ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

53.21.

Показать, что

при с<СРа

маятник, рассмотренный в пре-

дыдущей

задаче,

будет

иметь не менее трех положений

равновесия.

Найти также период малых колебаний.

Ответ: При

ф = 0

неустойчивое

положение равновесия. Устой-

чивые положения

равновесия будут

при ф — ф о > О ,

ф—<

Т ='

-/рфо

Pa cosф0 (tg ф0

— ф0) *

53.22 (1263). Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ

соединен с

маленькой

стальной

рессорой

ЕВ жесткости

с. В нена-

пряженном

состоянии

рессора занимает положение EBi, известно, что

к рессоре нужно приложить силу Fo, направленную по

ОВ, чтобы

привести ее в положение ЕВ0,

соответствующее равновесию маятника;

ОА = АВ = а; массой

стержней

пренебре-

гаем; расстояние центра тяжести маятника

от оси

вращения ОС = 1; вес маятника Q.

С целью достижения наилучшего изохро-

низма

(независимость

периода колебаний

от угла первоначального отклонения) си-

стема

отрегулирована

так, чтобы в урав-

нении

движения маятника

первый

из отброшенных членов был по-

рядка

ф5.

Установить,

какая

зависимость

должна

для

этого иметь место между по-

Ответ: Q/-2aF0 =

= 2я]/"—

2aF0

Г 6 1

'

Ql

равновесия на угол ф

о

= 45° не превышает 0,4%. Каково будет при

этих условиях изменение периода простого маятника?

Ответ: Сохраняя

в уравнении движения Маятника член ф5, по-

лучим

т=:

1

1+8)--

_ 1

„

_

4 / , Г Q С

dx

-

п л

I - . / Q

Ответ:

Т =

— 1/

— \

/ _ = г

= 5,24

-—1/

— .

Д<Ро Г

eg Э у\—х*

аъ

V

eg

о

53.25 (1266). В маятнике паллографа

груз

М маятника повешен

на стержне,

свободно

проходящем

через

вращающийся цилиндрик О

чения J,

модуль

упругости

материала

Е,

вес

балки

Qv

Определить

(приближенно)

число

свободных

колебаний,

совершаемых

грузом

в

минуту.

Ответ: л = 2080-1 /

-.

j — — ,

причем

за

единицу

длины при-

нят сантиметр.

53.31

(1272). Подмоторный груз

прямоугольного сечения нагружен

посередине

грузом

Q = 600 кГ

и

оперт

концами. Момент

инерции

поперечного сечения бруса J = 210 см1,

его погонный вес <?= 11 кГ/л,

длина / = 2 0 0 см; модуль упругости

материала бруса Е — 2- Ю6

кГ/см\

Определить

частоту

колебаний

бруса

с учетом

и без учета

его

массы.

Ответ: £1==63,4

сек*1;

&2 = 64,0

сек~х.

53.32 (1273). Подкрановая балка с

погонным весом #= 49

кГ/м,

с

моментом

инерции

поперечного

сечения

J = 8360

см*,

длиной

/=П0 м нагружена посредине грузом

Q = 700

кГ

и оперта

по кон-

цам;

модуль

упругости

материала

балки

£ =

2-10* кГ/см2.

Найти

частоту

колебаний

балки

с

учетом

и без учета ее массы.

Ответ:

/^ =

4,56

сек~\

£2 =

5,34

сек'1.

53.33

(1274). Двутавровая

балка

с моментом

инерции

сечения

J = 180

см*,

длиной

1= 4

м

лежит

на

двух

одинаковых

упругих

опорных

пружин;х,

жесткость

которых

с = 1 5 0 кГ/см,

и несет по-

средине

груз

весом

Q = 200 кГ.

Пренебрегая

весом балки,

опреде-

лить

период

свободных

колебаний

системы. Модуль

упругости

мате-

риала

балки

£ = 2 - 1 0 6

кГ/см2.

Ответ:

Т = 0,238

сек.

О

ш

I

К

задаче J3 33.

К задаче

53.34.

53.35.

Диск массы

М и радиуса г может катиться без скольже-

ния

по

горизонтальной

прямой. К диску

жестко

прикреплен невесо-

мый стержень длиною /, на конце которого

находится

точечная

масса

т.

Найти период малых колебаний системы.

Ответ: Г =

2 х | / " 3

2 ^ + ^ 2 .

53.36. На шероховатый круглый полуци- *

линдр радиуса R положен призматический бру-

сок массы М с прямоугольным поперечным

сечением. Продольная

ось

бруска

перпендику-

К задаче 53.35.

лярна к оси цилиндра. Длина бруска 21,высота 2а.

Концы бруска соединены с полом пружинами

одинаковой

жесткости

с. Предполагая,

что

брусок

не скользит по

цилиндру,

найти период его малых

колебаний. Момент

инерции

бру-

ска относительно поперечной гори-

зонтальной

оси,

проходящей

через

центр

тяжести,

равен Jo.

Ответ:

53.37 (1276). Острота кривой

резонанса системы с одной сте-

К. задаче

53.36.

