253

см;

8=137°.

35.15. На чертеже изображена крановая тележка А

весом

Ръ

которая

заторможена

посередине

балки

BD. В

центре тяжести

Сг

тележки подвешен трос

длиной / с привязанным к нему грузом С2

весом Р2. Трос с грузом

совершает

гармонические колебания в вер-

тикальной плоскости. Определить: 1) суммарную

вертикальную ре-

акцию балки BD, считая

ее жесткой; 2) закон

движения точки Сх

в

вертикальном

направлении,

считая

балку

упругой

с коэффициентом упру-

гости,

равным с.

В начальный момент балка, будучи

недеформированной, находилась в покое

в

горизонтальном

положении.

Считая

К задаче 35.18.

колебания

троса

малыми,

принять:

Б Ш ф ^ ф ,

соэф^«1.

Начало

отсчета

оси у взять в положении

статического

равновесия

точки Сг. Мас-

сой троса

и размерами тележки

по сравнению с длиной балки пре-

небречь.

Ответ:

1) Ry=Py\-P2\

2) точка Сг

совершает

свободные коле-

бания по закону Ух =

2 c o s l /

, р

t.

р

Ответ: 1) Rx—

/фосо2 cosat; 2) точка Ct

совершает колеба-

«йш с амплитудой р

р* р ^фо й круговой частотой

со по закону Хх =

должен

переместиться

второй

человек

весом Р 2 = 70 кГ для того,

чтобы лодка осталась в покое? Длина

лодки 4 м. Сопротивлением воды дви-

жению лодки пренебречь.

Ответ:

Влево на корму лодки на

расстояние

1,43 м.

35.18 (952). На однородную

приз-

К задаче 35,18.

му А, лежащую на горизонтальной

плоскости, положена однородная приз-

ма В; поперечные сечения

призм —прямоугольные треугольники, вес

призмы А втрое больше веса

призмы В. Предполагая, что призмы и

горизонтальная плоскость

идеально гладкие, определить длину

/, на

которую

передвинется

призма

А, когда

призма В, спускаясь

по А,

дойдет до горизонтальной

плоскости.

35.19". По горизонтальной

товарной

платформе

длиною

6 м и

весом 2700 кГ, находившейся

в

начальный момент

в покое, двое

рабочих перекатывают тяжелую стальную отливку

из левого

конца

платформы в правый. В какую

сторону

и насколько переместится

при этом платформа, если общий вес груза и рабочих

равен 1800 кГ?

Силами сопротивления движению платформы пренебречь.

Ответ: Налево на 2,4 м.

35.20 (954). Грузы

P t и Р2 , соединенные нерастяжимой

нитью,

переброшенной через

блок А, скользят по гладким

боковым

сторо-

нам

прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую

горизонтальную

плоскость. Найти

перемещение клина

по горизон-

тальной плоскости при опускании

груза Р1 на высоту

h = 1 0 см.

Вес

клина Р = 4Р£ =16 Р2 ; массой нити и блока пренебречь.

Ответ: Клин

переместится вправо на 3,77 см.

К

задаче 35.20.

К

задаче 35.21.

35.21

(955).

Три груза

весом Pf = 20 н,Р

2 = 1 5 н и Р3 = Ю н

соединены невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через

неподвижные

блоки М и N. При опускании груза Р1 вниз груз Р а

перемещается

по верхнему

основанию четырехугольной

усеченной

пирамиды

ABCD

весом

Р = 100 я вправо, а груз Р 3 поднимается

по боковой

грани АВ вверх. Прене-

брегая

трением

между

усеченной пи-

рамидой ABCD и полом, определить

перемещение

усеченной

пирамиды

ABCD относительно пола, если груз Р г

опустится

вниз на 1 м.

Ответ: Влево на 14 см.

35.22. Определить перемещение не-

заторможенного

грузовика-самосвала,

находившегося в начальный

момент в

К задаче

35.22.

покое,

если его кузов

весом 4 т из

горизонтального

положения

повернулся вокруг

оси О, перпендику-

лярной к плоскости чертежа,

на угол 30°. Весгрузовика

без кузова

равен

1,5 т. Положение центра тяжести С кузова указано на чер-

теже,

причем

ОА — 2 м, АС = 50 см. Сопротивлением

движению

грузовика

пренебречь.

Ответ: Главный вектор количеств движения равен нулю.

36.2.

Определить

сумму

импульсов

внешних

сил, приложенных

к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче,

за произвольный

конечный промежуток

времени.

Ответ: Сумма импульсов

внешних

сил равна

нулю.

У///Л

V//7A

К зэдаче 36.1.

К

задаче 36.3

К

задаче 36.4.

36.3. Определить главный вектор количеств

движения маятника,

состоящего

из однородного

стержня

ОА весом

Рь

длиной 4г и одно-

родного

диска

В весом

Р2,

радиуса

г, если

угловая

скорость

маят-

ника в данный

момент равна со.

Ответ:

Главный

вектор

количеств

движения

направлен перпен-

дикулярно к ОА и по модулю равен

2Р -4-5Р

———- тт .

36.4

(968).

Определить

величину и направление главного вектора

количеств

движения

механизма

эллипсографа,

если вес кривошипа

равен Ръ

вес линейки АВ

эллипсографа

равен

2Plt

вес каждой из муфт

А

и

В

равен Р2; даны

размеры: ОС — АС —

=

СВ?=1.

Центры

тяжести

кривошипа

и ли-

нейки расположены в их серединах. Кривошип

вращается

с угловой

скоростью ш.

Ответ:

Модуль

главного

вектора

равен

Q = — (5РХ -J-4Р2);

направление

главного век-

тора

перпендикулярно

к кривошипу.

36.5. Определить главный вектор количеств

движения центробежпого

регулятора, ускоренно

К задаче 36.5.

вращающегося

вокруг

вертикальной оси. При

этом углы ф изменяются по закону

ф-=ф(/) и

верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары

А я

В. Длины

стержней: OA*=OB = AD = BD = l.