Теоретические основы электротехники-1

314 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

ýòîì xâõ стремится к бесконечности пропорционально 0, т. е. в пределе цепь будет вести себя как индуктивное сопротивление. Так как в числителе и знаменателе при 0 остаются только члены с высшей степенью 0, то рассмотренные предельные случаи подтверждают сделанное выше заключение о том, что наибольшие степени числителя и знаменателя могут различаться в ту или иную сторону только на единицу.

Приведенные свойства входного реактивного сопротивления цепей, состоящих из чисто реактивных элементов, помогают правильно строить частотные характеристики таких цепей. Примеры частотных характеристик, где показаны все четыре возможных варианта расположения нулей и полюсов при 0 0 è 0 , приведены на рис. 6.14–6.17.

Имея частотные характеристики x(0) èëè b(0) отдельных участков цепей, можно графически суммировать x(0) ветвей и участков цепи, соединенных последовательно, и b(0) ветвей и участков цепи, соединенных параллельно. Пример такого графического построения показан на рис. 6.18 для схемы, приведенной на рис. 6.14.

6.7. Частотные характеристики цепей в общем случае

Полученные в предыдущем параграфе частотные характеристики цепей L, C без потерь могут быть использованы для выяснения характера частотных характеристик реальных электрических цепей при наличии активных сопротивлений. Мы видели (см. § 6.5), что при резонансе токов в случае g 0 реактивное сопротивление контура равно нулю, а не бесконечности, как при g 0. Поэтому вид частотных характеристик вблизи резонансных частот, при которых наступает резонанс токов, будет существенно отличаться от вида этих характеристик для случая g 0. Активное сопротивление всей цепи в общем случае оказывается функцией частоты. Все эти обстоятельства осложняют исследование частотных зависимостей. Характер зависимости z, r, x îò 0 при наличии конечного активного сопротивления при большой добротности элементов цепи показан на рис. 6.19. При этом можно под добротностью катушек при резонансной частоте 00 понимать отношение ее индуктивного сопротивления к ее активному сопротивлению, т. е. QL 00L/rL.

Соответственно, под добротностью конденсатора при частоте 00 можно понимать отношение его емкостного сопротивления к его активному сопротивлению, т. е.

QC 1/(00CrC).

Общий метод определения резонансных частот остается и в этом случае тем же — необходимо написать выражение для комплексного сопротивления или комплексной проводимости цепи, выделить в них мнимую часть и приравнять к нулю коэффициент при j. Решая эти уравнения, определяем резонансные частоты цепи. Частотные характеристики z(0), 2(0), r(0), x(0), g(0), b(0), y(0) для заданной цепи взаимосвязаны, и в некоторых случаях достаточно знать лишь одну из перечисленных характеристик, чтобы можно было определить остальные. Этот весьма важный вопрос будет рассмотрен в гл. 11.

В заключение рассмотрим резонансные явления в цепи, изображенной на рис. 6.20. Ðèñ. 6.19

Комплексная проводимость этой цепи имеет выражение

Представляет интерес частный случай, когда r1 r2 r LC. Разделим чис-

литель и знаменатель первого члена в выражении для b íà 02LC. Заметив, что r12 r22 L/C, получим

При любом значении частоты 0 реактивная проводимость равна нулю, т. е. резонанс в цепи имеет место при любой частоте. Нетрудно убедиться, что при этом сопротивление всей цепи остается при всех частотах неизменным и равным r.

При напряжении на зажимах цепи u Um sin 0t òîê i1 â êà-

316 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Следовательно, 21 22 + /2, и ток в катушке совпадает по фазе с напряжением на конденсаторе, т. е. энергия в катушке и энергия в конденсаторе одновременно достигают максимума и одновременно убывают до нуля. Таким образом, в рассматриваемой цепи при резонансе совсем не совершается обмена энергией между катушкой и конденсатором, а в течение части периода происходит поступление энергии из внешнего источника одновременно в электрическое поле конденсатора и в магнитное поле катушки, а также на выделение теплоты в элементах с сопротивлениями r1 è r2. В другую часть периода энергия, возвращаясь одновременно из конденсатора и из катушки, преобразуется в теплоту в элементах с сопротивлениями r1 è r2. В то же время энергия продолжает поступать из внешнего источника, причем она также поглощается в виде теплоты в элементах с сопротивлениями r1 è r2.