пенью свободы при действии силы

трения,

пропорциональной

скоро-

сти,

характеризуется «половинной

шириной»

резонансной

кривой.

«Половинная

ширина»

резонансной кривой

измеряется

разностью

между двумя

частотами,

для которых' амплитуда

колебаний равна по-

ловине амплитуды, соответствующей

резонансу. Выразить

«половинную

ширину»

резонансной

кривой

Д

через

«коэффициент

настройки»

z =

w/k

и через

приведенный

коэффициент затухания

b = njk.

Дать

приближенную

формулу

для случая

д

8 <^ 1

(со— частота

вынуждающей

силы,

k — частота

собственных ко-

лебаний; при резонансе

2 =

1).

Ответ:

«Половинная

ширина»

кривой

резонанса равна

=

| Л _ 25*-J-28

или, если 8 ^

1,

Д t=^ 2 .

К задаче

53.38.

53.38 (1277). В вибрографе, упо-

требляемом

для

записи

вертикаль-

,ных колебаний, стержень ОА, соединенный

с пишущим пером при-

бора, может

вращаться

вокруг

горизонтальной

оси

О. Стержень ОА

' на конце А

несет груз

Q и удерживается в

горизонтальном

положе-

нии равновесия спиральной пружиной. Определить

относительное дви-

жение стержня ОА,

если

виброграф

укреплен

на

фундаменте,

совер-

шающем

вертикальные

колебания по закону

z = 2 sin 25^ мм.

Коэф-

фициент

жесткости

пружины

t = 0,l

кГ/см,

момент

инерции стер-

жня ОА

с

грузом

Q

относительно

О

равен

J = 0 , 4

кГсмсек2,

Qa = 10

кГсм.

Собственными

колебаниями стержня

пренебречь.

Ответ: ср= 0,0051 sin 2Ы.

53.39

(1278). В

вибрографе,

описанном в

задаче 53.38,

стержень

снабжен

электромагнитным тормозом

в виде

алюминиевой

пластины,

колеблющейся

между

полюсами

неподвижно

закрепленных

магнитов.

Возникающие

в пластине

вихревые

токи

создают

торможение, про-

порциональное первой степени скорости дви-

жения пластины и доведенное до границы

апериодичности.

Определить

вынужденные

колебания стрелки прибора, если последний

закреплен на фундаменте, совершающем вер-

тикальные

колебания

по закону

z =

hsinpt.

Ответ:

х — ац>~—^

- sin (pt — e);

2 1 /

— /

tge=-

53.40

(1280).

Вертикальный

двигатель

весом Q закреплен на фундаменте, имеющем

площадь

основания

51;

удельная

жесткость

грунта равна К. Длина кривошипа двига-

теля

г, длина шатуна

/, угловая

скорость вала

(о, вес поршня и

неуравновешенных

частей,

к задаче 53.40.

совершающих возвратно-поступательное дви-

жение, равен

Р,

вес

фундамента

О;

кривошип

считать

уравновешен-

ным

при

помощи

противовеса. Массой шатуна

пренебречь.

Опреде-

лить

вынужденные

колебания

фундамента.

У к а з а н и е .

При

расчетах

пренебречь всеми

членами, содержащими

малое отношение rjl в степенях выше первой.

Ответ: Смещение центра тяжести фундамента от положения рав-

новесия

~

Рш2

, ,

г

Prop

где

k -V-XSg

53.41

(1281). Рассчитать вес фундамента под вертикальный двига-

тель,

весящий

Q =

10 т, таким

образом, чтобы амплитуда вынужден-

ных

вертикальных

колебаний

фундамента

не превосходила

0,25 мм.

частей, совершающи-х возвратно-поступательное

движение, Р = 250 кГ,

кривошип

считать

уравновешен-

ным при

помощи

противовеса.

Массой шатуна пренебречь.

У к а з а н и е .

Воспользоваться

результатом

решения предыдущей

задачи иограничиться приближенным

решением,

отбросив

член, содержа-

щий г//. Проверить законность ука-

занного приближения.

К задаче 53.42.

Ответ: 0 = 366,6 т.

63.42

(1282).

Электромотор

весом Q =

1200 кГ установлен на

ланных вторыми концами в стену. Расстояние от оси

электромотора

до

стены / = 1 , 5 м. Якорь

электромотора вращается

со скоростью я =

1500 об/мин, вес якоря р = 200 кГ,

центр тяжести его

отстоит

от оси вала на расстоя-

нии

г = 0,05 мм.

Модуль

упругости

мягкой стали,

из

которой сделаны балки, £ = 2-106

кГ/см*. Опре-

делить момент инерции поперечного сечения так,

чтобы амплитуда

вынужденных колебаний не пре-

восходила 0,5 мм.

Весом балки пренебречь.

Ответ:

7 =

8740 си4 или 7 = 8480

см\

53.43 (1283).

Кулачковый механизм

для привода

клапана может быть схематизирован в виде массы т,

прикрепленной с одной стороны с помощью пружины

жесткости

с к* неподвижной точке и получающей с

К задаче 5343

другой стороны

через пружину жесткости с± движе-

ние от поступательно движущегося кулачка, профиль

k =

т

—тег Ъ

ТГ COSkt — COSk U

.

