ФБТ БИ 1курс / мищерский 1975

Ответ:

Траектория —парабола у —tg а. • х —9 2 g

2• -лга; высота

tf

^ a

; L

a ;

Ответ: y =

fg-§^x\

10.19. Точка движется по винтовой линии

х = a cos kt, y = a sin kt, z =s v£.

Определить

уравнения движения точки в цилиндрических координатах.

Ответ:

г = а, y = kt, z — xt.

10.20. Даны уравнения движения точки:

x = 2acos2 y,

y^asmkt,

где а

и k — положительные постоянные. Определить

траекторию и

закон

движения

точки по траектории, отсчитывая расстояние от на-

чального положения точки.

Ответ:

Окружность (х — а)2 -{-у2 = a2; s = akt.

10.21. В условиях предыдущей задачи определить

уравнения дви-

жения точки в полярных координатах.

Ответ:

г — 2а cosу ; ф= -„-.

(

р \2

ра

х

J -j-j/2 — _ , Уравнения движения в сферических координатах:

,r = R, ф= у , ®= Y-

10.23.

Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди-

кулярных

затухающих колебаниях, уравнения

которых имеют вид

х = Ae~ht cos(kt + е), у = Ae~ht

sin {kt -\- г),

где Л^>0, h^>0,

k~^>0 и s — некоторые

постоянные.

Определить

уравнения движения в полярных координатах

и

найти

траекторию

точки.

Ответ:

r = Ae~M,

<p =

kt-\-e;

траектория — логарифмическая

_ - (<р - е)

спираль г = Ае

*

.

• .

§ 11. Скорость

точки

11.1 (325). Точка совершает

гармонические

колебания по закону

x — asinkt.

Определить

амплитуду

а и круговую

частоту k

колеба-

ний,

если

при х = Х\ скорость

v = Vi,

а при х = дга

скорость v = г/4.

Ответ: а =

11.2 (327). Длина линейки эллипс'о-

-х

графа АВ = 40 см,

длина

кривошипа

ОС = 20

см,

АС = СВ.

Кривошип

к задаче П.2.

равномерно

вращается

вокруг

оси О

с угловой

скоростью

ш. Найти

урав-

нения траектории

и годографа

скорости

точки М линейки, лежащей

на расстоянии AM = 1 0 см от конца А.

х^

v^

jc?

л1^

Ответ:

ГШП +

Т Ж = ^ ' 900(ла

'

100w2

•

11.3 (328). Точка

описывает

фигуру

Лиссажу

согласно

уравне-

ниям

(х, у — в сантиметрах,

t — в

секундах).

Определить

величину и на-

правление скорости точки, когда она находится на оси Оу.

Ответ:

1)

v=2

см/сек;

cos(г», х) =

— 1 . 2)

г> = 2 см/сек;

cos(i>, х)=

1.

11.4 (329). Точка движется согласно

уравнениям

{t — в секундах,

х, у — в сантиметрах).

Определить

величину

и на-

правление

скорости точки при £=

0; t=\

сек; t=2

сек.

Ответ:

1) Ъъ — ^ъ

см/сек; cos(vo, x) = -^; cos(vo,у) =

~.

2 ) ^ = 0.

3) vi

= Y'K

см/сек; cos(t>a, х) =

— -=-;

cos(t>2, y) = — = - ,

ного

механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени,

если

ОА = АВ = а (см. чертеж к задаче 10.12).

г»0, g и «о<С"о

величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки,

3) u*= t»0 cos a9;

vy

= z t г>0 sin a0,

моменту

времени, а

причем верхний знак

соответствует начальному

нижний — момеяту

,

2w0 sin a0

11.7 (364). Движение

точки

задано теми же

уравнениями, что и

в предыдущей задаче, причем i>

0 = 20 м/сек, a0 =

60°, g = 9 , 8 l м/сек*.

Найти, с какой скоростью

Vi должна

выйти из начала координат в

момент £=

0 вторая

точка

для того, чтобы, двигаясь

равномерно

по оси Ох,

она встретилась

с первой

точкой, и определить расстоя-

ние Xi до места встречи.

Ответ:

t»i = 10 м/сек; Xi =

35,3

м.

11.8 (365). Определить высоты Нъ

Л2 и /г3 над поверхностью

воды

трех пунктов отвесного берега,

если

известно, что три пули,

выпу-

внимание только

ускорение силы

тяжести

g = 9 , 8 1 м/сек*. Опреде-

лить также

продолжительность

Т

полета

пуль и их скорости vi, %

и v3 в момент

падения в воду.

Ответ:

/г1 =

/г2 = /г3= 19,62

м;

Т =

2 сек;

1*1=

53,71

м/сек,

г»а =

77,52 м/сек,

f 3

= 101,95 м/сек.