Из этого примера видно, что энергетические процессы при резонансе в сложных цепях протекают значительно сложнее, чем это было в простых цепях с последовательным или параллельным соединением участков, рассмотренных в § 6.2 и 6.4.

Весьма важным является случай, когда в цепи, изображенной на рис. 6.20, можно принять r2 0. Это весьма часто встречается в колебательных контурах в радиотехнических устройствах, так как потерями в конденсаторе можно пренебречь по сравнению с активной мощностью в ветви с катушкой.

Последней формулой обычно пользуются для расчета сопротивления такого контура. При большой добротности Q эквивалентное сопротивление контура значительно превосходит его волновое ñîïðотивление .

Рассматриваемая цепь при r1 r2 LC обладает замечательным свойством

постоянства активной проводимости, и в ней отсутствует реактивная проводимость при всех частотах, в то время как каждая ветвь этой цепи имеет величины g1(0), g2(0) è b1(0) è b2(0), зависящие от частоты. При данных условиях эти ветви можно называть в з а и м н о д о п о л н я ю щ и м и д р у г д р у г а ц е п я м и.

Нетрудно заметить, что дополняющей цепью для цепи с параллельно соединенными участками r è C (рис. 6.21) будет включенная с ней последовательно цепь с параллельно соединеннымè óчастками r, L, если обеспечить условие r1 r2 r LC. При этом суммарное сопротив-

ление цепи будет активным, неизменным и равным r на всех частотах. Действительно, свойства всей цепи, изображенной на рис. 6.21, должны быть аналогичными свойствам рассмотренной нами цепи, изображенной на рис. 6.20, так как эти цепи дуальны, что хорошо видно из рис. 6.22.

Взаимно дополняющие цепи могут быть использованы для обеспечения неизменности выходного или входного сопротивлений. Для этой

цели к заданной цепи необходимо присоединить Ðèñ. 6.22 дополняющую ее цепь.

6.8. Резонанс в индуктивно-связанных контурах

Определим резонансные частоты и частотные характеристики в цепи, изображенной на рис. 6.23. В радиотехнике и в технике связи часто используют явление резонанса в индуктивно-связанных колебательных контурах с большой добротностью. В связи с этим для упрощения расчета пренебрежем активным сопротивлением вторичного контура. Собственные частоты контуров, при которых в них наступает резонанс, в случае отсутствия взаимной индукции равны

Имеем уравнения рассматриваемой цепи:

Условием резонанса напряжений будет равенство нулю эквивалентного реактивного сопротивления, т. е. x1ý 0, откуда

Разделив на (0L10L2) обе части этого выражения, получим

(1 012 02 )(1 022 02 ) k2 ,

ãäå k2 M 2/(L1L2) есть квадрат коэффициента связи, причем k2 < 1.

318 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Если оба контура предварительно были настроены на одну частоту 01 02

íûì r1, à òîê I1 достигает максимальных значении: I1 U1/r1.

Ïðè 0 00 имеем x1ý è òîê I1 0. Это можно пояснить следующим образом: при частоте 00 имеет место резонанс во вторичном контуре x2 0L2 –

– 1/(0Ñ2) 0, и при условии r2 0 получается z2 0. Как видно из уравнения для второго контура, при конечном значении тока I 2 ЭДС взаимной индукции –j0MI1 должна быть равна нулю, т. е.

I1 0. Òîê I 2 устанавливается таким, чтобы ЭДС взаимной индукции –j0MI 2 со стороны второго контура уравновесила приложенное к первому контуру напряжение, что видно из первого уравнения при I1 0. Этот случай по своему характеру аналогичен резонансу токов в контуре без потерь.

Таким образом, резонансная кривая I1 F1(0) цепи, состоящей из двух связанных контуров с малым затуханием, имеет два максимума и один минимум.

6.9. Практическое значение явления резонанса в электрических цепях

Явление резонанса в электрических цепях весьма широко используется в современной электротехнике, и особенно в технике высокой частоты.

