ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975
.pdfненного с ползуном стержнем |
длины |
/, могущим вращаться |
вокруг- |
оси, связанной с ползуном. К |
ползуну |
присоединена пружина |
жест- |
кости с, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы.
Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения
ig М -f-
'7~лГ
-—• |
^ - = 0 |
/77 |
||
М |
I |
|||
|
||||
54.8 (1303). Два одинаковых |
К задаче 54 7. |
|||
физических маятника |
подвеше- |
|
||
ны на параллельных |
горизонтальных осях, расположенных в одной го- |
|||
ризонтальной плоскости, и связаны упругой |
пружиной, длина которой |
|||
в ненапряженном состоянии равна расстоянию между осями маятников. Пренебрегая сопротивлениями движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы прч малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждою
маятника Р; радиус инерции его |
относительно |
|
щщ$\ |
|
||||||||||||||
оси, проходящей через центр тяжести |
парал- |
v |
Z |
\ |
|
|||||||||||||
лельно |
оси |
подвеса, р; |
жесткость |
пружины |
с; |
|
|
|
|
|||||||||
расстояния |
от |
центра |
тяжести |
маятника и от |
|
|
\ |
|
||||||||||
точки прикрепления |
пружины |
к |
маятникам |
до |
|
|
|
|
||||||||||
оси |
подвеса |
равны |
соответственно |
/ |
и h. (См, |
|
|
|
|
|||||||||
чертеж |
к |
задаче |
54.4.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Ответ: |
k\ = |
8 |
х п • |
k\ - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S\" |
1 1 . |
|
•"! |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
64.9 |
(1305). Однородный |
стержень |
АВ |
дли- |
|
|
|
|
|||||||||
ной |
L |
ПОДВешеН |
при |
ПОМОЩИ |
НИТИ ДЛИНОЙ |
|
к. задаче 54 9. |
|||||||||||
/= |
0,5L |
к |
неподвижной |
точке. |
Пренебрегая |
|
|
|
|
|||||||||
массой |
нити, определить |
частоты |
главных |
колебаний |
системы и найти |
|||||||||||||
отношение |
|
отклонений |
стержня |
и ' нити |
от |
вертикали |
при |
первом и |
||||||||||
втором |
главных |
колебаниях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: fei = |
0 , 6 7 7 l / y ; |
&8 = |
2,558 1/ |
у ; |
в |
первом |
главном |
||||||||||
колебании «pi = 0,847rf2, во втором <pi = — l,180tp2, где <fi и <ра— амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.
54.10 (1306). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения Ljl, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длиной /.
Ответ: 1 — -г -г.
4 (
421
|
54.11 (1307). Считая в задаче |
54.9, что |
длина |
нити весьма мала |
|||||||||
по |
сравнению с длиной |
стержня, и пренебрегая |
квадратом |
отноше- |
|||||||||
ния |
1/L, определить отношение |
низшей частоты |
свободных колебаний |
||||||||||
|
системы к частоте колебаний физического маят- |
||||||||||||
|
ника, |
если |
ось |
вращения |
поместить |
в |
конце |
||||||
|
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ответ: |
1 — т~ -г. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
lo |
L |
|
|
|
|
|
|
|
54.12. Определить частоты главных колебаний |
|||||||||||
|
двойного |
математического маятника при |
условии, |
||||||||||
|
что |
массы |
|
грузов |
Мх и М2 |
соответственно |
равны |
||||||
|
т± |
и тг, |
ОМг |
— 1ь MiM.1^1%, |
а к грузу Мх при- |
||||||||
|
соединена пружина, массой которой можно прене- |
||||||||||||
|
бречь. |
Длина |
пружины |
в ненапряженном состоя- |
|||||||||
|
нии |
равна |
|
/0, |
жесткость |
пружины с. |
|
|
|||||
|
|
Г)т1,рт. |
|
tf |
А |
_..n? + ng |
|
K(n|nj)2+4nfnjyj |
|||||
|
|
Umeem. |
|
Ь 2 _ |
|
2(l—yW |
|
|
|||||
К |
задаче 54.12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
