Теоретические основы электротехники-1

ется с частотой 20. Покажем, что многофазная система при симметрии ЭДС и при равномерной нагрузке фаз, т. е. при симметрии также и токов, является уравновешенной, если число фаз m больше двух (m > 2). Для мгновенной мощности в k-фазе имеем выражение

m

Сумма мгновенных мощностей во всех фазах равна p pk . Сумма вторых

k 1

членов в выражении для pk равна нулю при m > 2, так как, изображая слагаемые этой суммы векторами, получим симметричную звезду. Таким образом, при m > 2 мгновенная мощность всей многофазной системы оказывается равной

m

p EI cos 2 mEI cos 2 P const,

k1

ò.е. не зависит от времени, и, следовательно, система уравновешена. Заметим, что при несимметрии ЭДС можно так подобрать неравномерную нагрузку фаз, что система также будет уравновешенной. Но при этом может оказаться, что в отдельных фазах получим отрицательные активные сопротивления приемника,

ò.е. в этих фазах приемника необходимо включить источники энергии. Отметим, что нашедшая на практике применение двухфазная несимметричная систе-

ма ЭДС со сдвигом фаз /2, как нетрудно показать, уравновешена при равномерной нагрузке фаз.

Перейдем теперь к вопросу о соединении многофазных цепей. Основными видами соединения являются соединение многоугольником и соединение звездой. Рассмотрим эти виды соединения для наиболее важного случая — для трехфазной системы.

На рис. 7.2 показан способ связывания фаз трехфазного генератора и приемника звездой. При этом начала обмоток фаз генератора объединяются в нейтральную точку 0 генератора. Провод, соединяющий нейтральные точки 0 генератора и 0 приемника, называют нейтральным проводом, а провода, идущие от концов фаз генератора к приемнику, — линейными проводами. Иногда соединение в виде звезды для трехфазной системы называют Y-соединением.

Ток в нейтральном проводе при симметрии токов в фазах равен нулю, и этот провод в таком случае можно было бы удалить. Поэтому при симметрии токов достаточно трех линейных проводов. В этом заключается достоинство соединения звездой, так как при отсутствии соединения между собой фаз потребовалось бы для каждой фазы иметь пару проводов — всего шесть. При несимметрии токов в фазах по нейтральному проводу протекает ток i0, амплитуда которого

324 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

обычно меньше амплитуды токов в линейных проводах. Поэтому сечение нейтрального провода, учитывая возможную несимметрию токов, достаточно взять несколько меньшим сечения линейных проводов.

На рис. 7.3 показано соединение фаз генератора и приемника треугольником. При этом в генераторе конец обмотки каждой фазы соединяется с началом обмотки следующей фазы. Иногда соединение треугольником называют -соеди- нением. Так как при симметрии ЭДС сумма фазных

Напряжения на зажимах отдельных фаз генератора или приемника называют ф а з н ы м и н а п р я ж е н и я м и, напряжения между линейными проводами — л и н е й н ы м и н а п р я ж е н и я м и. Токи в фазах генератора или приемника называют ф а з н ы м и т о к а м и, токи в линейных проводах — л и н е й н ы м и т о - к а м и.

Будем приписывать фазным величинам индекс «ф», а линейным — индекс «л». Рекомендуется выбирать положительные направления ЭДС, напряжений и токов так, чтобы соблюдалась определенная симметрия. Этому удовлетворяет, например, выбор положительных направлений

При соединении треугольником (рис. 7.3), наоборот, линейные напряжения равны соответствующим фазным напряжениям, а линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов:

i1 i21 i13 ; i2 i32 i21; i3 i13 i32 .

При синусоидальных токах и напряжениях для комплексных линейных напряжений при соединении звездой получим

U12 U 02 U 01; U 23 U 03 U 02 ; U 31 U 01 U 03

и для комплексных линейных токов при соединении треугольником

I1 I 21 I13 ; I 2 I 32 I 21; I 3 I13 I 32 .