Генераторы высокой частоты, применяемые в радиотехнике, содержат в себе в качестве основного элемента колебательный контур, колебания тока и напря-

жения в котором происходят с резонансной частотой или с частотой, весьма близкой к резонансной. Антенны передающих и приемных радиостанций вместе с включенными в их цепь катушками или конденсаторами также представляют собой колебательные контуры, настраиваемые в резонанс с частотой колебаний тока в ламповом генераторе передающей станции и с частотой колебаний напряженностей поля в электромагнитной волне приемной станции. Радиоприемники содержат в себе настраиваемые в резонанс колебательные контуры. Настройка в резонанс на частоту одной из передающих радиостанций колебательных контуров в радиоприемнике, в том числе и контура антенны, обеспечивает возможность выделить в приемнике эту передающую радиостанцию из числа многих работающих одновременно.

Применение этой же идеи в проволочной междугородной телефонной связи позволяет осуществить так называемую многократную телефонию, т. е. передать по одной паре проводов одновременно несколько разговоров. При этом на конечных пунктах те или иные колебания выделяются с помощью резонансных устройств и подаются к соответствующим приемникам.

Âтаких случаях эти устройства несколько усложняются по сравнению с рассмотренными ранее простейшими цепями, так как здесь ставится более сложная задача — выделить целую полосу частот, отвечающих диапазону частот звуковых колебаний. Обычно каждому телефонному разговору, так же как каждой передающей станции при радиопередаче, отвечает определенная высокая частота, называемая несущей частотой. На колебания тока с этой частотой накладываются колебания со звуковой частотой. Этот процесс, называемый модуляцией колебаний, будет в дальнейшем рассмотрен подробно. Сейчас существенно отметить, что около каждой несущей частоты образуется полоса частот, отвечающая диапазону частот звуковых колебаний, и оконечные устройства в телефонной передаче должны выделять определенную полосу частот, прилегающую к той или иной несущей частоте. Такие устройства называют электрическими фильтрами. В дальнейшем ознакомимся с принципом их устройства и работы.

Âрадиоприемных устройствах точно так же существенно обеспечить пропускание и усиление в одинаковой мере всей полосы частот, соответствующей диапазону звуковых частот, чтобы не было искажения передачи. С этой целью может быть использована система из двух связанных контуров, имеющая резонансную кривую, показанную на рис. 6.24. Подбирая надлежащим образом коэффициент связи и затухание контура, можно получить кривую с малым изме-

Явление резонанса используется в радиотехнике для измерения частоты колебаний или отвечающей ей длины электромагнитной волны с помощью измерительных приборов, называемых волномерами. Волномер содержит колебательный контур с градуированными индуктивной катушкой и конденсатором и прибором, указывающим ток в контуре. Колебательный контур волномера связывается индуктивно с контуром устройства, в котором необходимо измерить частоту тока. При плавном изменении емкости волномера добиваются максимума тока в контуре волномера и по значению индуктивности и емкости контура волномера судят о частоте.

320 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Явление резонанса широко используется и в других электроизмерительных устройствах, а также в устройствах электроавтоматики.

Компенсация отстающей реактивной составляющей тока в мощных приемных устройствах электроэнергетических систем с помощью подключаемых параллельно этим устройствам конденсаторов или перевозбужденных синхронных двигателей, по сути дела, также представляет собой мероприятие, при котором достигается резонанс. Но в этом случае явление резкого уменьшения общего тока по сравнению с токами в отдельных ветвях, характерное для резонанса в контурах с малыми потерями энергии, не имеет места, так как эквивалентная активная проводимость таких устройств велика по сравнению с их эквивалентной индуктивной проводимостью.

Все перечисленные примеры относятся к случаям, когда явление резонанса в электрической цепи используется для практических целей. Однако в тех случа- ях, когда явление резонанса в электрической цепи возникает, не будучи специально предусмотренным, оно может привести к нежелательным последствиям. Особенно опасен в этом отношении резонанс при последовательном соединении индуктивных и емкостных элементов цепи при малом активном сопротивлении ее, так как при этом на индуктивных и емкостных элементах могут появиться весьма высокие напряжения. Подобные явления могут, например, возникнуть при подключении к зажимам генератора или трансформатора длинной линии передачи или кабеля, не замкнутых на другом их конце на приемник энергии. Генератор и трансформатор обладают индуктивностью, а линия и кабель обладают емкостью и индуктивностью. При отсутствии активной нагрузки на конце линии затухание такой цепи невелико, и легко могут появиться перенапряжения, если частота близка к резонансной. Следует отметить, что резонанс в подобных цепях может возникнуть и не для основной гармоники, а для высших гармонических, если они содержатся в кривой ЭДС генератора или в кривой приложенного к зажимам цепи напряжения.