11.9 (366). Из орудия, ось

которого образует

угол 30°

с гори-

зонтом, выпущен

снаряд со скоростью

500 м/сек. Предполагая, что

снаряд имеет

только ускорение силы

тяжести g = 9 , 8 l

м/сек*, найти

^граф.

Ответ: Годограф — вертикальная

пряма», отстоящая

от

начала

•координат на 432 м; -Dj= 9,81 м/сек1.

11.10 (332). Определить уравнения движения и траекторию

точки

колеса электровоза радиуса R=l

м, лежащей на

расстоянии

а = 0,5

м от

оси,

если

колесо

катится без скольжения по гори-

зонтальному

прямолинейному участку

пути;

скорость

оси

колеса

г»= 1 0

м/сек. Ось. Ох

совпадает

с рельсом,

ось Оу—

с

радиусом

точки

при

ее начальном низшем

положении. Определить также ско-

рость

этой точки вте

моменты

времени, когда

диаметр

колеса, на

котором она

расположена,

займет

горизонталь-

ное

и вертикальное

положения.

Ответ:

Укороченная циклоида

х=\Ы—0,5sin

10/,

у = 1— 0,5 cos 10/.

Скорость:

1) 11,18

м/сек;

2) 5

м/сек;

15 м/сек.

V/////V///////////.

(333).

Скорость

электровоза

vo=

11.11

= 72

км/час;

радиус колеса его

R=l

м; колесо

катится

по

прямолинейному

рельсу

без

сколь-

жения.

1) Определить

величину

и направление

ско-

рости v точки

М на ободе колеса втот

момент,

к аадачё~и.п.

когда

радиус

точки

М составляет

с направлением

скорости va

уголтс/2-f-a-

2)

Построить годограф

скорости

точки

М и определить

скорость

г^

точки, вычерчивающей

годограф.

Ответ:

1) Скорость

v — 40 cos ^ м/сек

и направлена

по

пря-

мой

МА.

2) Окружность

p= 2t»0cosS, где

9 =-9"'

РаДиУса

г — ^ о

(см. чертеж);

t i 1 = | ~ = 4 0 0

м/сек2.

11.12 (334). Определить уравнения движения и траекторию точки

М

колеса

вагона радиуса ft.= 0,5

м, отстоящей от оси на расстоянии

а = 0,6 м и лежащей

в начальный

момент

на

0,1

мниже

рельса,

если

вагон

движется

по прямолинейному

пути

со скоростью

v = 1 0

м/сек. Найти также

моменты

времени, когда

эта

точка

будет

проходить

свое нижнее и верхнее

положения, и проекции ее скорости

на

оси Ох,

Оу вэти моменты времени. Ось Ох

совпадает

с рельсом,

ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки.

Ответ:

Удлиненная

циклоида

х = 10/—0,6 sin 20*; у = 0,5 - 0,6 cos 20£

при

nk

сек— нижнее

положение

точки,

vx=

— 2 м/сек,

i/j, = 0;

t=TQ

при t=£(\-\-2k)

сек —верхнее

положение

точки,

г»л = 22

м/сек,

Vy= 0, где

& = 0,

1, 2,

3,..,

11.13. Точка участвует одновременно вдвух взаимно перпендику-

лярных затухающих колебаниях согласно уравнениям

X = Ае'ш

cos (kt + 8),

у = Ae'ht

sin (kt -\- e).

Определить проекции скорости точки на оси

декартовых и полярных

координат и найти модуль скорости точки

Ответ: 1)

vx

=

— Аё~ы

[h cos (kt +

e)+

k sin (kt-\-e)],

vy

=

— Ae'"'

[h sin (A* -f

e) — Acos (A* -f e)];

2)

ty =

—Л/»-*

p = i4Ag-";

3)

v=A

Yh* -f

А2 <ГЛ' =

г.

г = з а, • <p =

k t ,

z = vt.

Найти проекции скорости точки М на оси

цилиндрической

системы

координат,

уравнения

движения

точки

Мь

описывающей

годограф

скорости, и проекции скорости точки

Mi.

Ответ:

1)

vr~Q,

v9 =

ak,

vs =

r,

2)

г, — ak,

<pi=

|

+

kt>

z* —r>

3)

vri =

0,

v9l=ak\

vZl=0.

11.16. Точка М движется

по окружности

согласно уравнениям

o

kt

kt

r

2acos

<p

(r, <p — полярные координаты). Найти

проекции скорости точки М на

оси полярной системы координат, уравнения

движения точки Mi, опи-

сывающей

годограф

скорости, и проекции скорости точки

yWj.

Ответ: 1) vr— —aksin у,

vv —ak cos у ;

2) ri=ak,

Ф! = у + «;

3) vri = 0,

4)<H = ak\

11.17. Точка

движется по линии пересечения

сферы

и цилиндра

согласно

уравнениям

г.

kt

.