щ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
где |
|
щ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
54.13 (1309). Двойной физический маятник состоит из однород-
ного прямолинейного стержня OiO2 длиной 2а и весом Рг, вращаю- |
|||||||||||
щегося |
вокруг |
неподвижной |
горизонтальной оси Ov |
и из однород- |
|||||||
ного прямолинейного |
стержня |
АВ |
весом |
Р2> шарнирно соединенного |
|||||||
в |
своем |
центре тяжести с концом О% |
первого |
стержня. Определить |
|||||||
движение системы, если в начальный момент стержень OiO2 отклонен |
|||||||||||
на |
угол |
фв |
от |
вертикали, а стержень |
АВ |
занимает вертикальное по- |
|||||
ложение и имеет начальную угловую скорость <о0. |
|
||||||||||
|
Ответ: |
<p = (p0cos~|/ т |
, |
2 ^-t; |
^ = aot, |
где |
if —угол, обра- |
||||
зуемый |
стержнем АВ |
с вертикальным |
направлением. |
|
|||||||
У/////////////////////////////
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
К |
задаче 54.13. |
|
|
К |
задаче 54.14» |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
54.14. Стержень АВ |
весом Р |
подвешен за концы А и В к потолку |
||||
на |
двух |
одинаковых |
невесомых |
и |
нерастяжимых нитях |
длины о. |
|
К |
стержню |
АВ подвешена на двух |
одинаковых невесомых |
и нерас- |
|||
тяжимых нитях длины b балка CD весом Q. |
Предполагая, |
что коле- |
|||||
бания происходят в вертикальной |
плоскости, |
найти частоты главных |
|||||
колебаний. |
|
|
|
|
|
|
|
422
a2
а 6cg/, _ - , / " .
%== сф —а) '
где щ— -
П 0 7 8 ( а + Ь ) 2 \
С~~~1р *
сф-а) '
423
|
54.17 (1308). Платформа тележки |
опирается |
в точках |
А |
и В на |
||||||||||||
две |
рессоры |
одинаковой |
жесткости |
с, |
расстояние |
между |
осями |
рес- |
|||||||||
сор |
АВ = 1; центр |
тяжести С платформы |
расположен на прямой |
АВ, |
|||||||||||||
являющейся осью |
симметрии |
платформы, на расстоянии АС —а —1/3 |
|||||||||||||||
от точки А (см. чертеж к задаче 54.16). |
Радиус |
инерции |
платформы |
||||||||||||||
относительно |
оси, |
проходящей |
через |
ее |
центр |
тяжести перпендику- |
|||||||||||
лярно к |
прямой |
АВ и |
лежащей |
в |
плоскости |
платформы, |
принять |
||||||||||
равным |
0,2/; |
вес |
платформы |
равен |
Q. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти малые |
колебания |
платформы, возникающие под |
действием |
|||||||||||||
удара, приложенного в центре тяжести |
платформы |
перпендикулярно |
|||||||||||||||
к ее плоскости. Импульс удара равен 5. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Ответ: |
Пусть |
z — вертикальное |
смешение центра тяжести |
плат- |
||||||||||||
формы, ср-—угол поворота ее вокруг оси, указанной |
в условии задачи |
||||||||||||||||
(та |
и другая |
координаты |
отсчитываются |
от положения |
равновесия |
||||||||||||
центра тяжести |
платформы); найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
~щ S (0,738 sin 1,330 j |
/ |
|
^ |
t + 0,00496 sin 3,758 |
|
|
|||||||||
|
/<p=j/ JjL 5(0,509 sin 1,330 |
y |
ij-f |
— 0,180 sin 3,758 у |
|
±jLt). |
|||||||||||
54.18. Две одинаковые материальные точки Мх и Мг весом Q каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от кониоз к на1янутой НИТИ, имеющей длину 2{а-\-Ь)\ на1яжение нити равно р.
Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты.
_ |
|
i |
|
Ответ• |
ь |
1 Г Р& |
|
л ' |
?/, |
Т |
п |
||||
|
|
|
|
• |
«1 |
у |
Qa > |
Главные |
координаты: |
6Х = у |
(хг + х2), бг = -д"(л'г — |
-Ха)- |
|||
54.19 (1314). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны рх и рг.
