Теоретические основы электротехники-1

8. Составляющие напряженности электрического поля в точке À, принадлежащей обоим шарам (рис. Р1.43 à), равны:

<горизонтальная: 3 (r cos + r cos 1) 3d const,

<вертикальная: 3 (r sin – r sin 1) 0,

òàê êàê r sin r sin 1. Следовательно, поле в общем для шаров объеме однородное и E 3d.

Ðèñ. Ð1.4

При малых d толщина заряженного слоя (рис. Р1.43 á) приближенно равна d cos , òàê ÷òî ïðè d 0 и на поверхности шара размещается поверхностный заряд плотностью − d cos −m cos . При этом напряженность однородного

поля равна E −3m .

1.2. Электрическое смещение. Постулат Максвелла

ВОПРОСЫ

1. На поверхности S1 появляется связанный заряд, знак которого противоположен знаку заряда q. Среда с большей диэлектрической проницаемостью характеризуется большей поляризованностью, поэтому связанный заряд на поверхности S2 является положительным, тогда как на поверхности S3 он отрицательный. При изменении знака заряда тела знаки всех связанных зарядов также изменяются на противоположные.

3. Напряженность электрического поля больше в среде с меньшей диэлектриче- ской проницаемостью, тогда как электрическое смещение одинаково в обеих средах. Поэтому плотность линий вектора D в обеих средах одинакова, а плотность линий напряженности электрического поля различна: она меньше в среде с большей диэлектрической проницаемостью. Другими словами, сечение трубок потока вектора напряженности электрического поля меньше в среде с меньшей диэлектрической проницаемостью.

374 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

4. Электрические заряды в проводящей среде являются свободными, поэтому справедливо равенство Dd S2 0, так как индуцированный на внутренней

S2

поверхности проводящего тела заряд равен q1 –q, и полный свободный заряд внутри поверхности S2 оказывается равным нулю. На внешней поверхности проводящего тела образуется заряд q2 –q1 q, так что получаем Dd S1 q.

S1

5.В точке на границе двух диэлектриков связанный заряд возникает, если только нормальная к границе составляющая напряженности электрического поля претерпевает разрыв. Если на границе двух диэлектриков существует только касательная к ней составляющая поля, то связанный заряд отсутствует.

6.Линии вектора напряженности электрического поля подходят к поверхности проводника под прямым углом. Если одна из главных осей анизотропии вещества, окружающего проводящее тело, совпадает с направлением нормали к поверхности проводника, то векторы напряженности электрического поля и электриче- ского смещения имеют в точках поверхности одно и то же направление. В противном случае угол между векторами D è E не равен нулю.

УПРАЖНЕНИЯ

1. В этом случае составляющие векторов D è E связаны соотношениями Dx xxEx, Dy yyEy, Dz zzEz. Матрица диэлектрической проницаемости является диагональной.

При параллельном переносе осей координат тензор не изменяет своего вида, тогда как при повороте оси координат уже перестают совпадать с главными осями анизотропии; матрица тензора не будет диагональной: в общем случае все ее элементы не равны нулю.

4. Напряженность электрического поля на внутренней обкладке конденсатора,

возрастает в r ðàç.

6. Выделим малый участок границы раздела сред с диэлектрическими проницаемостями 1, 2 (рис. Р1.6) и охватим его замкнутой цилиндрической поверхностью, торцевые части которой параллельны участку S границы. Интеграл P d S – q по поверхности цилиндра

S

записываем как сумму интегралов по его торцевым S1, S2 и боковой Sá поверхностям. Учитывая, что P d S 0,

S6

получаем P1 d S P2 d S q . В пределах площадок

S1 S2

S1 è S2 вектор поляризованности сохраняется постоян-

ным, поэтому имеем (–Ð1 + Ð2)S –q , èëè Ð1 – Ð2

q /S −. Таким образом, поверхностная плотность связанного электрического заряда численно равна разности поляризованностей по обе стороны поверхности, разделяющей среды с различными диэлектрическими проницаемостями.

1.3. Виды электрического тока и принцип непрерывности электрического тока

ВОПРОСЫ

1.à) Это есть электрический ток проводимости, называемый током утечки. á) Движение заряженных частиц или тел в пустоте, жидкой или газообразной среде есть проявления тока переноса. В твердых телах протекает электрический ток проводимости (вариант â) либо ток электрического смещения (вариант ã).