В частном случае, когда системы напряжений и токов симметричны (рис. 7.4), имеем:

при соединении звездой

I ë I ô ; U ë 3U ô ;

при соединении треугольником

U ë U ô ; I ë 3 I ô .

Пользуясь полученными соотношениями, находим выражение для мощности трехфазной системы при симметрии и системы токов, и системы напряжений, справедливое как для соединения звездой, так и для соединения треугольником:

P 3U ô I ô cos 2 3U ë I ë cos 2. Аналогично, для реактивной мощности получим

Q3U ô I ô sin 2 3U ë I ë sin 2.

7.2.Расчет трехфазной цепи в общем случае несимметрии ЭДС и несимметрии цепи

Расчет трехфазной цепи может быть произведен любым изложенным в гл. 5 методом, так как трехфазная цепь представляет собой частный случай сложной цепи, в которой действует несколько источников ЭДС, поскольку каждый трехфазный генератор можно рассматривать как три источника фазных ЭДС.

Рассмотрим в виде примера расчет цепи, изображенной на рис. 7.5, причем для общности предположим, что как цепь, так и система ЭДС несимметричны. Так как цепь имеет только два узла, то естественно воспользоваться методом узловых напряжений. Узловое напряжение между узлами 0 и 0 будет определяться из формулы

При этом расчете предполагалось, что сопротивления фазных обмоток генератора равны нулю. Если этого условия нет, то эти сопротивления должны быть

учтены в величинах Z1ë, Z2ë, Z3ë.

При отсутствии сопротивлений обмоток ЭДС генератора равны фазным напряжениям на его зажимах, т. е.

и полученную формулу можно записать в виде

326 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

При отсутствии нейтрального провода следует принять Y0 0 и воспользоваться той же формулой для напряжения U 00' .

Если заданными являются линейные напряжения на зажимах генератора и отсутствует нейтральный провод, то можно воспользоваться найденной формулой, поступив следующим образом. Поскольку положение точки 0 генератора может быть произвольным, то совместим ее с точкой 1 (ðèñ. 7.5). Ïðè ýòîì U 01 U11 0, à U 02 U12 и, соответственно, U 03 U13 U 31 представляют собой два заданных линейных напряжения. Третье линейное напряжение определяется через них, так какU12 U 23 U 31 0. Подставляя указанные величины в формулу для U 00' U10' , получаем

Если приемник соединен треугольником (рис. 7.6), то, преобразуя его в эквивалентное соединение звездой, приводим задачу к предыдущей при отсутствии нейтрального провода. Определив раcсмотренным методом токи в линейных проводах, нетрудно найти фазные напряжения приемника в эквивалентной звезде и получить линейные напряжения на приемнике U1 2 , U 2 3 , U 3 1 êàê

разность фазных, например U1 2 U 0 2 U 0 1 .

электрической цепи соответствует определенная точка на плоскости диаграммы. Расположение этих точек на диаграмме должно быть таким, чтобы напряжение между двумя любыми точками электриче-

ники этих напряжений, и штриховыми линиями показаны векторы падений напряжений в линейных проводах и в нейтральном проводе. Рядом с топографи-

ческой диаграммой показаны векторы тока, ориентированные соответственно направлению векторов напряжения на топографической диаграмме. При построении предполагалось, что как сопротивления проводов, так и сопротивления фаз приемника носят индуктивный характер. Топографическая диаграмма дает наглядное представление о значении и фазе напряжения между любыми двумя точками цепи.