Ответ: |
кх = Л/ |
-£-; |
Л2 |
= |
|
|
|
|
|
||
54.20 (1315). Определить |
частоты малых колебаний тяжелой |
мате- |
|||||||||
риальной точки около ее положения равновесия, совпадающего |
с наи- |
||||||||||
более |
низкой точкой поверхности, вращающейся |
с |
постоянной |
угло- |
|||||||
вой скоростью |
ш вокруг |
вертикальной оси, проходящей через эгу |
|||||||||
точку. |
Главные |
радиусы |
кривизны |
поверхности |
в ее наинизшей |
||||||
точке рх и р2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
Частоты |
малых |
колебаний |
являются |
корнями уравнения |
||||||
|
|
* - h^ |
+1- 4-11 k* + U2 |
- &•) (ш« - 4-)=0. |
|
||||||
|
|
L |
~Pi |
"PaJ |
T \ |
HJ\ |
hJ |
|
|||
424
54.21 (1316). Круглый однородный диск радиуса г и массы М связан шарниром со стержнем ОА длины /, могущим поворачиваться около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреплена материальная точка В массы т. Определить частоты свободных колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня ОА.
Ответ: Частоты свободных колебаний являются корнями уравнения
|
М+ т |
m |
r+l] |
g |
h2 |
2m(M + m) |
g» |
|
4 |
|
т r+П |
g |
|
|
|
|
|
_ ^ |
М |
Г |
\ I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
54.22. На проволочную |
окружность радиуса R, |
плоскость |
кото- |
|||||
|
|
|
рой горизонтальна, надеш дца одина- |
|||||
|
|
|
ковых |
колечка, соединенные пружи- |
||||
|
|
|
ной жесткости с, имеющей в не-, |
|||||
|
|
|
напряженном |
состоянии длину |
/0 |
|||
К задаче 54.21. К задаче 54.22.
Определить движение |
колечек, |
приняв их |
за |
материальные |
точки |
||
массы т, |
если |
в начальный момент расстояние |
между ними |
равня- |
|||
лось / > |
/Q, а |
начальная |
скорость |
равнялась |
нулю. |
|
|
^A
54.23. |
|
Определить малые колебания математического |
|
||||||
маятника |
длиною / и весом Р2, |
подвешенного к |
верти- |
|
|||||
кально |
движущемуся ползуну |
А веса Pv |
прикреплен- |
|
|||||
ному к |
|
пружине жесткости с. Ползун при своем дви- |
|
||||||
жении испытывает сопротивление, пропорциональное его |
|
||||||||
скорости |
(Ь— коэффициент пропорциональности). |
|
|
||||||
Найти |
условия, при |
которых в случае |
й= 0 |
глав- |
К задаче 54.23. |
||||
ные частоты данной системы будут равны между собой. |
|||||||||
|
|||||||||
Ответ: |
1) х = Axe~ht |
sin (\fk\ — h21 -)- £i), <p = |
A.Lsin ( |
|
|||||
Ai, A%, |
ej, |
s3 — постоянные интегрирования, |
|
|
|
||||
eg
455
2) Главные частоты будут одинаковы (при Ь— 0), если
Pi +Рш
с=- I
54.24. Два одинаковых жестких стержня длины R имеют общую точку подвеса О. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В весом Р каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна /0. Пренебрегая весом стержней, найти уравнение для определения частот главных колебаний около
устойчивого |
положения |
равновесия грузов. |
|
|
|
|
||||||||||
~ |
Ответ: k*— (л2 + я2 ) k2 |
+ п\п\ — fis |
= 0; |
|
|
|
||||||||||
|
|
9 |
9 |
1 |
g |
|
COSa |
a . |
|
gc |
|
a, |
|
|
|
|
|
|
cos |
a |
+ |
%• cos2 |
|
|
|
||||||||
|
П* |
ti^ |
— |
— |
|
T' |
|
|
|
|
|
|||||
|
" l |
"a — |
9 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
= |
|
r>2 |
2 |
|
i -РЯ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
112 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
cos ot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c/? cos |
|
a + -;f- |
|
|
|
|
|
|
||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
P |
1 |
|
a ^ a r c s i n , ^ , |
а /находится |
из |
уравнения lo |
— l\ |
I-| |
• |
|
|||||||||
|
54.25 (1317). К движущейся |
по |
заданному |
закону |
£= £(£) |
плат~ |
||||||||||
форме подвешена на пружине жесткости |
сх |
механическая система, со- |
||||||||||||||
стоящая из массы ть |
к которой жест- |
|
|
р |
|
|
||||||||||
ко присоединен в точке В поршень |
|
|
|
|
|
|||||||||||
демпфера. Камера демпфера, масса кото- |
^, |
|
|
|
|
|||||||||||
рой |
равна |
/иа, опирается |
на пружину |
\ |
|
|
|
|
||||||||
А ^лЛЛАЛЛЛЛЛМЛЛг^ В
К задаче 54.24. |
К задаче 54.25. |
жесткости с«, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; р— коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
Ответ: тххг + ф^ — $х2 + (<?i+ ^а) -^1 — С2Х2 =
т2хг—$£i + Рх2 — с2 хх + с2х2 = 0.