2.При перемещении проводящего тела в неоднородном электрическом поле изменяется плотность электрических зарядов, распределенных на его поверхности. Это происходит только тогда, когда заряды перемещаются в объеме тела, т. е. если в теле протекает ток проводимости. Вследствие изменения электриче- ского поля в окружающем тело пространстве в нем должен протекать ток электрического смещения.

3.Внесение в пространство между обкладками конденсатора тела, выполненного из диэлектрика, приводит к поляризации последнего, при которой в нем возникает ток электрического смещения. При внесении проводящего тела в его объеме под действием электрического поля происходит перемещение электри- ческих зарядов, что означает протекание электрического тока проводимости.

4.При изменении расстояния между обкладками конденсатора изменяется напряженность электрического поля, что свидетельствует о протекании тока электрического смещения в конденсаторе. С другой стороны, изменение расстояния между обкладками означает изменение емкости конденсатора и заряда на его обкладках, что говорит о протекании электрического тока проводимости в подсоединенных к обкладкам конденсатора проводах. Возникающий в проводах ток проводимости переходит в ток электрического смещения в области между обкладками конденсатора.

376 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

7. При перемещении электрического заряда вблизи незаряженного проводящего тела индуцированные на его поверхности заряды непрерывно изменяют свое распределение, что может происходить если в теле протекает электрический ток проводимости.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Направление тока электрического смещения совпадает с направлением вектора электрического смещения в этой точке.

3. Записывая составляющие вектора электрического смещения в центре окруж-

окружности вращается с угловой скоростью 0 в том же направлении, что и заряд q.

4. Зависимость Jñì (t) находим с помощью соотношения Jñì (t) dD. Для вариан- dt

òà â получаем на первом участке линейного изменения электрического смещения Jñì(t) k const; на втором участке имеем Jñì(t) – D0 exp (– t).

5. Вектор электрического смещения имеет единственную составляющую, рав-

t

íóþ Dx J ñì (t)dt Dx (0).

0

Для варианта à получаем D(t) – (Jm/0) cos 0t + D(0).

ЗАДАЧИ

1. В силу симметричного растекания тока плотность тока проводимости в точке на расстоянии r от оси жилы равна J(r) E(r) i/2 rl, ãäå i — ток проводимости между жилой и оболочкой кабеля. Записывая напряжение между жилой и оболочкой

находим ток проводимости (называемый иногда током утечки)

Плотности тока при r R1 è ïðè r R2 равны соответственно

J i/(2 R1l) 1,12 10 2 sin100 t À/ì2 è J i/(2 R2l) 5,6 10 3 sin100 t À/ì2. Мощность потерь в неидеальном диэлектрике составляет Ð U 2G 4,4 Âò.

2. Учитывая симметрию при растекании тока в земле, находим плотность тока проводимости J(r) i/(4 r2). Принимаем потенциал равным нулю в бесконеч- но удаленной точке и рассчитываем подведенное к заземлителю напряжение

4. При заданной частоте тока током смещения в проводящей пластине можно пренебречь, так как амплитуда плотности тока смещения Jñì max 0 Åïë max в ней значительно меньше амплитуды плотности тока проводимости Jmax Eïë max. Действительно, Jñì maxJmax :+0/ 93.10–14. В силу принципа непрерывности электрического тока ток смещения в диэлектрике конденсатора переходит в ток проводимости проводящей пластины и Jmax Åïë max, откуда находим Åïë max

ким образом, допущение Åïë << Åä оправдано.

1.4. Электрическое напряжение и потенциал

ВОПРОСЫ

1. Если вектор dl выбрать так, что в любой точке пути он нормален к вектору Å, то при перемещении вдоль такого пути интеграл E dl не изменяется и, следо-

вательно, работа не совершается. Поверхность, в каждой точке которой вектор напряженности поля направлен по нормали к ней, является поверхностью

378 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

постоянного потенциала. Таким образом, при перемещении заряда по поверхности постоянного потенциала работа не совершается.

6.На поверхности, в любой из точек которой потенциал постоянен, касательная к поверхности составляющая вектора напряженности электростатического поля обращается в нуль, однако в общем случае нормальная к поверхности составляющая вектора напряженности поля отлична от нуля и, следовательно, поле на поверхности существует.