Если между проводами или между фазами приемника имеется взаимная индукция, она может быть учтена с помощью метода, изложенного в § 5.18. Учет наличия взаимной индукции между проводами необходим в длинных линиях передачи или при очень больших токах даже в коротких проводах, подводящих ток к мощным приемникам, например к трехфазным электрическим печам. При несимметричном расположении проводов взаимная индуктивность между ними различна для разных пар проводов, что приводит к своеобразному явлению переноса мощности из одной фазы в другую. Учет наличия взаимной индукции между проводами трехфазной линии и рассмотрение связанных с ней явлений будут даны в последней части курса при изложении метода расчета параметров трехфазной линии. Явление взаимной индукции между фазами трехфазной цепи должно быть учтено также при наличии в цепи трехфазных электрических машин или трехфазных трансформаторов, в которых взаимная индукция между фазными обмотками осуществляется через общую магнитную цепь. У электри- ческих машин явление осложняется еще и тем, что в машине имеется вращающаяся часть — ротор. Все эти вопросы будут рассмотрены в конце настоящей главы при изложении так называемого метода симметричных составляющих трехфазной системы.

7.3. Получение вращающегося магнитного поля

Большим достоинством многофазных, в частности трехфазных, систем является легкость получения в р а щ а ю щ е г о с я м а г н и т н о г о п о л я. Это дает возможность создания большого класса трехфазных электрических машин переменного тока — генераторов и двигателей. На рис. 7.8 схематически изображены статор и ротор трехфазной машины с одной парой полюсов на фазу. В пазах статора условно в виде одного витка в каждом пазу показаны обмотки первой, второй и третьей фаз. Место, занимаемое обмоткой первой фазы, отмечено римскими

цифрами I и I около фигурных скобок. Положительное направление тока i1 в этой обмотке указано крестиками и точками. В таком случае положительное направление магнитной оси этой обмотки оказывается идущим по вертикали вверх, что отмечено стрелкой с

цифрой 1. Расположение обмоток второй и третьей Ðèñ. 7.8 фаз видно из рисунка. Магнитные оси обмоток смеще-

ны друг относительно друга на пространственный угол 2 /3. На рисунке показана картина магнитного поля, созданного током i1 первой обмотки. Магнитные линии замыкаются по пути, проходящему в теле ротора, в воздушном зазоре между ротором и статором и в статоре. Магнитное сопротивление определяется

328 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

в основном воздушным зазором, так как путь потока в статоре и роторе расположен в ферромагнитном материале. В таком случае распределение магнитной индукции в воздушном зазоре вдоль окружности статора имеет вид, показанный на рис. 7.9.

На рис. 7.9 окружность вдоль воздушного зазора распрямлена. Положение точки A в зазоре, в которой ищем индукцию, определим углом , отсчитываемым против часовой стрелки от магнитной оси первой обмотки. Распределение индукции носит ступенчатый характер вследствие наличия зубцов.

Индукция остается практически постоянной вдоль всего полюса данной обмотки, поскольку для всех трубок магнитной индукции равного сечения в воздушном зазоре будут одно и то же магнитное сопротивление и одна и та же МДС. Индукция спадает вдоль каждого паза, поскольку здесь убывает МДС.

Так как индукция в воздушном зазоре B( ) является периодической функцией угла , то ее можно разложить в ряд Фурье и выделить первую пространственную гармонику, которая также изображена на рис. 7.9. В дальнейшем будем интересоваться только этой первой гармоникой индукции. Пусть ток в первой обмотке меняется во времени по закону i1 Im cos 0t. Поскольку мы пренебрегли магнитными сопротивлениями ферромагнитных частей машины, то магнитное сопротивление не зависит от тока, и поэтому магнитная индукция будет изменяться пропорционально току. На основании всего сказанного можем для магнитной индукции в зазоре в точке A в момент времени t написать выражение

B1 Bm cos0tcos .

Пусть токи в обмотках образуют симметричную систему прямого следования, т. е. i2 Im cos (0t – 2 /3) è i3 Im cos (0t – 4 /3). Так как обмотки смещены в пространстве друг относительно друга на угол 2 /3, то та же точка A смещена по отношению к оси второй обмотки на угол + 2 /3 и по отношению к оси третьей обмотки — на угол + 4 /3. Поэтому составляющие индукции в той же точке A и в тот же момент времени t, созданные токами i2 è i3 в других обмотках, будут

B2 Bm cos(0t 2 /3)cos( 2 /3); B3 Bm cos(0t 4 /3)cos( 4 /3).