' kt

(г, <р, 9 —сферические координаты;

см, задачу

10.22).

Найти

модуль

и проекции

скорости точки на оси сферической

системы

координат.

г,

п

Rk

kt

Rk

Г

Ответ:

v

r = 0 ,

v v=T C

0 S

Y t

Vi==\'

W

=

=

F

11.18

(335). Найти в полярных координатах

(г, ср)уравнение кри-

вой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга

а

на неподвижную

точку (угол между направлением скорости инаправ-

лением на точку), если дано: а

и rf_0=r0.

Корабль принять за точку,

движущуюся на плоскости, и за полюс

взять

произвольную

непо-

движную

точку

в этой плоскости. Исследовать

частные

случаи

а= 0,

и/2 и те.

Ответ:

Логарифмическая

спираль

г = гое~ч>с1еа.

При а=тс/2

окружность

г = г0; при а = 0 или а. = %прямая.

§

12. Ускорение

точки

12.1

(336). Поезд движется

со скоростью 72 км/час,

при тормо-

жении

он получает

замедление,

равное

0,4

м[сек2.

Найти, за

какое

время

до прихода

поезда на станцию и на каком от нее расстоянии

должно

быть начато торможение.

Ответ:

50 сек; 500 м.

12.2

(337). Копровая баба, ударив

сваю, движется

затем

вместе

с ней в

течение 0,02 сек до

остановки,

причем

свая

углубляется

в

землю

на 6

см. Определить

начальную

скорость движения

сваи,

считая

его равнозамедленным.

Ответ:

6 м/сек.

12.3

(338).

Водяные

капли

вытекают

из отверстия

вертикальной

трубочки через

0,1 сек одна после

другой

и

падают

с

ускорением

9$1 см/сек2. Определить расстояние между

первой и второй каплями

через

1 сек после

момента

истечения первой капли.

Ответ:

93,2 см.

12.4

(339). Движение

трамвая по прямолинейному пути в

период

разгона

характеризуется

тем, что проходимый

трамваем

путь пропор-

ционален кубу

времени; в течение

первой

минуты

трамвай

прошел

путь 90 м. Найти скорость

и ускорение в моменты *= 0 и t = 5 сек.

Построить

кривые

расстояний, скоростей

и ускорений.

12.5 (341). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км]час,

определить

замедление его

при

посадке

на

пути / = 1200

м, считая,

что

замедление

постоянно.

Ответ:

w = 5,15 м/сек2.

12.6 (342). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под-

нятия на

ту же высоту требуется втрое

больше

времени, чем на

падение.

Сколько ударов

она

делает

в

минуту,

если

считать,

что свободное падение копровой бабы

совершается

с ускорением

9,81

м/сек2?

Ответ:

21

удар.

12.7

(344).

Ползун движется по прямолинейной направляющей

с ускорением wx = — n2sm-^-t

м/сек2.

Найти уравнение

движения

12.8

(343).

Поезд, имея начальную скорость

54 км/час,

прошел

600

м

в

первые

30

сек.

Считая

движение поезда равнопеременным, ^

определить

скорость

и ускорение поезда в конце 30-й секунды,

если

рассматриваемое

движение

поезда

происходит

на

закруглении

радиуса

R—

1

км.

Ответ:

г)= 25 м/сек; w =

0,708

м/сек2.

12.9 (372). При отходе от

станции

скорость

поезда

возрастает

равномерно

и

достигает

величины

72

км/час

через

3

мин

после

отхода;

путь

расположен, на закруглении

радиуса

800

м.

Определить

касательное, нормальное и полное ускорения поезда через

2

мин

после момента

отхода

от

станции.

1

2

Ответ:

wt

= -^ м/сек2; wn

=

-g- м/сек2; w — 0,25

м/сек2.

12.10 (345). Поезд движется равнозамедленно

по дуге

окружно-

сти

радиуса

/?= 800 м и проходит

путь

s = 800

м, имея

начальную

скорость

г>0= 54

км/час

и

конечную

г»= 18 км/час.

Определить

полное ускорение поезда в начале и в

конце

дуги,

а

также

время движения по

этой

дуге.

Ответ:

Щ — 0,308

м/сек2;

w = 0,129

м/сек2;

7 = 80

сек.

12.11 (346). Закругление трамвайного

к задаче i2.ii.

пути

состоит

из двух

дуг

радиусов

pj =

= 300

м

и р2

= 400

м. Центральные углы а 1 = а

2 = 60°. Построить

график

нормального

ускорения

вагона,

идущего

по закруглению

со

скоростью

г> = 36

км/час.

12.12

(348). Точка движется по дуге окружности радиуса R=

20

см.