7.При расчете поля заряженных тел, занимающих ограниченную область пространства, потенциал может быть принят равным нулю в бесконечно удаленной точке. Однако для тела бесконечной протяженности, например бесконечно длинного заряженного цилиндра с зарядом одного знака, потенциал в бесконечно удаленной точке не может быть принят равным нулю. Его задают равным нулю в точках, расположенных на конечном расстоянии от цилиндра.

11. à) Емкость бесконечно длинных проводов равна бесконечности, поэтому можно говорить о емкости проводов на единицу их длины. Емкость уединенного бесконечно длинного провода не имеет смысла, так как при заданной линейной плотности заряда потенциал в бесконечности не может быть принят равным нулю и, следовательно, потенциал на его поверхности не является единственным.

á) Так как потенциал в точке расположения заряда обращается в бесконечность, то емкость точечного тела не имеет смысла.

â) Если телу из диэлектрика сообщить некоторый заряд, то потенциал в различ- ных точках тела примет различные значения и емкость такого тела определена быть не может.

ã) Потенциал в полости проводящего тела сохраняется постоянным, равным потенциалу точек его поверхности. Поэтому понятие емкости такого тела имеет смысл.

ä) Плотность заряда на ребрах листа может быть весьма большой, так как заряд распределен неравномерно по поверхности листа. Однако потенциал точек на поверхности листа остается постоянным и понятие емкости проводящего листа конечных размеров имеет смысл.

УПРАЖНЕНИЯ

2. Число слоев диэлектрика определяется количеством прямолинейных участков зависимости U(x), так как на границе раздела сред потенциал имеет излом. В любом из слоев напряженность поля постоянна.

Ðèñ. Ð1.8

3. Для нахождения емкости линии выразим напряжение между проводами через линейные плотности , è –, заряда проводов:

Такой способ вычисления напряжения оправдан, так как принято допущение о равномерном распределении заряда проводов по окружностям их сечений. В этом случае при расчете потенциала можно рассматривать провода как линей-

ния емкости на основе полученного выражения зависит от соотношения величин R è D: с ростом отношения D/R распределение заряда приближается к равномерному и погрешность нахождения емкости уменьшается. Для заданных значений величин R è D получаем Ñ A/ì.

4. Напряженность электрического поля на поверхности внутренней обкладки

6. При отсутствии воздушного зазора допустимое напряжение между обкладками U 200·0,5 100 кВ. Напряженность электрического поля в воздушном зазоре в r раз превышает напряженность поля в диэлектрике. В этом случае допустимое напряжение оказывается равным U2 30d0 + 7,5(d – d0) 4 кВ, т. е. оно уменьшилось почти в 25 раз. Таким образом, появление дефектов при сборке может привести к значительному ухудшению технических показателей конденсаторов.

8. Наибольшие напряженности электрического поля, достигаемые в точках внутренних поверхностей слоев, равны

380 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

Искомые соотношения принимают вид 1Ri 2R1 3R2 … nRn–1.

1.5. Магнитная индукция. Принцип непрерывности магнитного потока

ВОПРОСЫ

2. Если при движении вдоль некоторой линии магнитной индукции расстояние до соседних линий сохраняется неизменным, то на этой линии имеем | B | const. В частности, на линиях магнитной индукции прямолинейного весьма длинного провода круглого сечения с током, также как и на линиях магнитной индукции однородного поля, ее модуль сохраняет постоянное значение. В общем случае на линии магнитной индукции | B | const.

5. Магнитный поток сквозь безграничную плоскую поверхность, которую можно рассматривать как замыкающуюся в бесконечности, должен обращаться в нуль в соответствии с принципом непрерывности магнитного потока.

7. Магнитный поток сквозь безграничную плоскость, пересекающую магнит и нормальную к его оси, равен нулю, так что проходящий через сечение магнита поток равен потоку той части плоскости, которая расположена вне магнита.

10. Искомый магнитный поток можно найти из соотношения !1 – !2 !, выражающего в рассматриваемом случае принцип непрерывности магнитного потока.

УПРАЖНЕНИЯ

2.Эти потоки равны (см. ответ на вопрос 5).

3.Магнитный поток сквозь поверхность со следом ÀÂ превышает в 2 раза поток сквозь поверхность со следом ÂÑ.

1.6. Закон электромагнитной индукции

ВОПРОСЫ

2.В результате действия силы f qvB на заряженные частицы, они перемещаются в направлении, нормальном векторам скорости и магнитной индукции. Напряженность электрического поля в теле обращается в нуль, ток проводимости в нем не протекает.