54.26 (1318). Между двумя неподвижными опорами А и В натянута упругая гибкая проволока. Натяжение осуществлено с помощью
426
груза Р, висящего на свисающем конце проволоки. В точках С и D
1подвешены два маятника Мх и М2, могущих колебаться в плоскостях, перпендикулярных к плоскости чертежа. Расстояния AC = CD =
t=DB = a. Массой проволоки и нитей пренебречь и рассматривать
К задаче 54.26.
каждый маятник как материальную точку массой т, висящую на нити Длиной /. Определить частоты свободных малых колебаний системы.
У к а з а н и е . Отношение -у-~~ считать малым.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 / |
P |
|
|
54.27 (1319). Определить частоты свободных крутильных коле- |
||||||||||||||
баний |
системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой |
пере- |
|||||||||||||
дачей. Моменты инерции масс, насаженных |
на валы, и моменты инер- |
||||||||||||||
ции зубчатых |
|
колес |
относительно оси |
валов |
|
имеют |
величины |
||||||||
Jx |
= 87 500 кГсм сек2, |
72 = 56 000 |
кГсм сек2, |
ix |
— 302 |
кГсм |
сек2, |
||||||||
/2 |
= 10,5 |
кГсмсек^, |
передаточное |
|
|
|
|
|
|
||||||
число |
|
k = Zi/z2 |
— 5; |
жесткости |
|
|
|
|
|
|
|||||
валов |
при |
кручении |
с1 = |
316х |
|
|
|
|
|
|
|||||
X Ю6 |
кГсм, |
|
с 2 |
= 115 • 10е |
кГсм; |
Г |
|
|
|
|
|
||||
массами |
валов |
пренебречь. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
^ |
= 54,8 |
сек-1; |
|
|
'MIL |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= 2,38-103 |
сенг\ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
64.28 (1320). Определить, пре- |
|
К задаче 54.27. |
|
|
||||||||||
небрегая |
массой зубчатых |
колес, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
частоту |
свободных |
крутильных колебаний системы, описанной в пре- |
|||||||||||||
дыдущей задаче. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: |
£ = |
58,7 |
сек'1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
54.29 (1323). Найти частоты и формы главных поперечных коле- |
||||||||||||||
баний |
балки |
длиной |
/, свободно лежащей |
на двух |
опорах и нагру- |
||||||||||
427
I |
2 |
женной в точках x = ^-/ |
и х = -^1 двумя равными грузами веса Q. |
О |
О |
Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости Е. Массой балки пренебречь.
Ответ:
К задаче 54.29-
К задаче 54.Зи.
К задаче 54.31.
Ответ: ^ = 6,93 1 / ^ ;
—
-А- — — 1; формы главных ко-
лебаний указаны на чертеже.
54.30(1324). Найти частоты
иформы главных поперечных колебаний балки длиной /, опертой по концам и несущей
два груза Q] = Q и Q2 — 0,5Q, равноудаленных от опор на
расстояние |
-^1. |
Массой балки |
пренебречь. |
|
|
Ответ: |
|
|
= |
6,55 |
Им. |
к |
|
|
Я2 — |
|
|
формы главных |
колебаний ука- |
|
заны на чертеже. |
||
54.31 (1325). Найти частоты и формы главных коле-
баний |
двухпролетной |
балки, |
||
несущей |
в |
середине * каждого |
||
пролета |
по одному грузу; веса |
|||
грузов и длины пролетов оди- |
||||
наковы: |
Qj==Q2 |
= Q; |
lx — |
|
= /г = /. Массой |
балки прене- |
|||
бречь. |
|
|
|
|
А 2 = 10,46 1 / | ^ ; |
формы |
главных |
||
колебаний показаны на чертеже.
54.32 (1326). Найти частоты и формы главных колебаний двух одинаковых грузов Q, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на равных расстояниях / от ее опор. Балка длиной 3/ свободно лежит на двух опорах, отстоящих друг от друга на рас-
428
стоянии /; момент инерции поперечного сечения балки J; модуль Юнга материала балки Е. Массой балки пренебречь.
