ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

48.55 (1237). Составить уравнения малых движений вблизи положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче.

48.57 (1239). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массой М, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с проволочной катушкой, состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления Р); средний радиус катушки г; ее коэффициент самоиндукции L,

381

омическое сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В.

один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трения внутри трубки.

Внедеформированном состоянии длина пружины равна АО = 1. Приняв за обобщенную координату расстояние х от тела М до

точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии.

382

гд е ft— постоянная интегрирования.

49.2.Найти первые интегралы движения сферического маятника длиной /, положение которого определяется углами 6 и ф.

Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате г|з (интеграл моментов количества движения относительно оси z): -фsin2 6== л;

2) интеграл энергии:

и вокруг оси £,. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей х, у, z соответственно равны А, В и С, причем В = А; силы трения на оси г собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь.

Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате <р (интеграл моментов количества движения относительно оси г):

ф+ и sin 8= л;

2)обобщенный интеграл энергии:

)

49.4. Материальная точка М соединена с помощью

невесомого стержня ОМ длиной / с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью о). Определить условие устойчивости нижнего

383

49.5. Уравновешенный гироскоп движется по инерции в кардано- вом подвесе. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения £

мы относительно оси

+Гг -f (Jx+ JX — J'z) cos8 0] $ + Jznsin б = пй

4)интеграл энергии:

Л-f (/i+ Л — Л) cos8 9] фг

49.6.Игнорируя циклическую координату <j», составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение в координате 9 для сфериче-

тенциальная энергия которого равна П(г). Определяя положение точки полярными координатами г и tp и игнорируя циклическую координату ср, составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение движения в координате г.

384

Ответ: 1) R = ~ Ц + /, + (Л -f- Л — J',) cos9 6] ф*-f

{Jy -г J'y)9 + 2 (Л + Л — J'z) cos 9 sin вф^ — ]гп cos 9ф= My;

3)Jzn cos №,

49.9.Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы т и длиной /, положение которого определяется углом ср отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному диф-

ференциальному уравнению движения математического маятника.

1 о2

Ответ: 1) ^ = ~ T " ^ I ' — mgl cos у;

2)&==- р = — mgl sin f.

49.10.Материальная точка массы т подвешена с помощью невесомого стержня длиной / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью ш (см. чертеж к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения.

я, Р.

ит. п. означают обобщенные импульсы.)

49.12.Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона

дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения.

49.15. Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).

386

2)у =

49.19.Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить интеграл действия по Гамильтону для малых колебаний струны.

49.20. Пользуясь принципом Гамильтона—Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.

Г Л А В А XII

ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА

§ 50. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы)

50.1.Модуль силы всемирного тяготения, действующий на мате-

*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного тела направлена к его центру; ускорения сил тяжести g даются без учета вращения небесных тел.

50.3. Материальная точка равномерно движется по круговой орбите на высоте И над поверхностью небесного тела радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость дви-

50.5. На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время

находился над одним и тем же пунктом Земли? "

Ответ: # = 3 5 800 км.

50.6. Под каким углом Р пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он

Ответ: г»2 -2-^ = /г.

50.8. Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спут-

*) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем.

390