Вследствие уже принятого допущения о независимости магнитного сопротивления от намагничивающего тока можем воспользоваться принципом наложения и считать, что результирующая индукция в точке A в момент t есть сумма индукций, созданных токами в отдельных обмотках, т. е.

B B1 B2 B3 .

Преобразуя произведение косинусов в полусуммы косинусов разности аргументов и косинусов суммы аргументов, получаем

Пусть точка A перемещается в отрицательную сторону отсчета углов с угловой скоростью 0, ò. å. –0t + 0. В этой перемещающейся точке имеем

B 23 Bm cos (0t 23 Bm cos 0 const.

Так как в каждой неподвижной точке индукция меняется во времени, то полученный результат означает, что найденное значение индукции перемещается вместе с точкой A вдоль окружности зазора. Таким образом, результирующее магнитное поле вращается с постоянной угловой скоростью 0 по часовой стрелке, причем вдоль окружности статора индукция распределена по косинусоидальному закону с амплитудой 3 2 Bm. Такое поле называют к р у г о в ы м в р а щ а ю - щ и м с я п о л е м. Для изменения направления вращения поля необходимо изменить порядок следования фаз токов в обмотках статора.

В пазы ротора обычно укладывают обмотку, в которой вращающееся магнитное поле статора индуцирует токи, и взаимодействие токов ротора и статора создает вращающий момент.

Заметим, что магнитное поле, созданное током только в одной первой обмотке, называемое п у л ь с и р у ю щ и м, можно условно рассматривать как два вращающихся в противоположные стороны с угловой скоростью 0, òàê êàê

B1 Bm cos0tcos B2m cos(0t B2m cos(0t .

7.4. Разложение несимметричных трехфазных систем на симметричные составляющие

Любую несимметричную трехфазную систему ЭДС, напряжений или токов можно представить в виде суммы в общем случае трех симметричных трехфазных систем: нулевой, прямой и обратной последовательности, которые называют с и м м е т р и ч н ы м и с о с т а в л я ю щ и м и данной н е с и м м е т р и ч н о й т р е х ф а з н о й с и с т е м ы.

Рассмотрим, например, несимметричную трехфазную систему ЭДС E A , E B è EC (рис. 7.10). Фазы будем обозначать буквами A, B è C, так как цифровые индексы 0, 1 и 2 теперь будут заняты для обозначения симметричных составляющих. Пред-

ставим ЭДС E A , E B è EC в каждой фазе в виде суммы трех слагаемых и подчиним эти слагаемые условиям, чтобы первые из них образовывали в трех фазах симмет-

330 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Получаем

Ðèñ. 7.10

умножение на который комплексного числа соответствует увеличению аргумента этого комплексного числа на величину 2 /3, т. е. увеличению начальной фазы соответствующей синусоидальной величины на угол 2 /3.

Термин «симметричные составляющие» относят не только к симметричным

сумму на три.

Для получения E1 следует, оставив первое равенство (*) без изменения, умножить второе равенство на a и третье на a2, затем сложить три полученных равенства и разделить сумму на три.

Для получения E 2 следует, оставив первое равенство (*) без изменения, умножить второе равенство на a2 и третье на a, затем сложить три полученных равенства и разделить сумму на три.

Поступая таким образом, находим

ной системы. Для построения использованы формулы (**).

Аналогичные рассуждения можно привести и по отношению к несимметрич- ным системам напряжений и токов.

Из первого равенства (**) и построения на рис. 7.10 видно, что нулевая составляющая отсутствует, если сумма рассматриваемых синусоидальных вели- чин всех трех фаз равна нулю. Поэтому система линейных напряжений не содержит нулевой составляющей. Также не содержит нулевой составляющей система линейных токов при отсутствии нейтрального провода. При наличии нейтрального провода по нему протекает только утроенная нулевая составляющая несимметричной системы линейных токов.