Ответ: к^уТЩ; |
к^Щ- |
54.33 (1327). Однородная прямоугольная пластинка массой т закреплена в конце А балки длиной /, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости
|
|
|
|
|
|
К |
задаче 54.33. |
и совершает в |
этой |
плоскости |
свободные колебания около положе- |
||||
ния равновесия. |
|
|
|
|
|
||
Определить |
частоты и формы этих колебаний. Размеры пластинки: |
||||||
а = 0,2/, |
Ь = 0,П. Массой |
балки |
пренебречь. |
|
|||
/ У к а з а н и е . |
Сила |
Q |
и момент М, которые |
должны быть приложены |
|||
к концу |
А |
балки, чтобы создать в этой точке прогиб / и поворот касатель- |
|||||
ной к изогнутой оси балки (р, определяются формулами |
|||||||
причем в |
|
рассматриваемом |
случае |
однородной балки, заделанной одним |
|||
|
_ |
Р |
I |
|
Р |
|
|
концом, P-^j, |
Я-jj, |
S |
|
|
|
||
Ответ: Частоты главных колебаний равны |
соответственно |
||||||
первое главное колебание можно рассматривать Как колебание пово-
рота |
вокруг точки О\, расположенной на оси балки слева от точки А |
|||||||||
на |
расстоянии |
ОХЛ = 0,612/; второе — вокруг точки О2> расположен- |
||||||||
ной |
на |
продолжении |
оси балки |
на расстоянии О2Д = 0,106/-справа |
||||||
от |
точки |
А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54.34 |
(1328). |
К первому |
из |
двух первоначально неподвижных |
|||||
дисков, соединенных упругим валом жесткости с, |
внезапно приложен |
|||||||||
постоянный вращающий момент М; моменты инерции дисков J. Пре- |
||||||||||
небрегая |
массой |
вала, |
определить |
последующее |
движение системы. |
|||||
|
Ответ % |
= ^C + ^ ( l - c o s |
|
]/~2-i'); |
|
|||||
|
54.35. Двухъярусная шарнирно-стержневая система удерживается |
|||||||||
в |
вертикальном |
положении |
тремя |
пружинами, как эго показано на |
||||||
429
чертеже. Стержни абсолютно жесткие, однородные; вес на длину I
равен О.Полагая коэффициенты жесткости пружин равными Су — с2 = 10(7
— - г - , определить устойчивость равновесия системы, а также частоты
и формы /i и /а главных колебаний системы. Массой пружин пренебречь; I1 = li = l.
Ответ: Равновесие устойчивое;
Л, = 0,412 у f, |
£2 = |
/i==— 1,455, |
/2 = 3,495. |
54.36. Груз весом О укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой АВ, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции поперечного сечения J, а модули упругости Е балки и стойки
|
|
|
|
|
|
|
а -4- |
га |
-J |
|
|
|
|
|
|
|
К задаче 54.36. |
|
|
одинаковы, определить |
частоты |
главных |
изгибных колебаний системы. |
||||||
Весом балки и стойки пренебречь. |
|
|
|
|
|||||
Ответ:fc= 0,497 j / J £ gl |
k*= |
1,602 |
|
|
|
||||
64^7 (1329). Фундамент машины весом Р1 |
= Ю0т, установленный |
||||||||
на упругом грунте, совершает вертикальные |
вынужденные колебания |
||||||||
под действием вертикальной возмущающей силы, |
меняющейся по |
||||||||
закону F=l0s\nwt. |
С |
целью |
устранения |
резонансных колебаний, |
|||||
обнаруживающихся при угловой |
скорости вала машины ш = |
100 сек'1, |
|||||||
на фундаменте установлен на упругих пружинах |
гаситель в виде |
||||||||
тяжелой рамы. Подобрать |
вес рамы Р 2 |
и суммарную |
жесткость пру- |
||||||
жин сз гасителя так, чтобы |
амплитуда |
вынужденных |
колебаний фун- |
||||||
дамента при вышеуказанной |
скорости вала обратилась в нуль, а ампли- |
||||||||
туда |
колебаний гасителя |
не превосходила А = 2 мм. |
|
|
|||||
• |
Ответ: Р%= 4,9 г, |
с2 = 5 • 103 т/м. |
|
|
|
||||
430