3.Электрический ток проводимости протекает при изменении вектора скорости движения тела, т. е. при изменении как значения скорости, так и ее направления, либо при движении тела в неоднородном магнитном поле.

4.Если виток выполнен из непроводящего вещества, то сцепленный с ним поток полностью определяется внешним магнитным полем. При 0 в витке протекает индуцированный электрический ток, создающий собственный магнитный поток самоиндукции. Полный сцепленный с витком магнитный поток равен сумме

этих потоков. С ростом проводимости вещества провода витка доля потока самоиндукции в полном потоке возрастает.

5. Электродвижущая сила направлена по радиусу диска к его оси либо к периферии в зависимости от направления векторов скорости и магнитной индукции. При отсутствии внешней электрической цепи ток в диске не протекает.

7. Входящий в выражение e ddt! магнитный поток является суммой внешне-

го магнитного потока !â и потока самоиндукции !ñ Li, обусловленного про-

текающим в витке индуктированным током i. С учетом этого можем записать уравнение ri ddt!â L dtdi â âèäå L dtdi ri ddt!â . Если величина L dtdi невелика

в сравнении с ddt!â , то ею пренебрегают, записывая выражение i (t) 1r ddt!, â êî

тором под величиной ! подразумевают внешний магнитный поток. Это допущение оправдано, если магнитный поток !ñ Li составляет незначительную часть от полного потока, когда, например, электрическая проводимость вещества витка невелика и его ток мал.

8. Магнитный поток самоиндукции, создаваемый индуцируемым током, может быть направлен навстречу внешнему магнитному потоку, но может быть направлен и в ту же сторону, что и внешний магнитный поток. Если внешний магнитный поток возрастает, то поток самоиндукции, препятствуя изменению сцепленного с контуром потока, направлен навстречу внешнему потоку. Если же внешний магнитный поток уменьшается, то поток самоиндукции направлен в ту же сторону, что и внешний магнитный поток.

11. В проводе витка действительно индуцируется электродвижущая сила. Можно, однако, убедиться в том, что в одной части провода витка она имеет направление, противоположное направлению электродвижущей силы в другой его части, так что полная ЭДС обращается в нуль.

УПРАЖНЕНИЯ

3. На движущиеся вместе с пластиной свободные электрические заряды действует со стороны магнитного поля сила, которая приводит к их смещению к сторонам 1, 2 пластины. ЭДС между сторонами 1, 2 равна e vBh. Плотности зарядов на сторонах пластины − 80vB.

4. В диске возникает ЭДС между его осью и любой из точек, перемещающихся в магнитном поле с линейной скоростью v(r) 0r. ЭДС на элементе диска длиной dr равна de Bv dr B r dr. ЭДС между осью диска и точками с радиусом r R

382 Ответы на вопросы, решения упражнений и задач

При подстановке численных значений получаем Ð 0,1 Âò.

ЗАДАЧИ

1. При подсоединении измерительных проводов вольтметра к точкам à, b его показание будет зависеть от расположения проводов и вольтметра в пространстве, так как измерительный контур охватывает магнитный поток, зависящий от площади контура и от способа его размещения в магнитном поле линии (рис. Р1.9, à). Если разместить провода вдоль отрезка àb и подвести их бифиляром (т. е. свитыми) к вольтметру (положение 1), то такой измерительный контур охватит магнитный поток сквозь заштрихованную на рисунке область. Это так называемый внутренний магнитный поток, замыкающийся внутри провода линии.

Ðèñ. Ð1.9

Однако измерительный контур должен охватить не только внутренний, но и весь внешний поток линии, что достигается при размещении измерительных проводов вдоль пути 2. Их положение не является единственным, в чем можно убедиться, рассматривая сечение линии (рис. Р1.9, á). При любом из положений (2, 3, 4, 5) измерительных проводов контур охватывает не только внутренний магнитный поток, но и весь внешний магнитный поток, сцепленный с каждым проводом линии.

3. Магнитная индукция в месте расположения провода изменяется по закону B Bm sin 0t, так что индуцируемая в проводе ЭДС равна e Blv 0RlBm sin 0t. ЭДС, индуцируемая в проводе, смещенном к первому проводу на угол , равна e 0RlBm sin (0t + ), так что ЭДС в контуре, образованном этими проводниками e 0RlBm [sin (0t + ) – sin 0t]. В соответствии с формулировкой закона электромагнитной индукции, данной Максвеллом, ЭДС в контуре