7.5. О применении метода симметричных составляющих к расчету трехфазных цепей

Для расчета несимметричных режимов в линейных трехфазных цепях может быть использован метод симметричных составляющих, так как он сводит сложную задачу при наличии несимметрии ЭДС, токов и напряжений к нескольким более простым задачам расчета той же цепи при симметричных режимах. Особенно ценным этот метод становится, когда сопротивления цепи зависят от характера несимметрии токов, т. е. сопротивление цепи имеет разные значения для различных симметричных составляющих.

Наиболее важным случаем, когда это имеет место, является трехфазная электрическая цепь, содержащая вращающиеся электрические машины — генераторы или двигатели. Обозначим через Z0, Z1 è Z2 комплексные эквивалентные сопротивления некоторого элемента цепи для нулевой, прямой и обратной составляющих.

Во вращающихся трехфазных машинах магнитное поле, создаваемое системой токов прямой последовательности, вращается в одном направлении с ротором, а поле, вызываемое системой токов обратной последовательности, вращается в противоположном направлении. Это приводит к тому, что для машины Z1 Z2, так как реакция ротора на цепь статора оказывается для прямой и обратной последовательности различной. Токи нулевой последовательности не создают вращающегося поля, и пути потоков, вызванных этими токами, существенно отличаются от путей потоков, вызванных токами прямой и обратной последо-

332 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

вательности. Потоки, созданные токами нулевой последовательности, одновременно во всех трех фазах направлены к ротору или от него и вынуждены замыкаться от ротора к статору по воздуху в торцевых частях машины. Поэтому сопротивление нулевой последовательности Z0 машины существенно отличается от сопротивлений Z1 è Z2. Таким образом, для симметрично (в конструктивном отношении) устроенной машины имеем

Z1 Z 2 Z 3 .

Если пренебречь нелинейностью цепи, возникающей вследствие насыщения машины, то, пользуясь принципом наложения, расчет цепи можно вести методом симметричных составляющих. Расчет сопротивлений Z1, Z2 è Z0 по конструктивным параметрам машины не представляет особого труда, так как эти сопротивления определяются для симметричных режимов; в частности, величины Z1 è Z2 рассчитываются при круговом вращающемся магнитном поле. Расчет же сопротивлений фаз при действительных несимметричных токах в обмотках оказывается сложным, так как вращающееся поле при этом не является круговым и, кроме того, сами эти сопротивления сложным образом зависят от характера несимметрии токов.

Наиболее резкая несимметрия токов в цепях с вращающимися машинами наблюдается при коротких замыканиях в цепи. Поэтому метод симметричных составляющих получил наиболее широкое распространение при расчете токов короткого замыкания в электрических системах. Отметим важное обстоятельство, что если электрическая цепь симметрична, т. е. отдельно для каждой симметрич- ной составляющей сопротивления всех фаз одинаковы, то токи нулевой последовательности определяются только ЭДС нулевой последовательности, токи прямой последовательности — только ЭДС прямой последовательности и токи обратной последовательности — только ЭДС обратной последовательности. Таким образом, в симметричных цепях расчет для каждой последовательности можем вести независимо.

Рассмотрим простой случай, когда симметричный генератор с обмотками, соединенными в звезду, имеет нейтральную точку, соединенную с землей через сопротивление Z00, причем в последнее включается и сопротивление протекания тока в земле. Система фазных ЭДС генератора вследствие симметрии его устройства содержит только одну симметричную составляющую прямой последо-

места короткого замыкания симметрична и имеет эквивалентные сопротивления Z0, Z1 è Z2 для составляющих нулевой, прямой и обратной последовательностей, причем, как было сказано, Z0 Z1 Z2. У места короткого замыкания (рис. 7.11) система фазных напряжений (U A ,U B èUC ) относительно земли, а также и система токов (I A , I B è IC ) при коротком замыкании несимметричны. Разложив их на симметричные составляющиеU 0 ,U1,U 2 è I 0 , I1 è I 2 , можем написать

Эти уравнения и служат для расчета токов короткого замыкания при любом характере несимметричного короткого замыкания — одной фазы на землю, между двумя фазами или двух фаз на землю.