53.45

(1285).

Для

гашения колебаний

К задаче 53 44.

коленчатого вала авиационного мотора в

противовесе

коленчатого

вала

делается

желоб в форме дуги окружности радиуса г

с центром, смещенным на АВ =

1 от оси

вращения;

по

желобу

может

свободно

двигаться

дополнительный противовес, схе-

матизируемый в

виде материальной точки.

Угловая

скорость вращения

вала

равна ш.

Пренебрегая

влиянием силы тяжести, опре-

делить

частоту

малых

колебаний допол-

нительного

противовеса.

Ответ: k = <

53.46

(1286).

К грузу

весом

Р, вися-

щему

на

пружине ЖеСГКОСТИ С, В НЗЧаЛЬ-

К задаче 5345.

ный момент времени приложена постоян-

ная сила F, действие которой прекращается по прошествии времени т.

Определить

движение

груза.

Ответ:

При

И И. В. Мещерский

417

F = 0

при

53.50

(1290). На груз весом Р, висящий на пружине жесткости с,

действует

возмущающая

сила,

изменяющаяся по

закону Q(0 —

= F | sin at |. Определить

колебания

системы,

имеющие частоту возму-

щающей

силы.

Ответ: При 0 < t < п/со

•* = , / f ,,а ч [sin^ + c t g ^ c o s * Л

. ?

,2Ч sinco^;

/nfe (<вг —й2 ) |

' &

2(0

j

m(ш2 — fe2)

Ответ:

1)

( % =

у

р / ,

,

*,

Шкр-

53.52 (1294). Определить критическую скорость вращения легкого

вала длиной /, если вал лежит

на двух

коротких

подшипниках

и на

выступающем конце

длиной

а

несет диск

весом

Р. Жесткость

вала

на изгиб

EJ.

Ответ: а>кр =

*[/

-рМ.

53.53.

(1295).

Определить

критическую скорость вращения тяже-

лого вала,

лежащего

одним

концом в

коротком подшипнике,

а

дру-

гим — в

длинном;

длина

вала

/,

жесткость

вала

на изгиб

EJ, вес

единицы

длины

вала

q.

Ответ:

о>кр =

15

§ 54.Малые

колебания систем с несколькими

степенями

свободы

54.1 (1297). Для экспериментального

исследования процесса регу-

лирования

гидравлических

турбин сконструирована установка, состо-

ящая

из

турбины,

ротор

которой имеет момент

инерции

относи-

тельно

оси вращения Ji

=

b кГсмсек*,

маховика с моментом

инерции

J2 =

150

кГсм сек*

и упругого

вала

С,

соединяющего

ротор

турбины с маховиком; вал имеет

длину

/ = 1 5 5 2

мм,

диаметр

d =

25,4 мм;

модуль сдвига ма-

териала валаО=880000

кГ/см*.

Пренебрегая массой

вала и

скручиванием

его

толстых

уча-

Кзада,че 54.1.

стков,

найти

то

сечение

тп

неподвижным (узловое сечение), а также вычислить

период Т

свобод-

ных

колебаний

системы.

Ответ: а =

50 мм;

Т — 0,09

сек.

54.2

(1299).

Определить

частоты

свободных крутильных

колеба-

ний

системы,

состоящей

из

вала,

закрепленного

на

одном

конце,

с насаженными

посредине

и на другом конце однородными дисками.

Момент

инерции

каждого

диска

относительно оси

вала J; жесткость

на кручение

участков

вала

С\=

с% =

с. Массой вала

пренебречь.

Ответ:

£, =

0,62

l

/ y

;

/га =

1,62

l / j .

Ответ: kx—y

-j,

k2 = T/ 3y.

54.4 (1301). Два

одинаковых маятника длины / и массы т каж-

дый соединены на уровне

h

упругой пружиной жесткости с, прикреп-

ленной концами к стержням

маятников. Определить малые колебания

одному

из маятников

сообщено отклонение нд

угол

а

от положения равновесия; начальные скоро-

|

сти

маятников равны

нулю. Массами стержней

Ответ:

фх = a cos

i t

cos

*1t,

где

фх и

ф2 — углы

отклонения

маятников от

вертикали и

К задаче 54.4.

^

= ~\/~ М-

Ь =

1 / " Ж-Ц_ ?£^!

Ответ: Т~'

ЪМ I

К задаче 54.5.

К

задаче 54.6.

54.6. Заменяя

в предыдущей

задаче

прямолинейный рельс

дугой

окружности радиуса R, найти частоты

малых

колебаний

рассматри-

ваемой системы.

Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения

•*•- Г

r

/ J '" т (ЪМ + 2m)

=

0.

ЗМ + 2/n "

l(3M + 2m) (#-/•)

(R-r)l

54.7 (1302). Маятник состоит

из ползуна

массы

М,

скользящего

без трения по горизонтальной плоскости, и шарика

массы

т,

соеди-