Закон ее

движения по траектории: s = 20sinjt£

(t — в

секундах, s —

нормальное

и полное ускорения

точки в момент t = b сек. Построить

также график

скорости,

касательного

и нормального ускорений.

ч

Ответ:

Скорость

равна

по величине

20п

см/сек и направлена

в сторону,

противоположную

положительному

направлению

отсчета

дуги s; wt

— 0; w=wn

= 20n,2

см/сек2.

12.13

(349). Прямолинейное движение точки происходит по закону

s = -S- (at -f e~ai),

где

а

и g — постоянные

величины. Найти

началь-

ную скорость

точки,

а также

определить

ее

ускорение

в функции

от

скорости.

Ответ:

vo

= 0; w-z=g—av.

12.14

(350). Движение точки

задано уравнениями

лт— 10cos2ftl r ,

j> = 10sin 2n-=-

о

о

(х,

у — в

сантиметрах,

t — в

секундах).

Найти

траекторию

точки,

величину

и направление

скорости,

а

также

величину и направление

ускорения.

Ответ:

Окружность

радиуса

10 см;

скорость

г> = 4я см/сек и

направлена

по касательной в

сторону

перехода

от

оси Ох

к оси О у

поворотом на 90°; ускорение w=

1,6л2

см/сек2

и направлено к центру.

12.15 (355). Уравнения движения

пальца кривошипа дизеля в пе-

риод пуска

имеют вид

х — 75 cos it2,

у = 75 sin it2

(х,

у

— в санти-

метрах, t — в

секундах).

Найти

скорость,

касательное и

нормальное

ускорения

пальца.

Ответ:

v = 6O0t см/сек;

wt

= 600 см/сек2; wn

= 4800t2

см[сек\

12.16 (352). Движение точки задано уравнениями

где

а и k — заданные

постоянные величины.

Найти

уравнение

траектории,

скорость

и ускорение

точки как

функции

радиуса-вектора

г =

У ^

2

Ответ:

Г

у

2

2

22

2

;

у

w =

k2r.

Гипербола

х

—_у

= 4а

u = £r;

12.17

(356). Найти

ускорение

и

радиус

кривизны

траектория

точки в

момент

^ = 1

сек, если

уравнения движения точки имеют вид

х =

4 sin ^

t>

У — 3 sin у с

К задаче 12.19.

К задаче 12.20.

Ответ:

Эллипс . „ 0 8 ~|~^j8 ==1> •У=80Л см/сек;

о>= 1600л2 см/сек*; р= 4 см.

12.21.

На проволочной

окружности

радиуса

10 см

надето

колечко М;

через

него

проходит

стержень

ОА,

который

равномерно

вращается

задаче 12.21.

вокруг

точки О, лежащей

на той же окружности;

угловая

скорость стержня

такова,

что он поворачивается на прямой

угол в 5 сек. Определить

скорость v

и ускорение w колечка.

Ответ:

v =

2тг см/'сек; w = 0,4п:2

смjсек1.

12.22 (367).

Движение

снаряда

задано уравнениями

уравнениям

х = dQOt, у = 400£ — Ы* (t — в секундах, х, у — в мет-

рах). Найти:

1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту

и дальность

обстрела, 3) радиус

кривизны траектории

в начальной

и в наивысшей точке.

Ответ:

vo = 500 м/сек; w$=

10 м/сек%, ft = 8 KM;

s = 24 км;

рв=41,67 км; р= 9 км,

12.24 (370). Из орудия береговой артиллерии с высоты Л= 30 м

над уровнем моря

произведен

выстрел под углом ао = 45° к гори-

зонту с начальной

скоростью

снаряда v<s== 1000 м/сек. Определить,

на каком расстоянии от орудия снаряд

попадет в цель, находящуюся на

уровне моря. Сопротивлением воздуха

пренебречь.

X=at, у=Щ — %-.

К задаче 12.24.

^

Ответ: wt = —

~

; wn

= ~, где v—скорость точки.

12.26 (373). Точка движется по винтовой линии согласно уравне-

ниям j*r=2cos4^ y =

2sin4t,

z =

2t, причем за единицу длины взят

Ответ:

r = aef

— логарифмическая спираль; v =

k ^

12.28. Движение точки задано

уравнениями

x=2t,

y = f

(t — в

секундах, х

и у — в сантиметрах).

Определить

величины и

направления

скорости и ускорения точки в момент времени £ = 1 сек.

Ответ: v=2V~2

см/сек; ВУ—2 см/сек*; (гГх)=45°, (щх) = 90°.

12.29. Построить

траекторию движения

точки, годограф скорости

и определить радиус кривизны траектории в начальный

момент, если

точка

движется согласно уравнениям

х — М,

y~t*

(t—в

секундах, х и у — в сантиметрах).

Ответ:

Уравнение траектории у = ^—кубическая парабола;годо-