Глава седьмая

Расчет трехфазных цепей

7.1. Многофазные цепи и системы и их классификация

М н о г о ф а з н о й с и с т е м о й э л е к т р и ч е с к и х ц е п е й называют с о в о - к у п н о с т ь э л е к т р и ч е с к и х ц е п е й, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электрической энергии. Отдельные электриче- ские цепи, входящие в состав многофазной электрической цепи, называются фазами. Число фаз многофазной системы цепей будем обозначать через m.

Обычно электрические цепи, образующие многофазную систему цепей, тем или иным способом электрически соединяют друг с другом. При этом многофазную систему электрических цепей будем кратко называть м н о г о ф а з н о й ц е п ь ю. В частности, при m 3 имеем трехфазную цепь.

Совокупность ЭДС, действующих в фазах многофазной цепи, а также совокупность токов и напряжений в многофазной цепи называют м н о г о ф а з н о й с и с т е м о й, соответственно, ЭДС, т о к о в и н а п р я ж е н и й.

Трехфазные генераторы выполняют так, как это изложено в § 4.1. На рис. 4.2 и 4.3 в пазах статора показаны сечения проводов, принадлежащих обмотке одной фазы. Обмотки двух других фаз располагают в свободных пазах так, что оси всех трех обмоток в двухполюсной машине составляют друг с другом угол 2 /3, а при числе пар полюсов, равном p, — óãîë 2 /(3p).

Рассмотрим основные признаки классификации многофазных систем ЭДС, напряжений и токов.

Различают системы симметричные и несимметричные.

С и м м е т р и ч н о й называют многофазную систему ЭДС, в которой ЭДС в отдельных фазах равны по амплитуде и отстают по фазе друг относительно друга на углы, равные q 2 /m, ãäå q — любое целое число.

Для трехфазной цепи (m 3) ïðè q 1 получаем систему трех равных по амплитуде ЭДС, сдвинутых друг относительно друга на угол 2 /3 (рис. 7.1, à):

e1 E m sin(0t Α; e2 E m sin(0t Α 2 3); e3 E m sin(0t Α 4 3).

Соответственно, для действующих ЭДС в комплексной форме можем написать

j 2

Обозначим e 3 a. Имеем

a3 ej2 1; a4 a è 1 a a2 0.

Соответственно, симметричную трехфазную систему ЭДС можно записать в виде

322 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Как видно из рис. 7.1, à, ЭДС в фазах проходят через максимум в порядке номеров фаз (1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .). Такую систему называют с и м м е т р и ч н о й с и с - т е м о й п р я м о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и.

Ðèñ. 7.1

Приняв q 2, получим с и м м е т р и ч н у ю с и с т е м у о б р а т н о й п о с л е - д о в а т е л ь н о с т и (рис. 7.1, á), в которой ЭДС проходят через максимум в обратном порядке номеров фаз (1, 3, 2, 1, 3, 2, Π). Ее можно написать в виде

Приняв q 0, получим с и м м е т р и ч н у ю с и с т е м у н у л е в о й п о с л е - д о в а т е л ь н о с т и (рис. 7.1, â), в которой все три ЭДС проходят через максимум одновременно. Ее можно записать в виде

Отметим важное положение, что для симметричной системы с прямой или

k 1

Все сказанное выше относится в равной степени к симметричным системам напряжений или токов.

Н е с и м м е т р и ч н ы м и системами называют многофазные системы, не удовлетворяющие указанным условиям симметрии.

Нередко фазы обозначают буквами A, B, C èëè a, b, c. В таком случае при прямом следовании ЭДС в фазах проходят через максимум в порядке букв алфавита (A, B, C, A, B, C, ...).

Другим важным признаком классификации является зависимость или независимость мгновенной мощности многофазной системы от времени. Ур а в н о - в е ш е н н ы м и называют многофазные системы, мгновенная мощность которых не зависит от времени, и н е у р а в н о в е ш е н н ы м и — системы, мгновенная мощность которых является функцией времени.

Уравновешенность является весьма важным качеством многофазной системы. Так, например, момент на валу многофазного генератора при этом остается постоянным, а не пульсирует с частотой 20, как это имело бы место в однофазном генераторе, мгновенная мощность которого, как мы видели в § 4.7, изменя-