Теоретические основы электротехники-1

Глава 7. Расчет трехфазных цепей 333

Составляя эти уравнения, пользуемся отмеченным выше свойством независимости симметричных составляющих в симметричной трехфазной цепи. До места короткого замыкания, как было оговорено, цепь вполне симметрична. Короткое замыкание на землю только одной или только двух фаз нарушает симметрию цепи. Однако в уравнения явно введены, помимо ЭДС генератора, также напряженияU 0 ,U1 è U 2 , или, что то же, однозначно через них определяемые напряженияU A ,U B èUC . Мы получили бы тот же самый режим, если бы предположили, что у места короткого замыкания провода присоединены к зажимам еще

вающих их, то можно вычислить все величины, характеризующие данный режим работы генератора и приемника.

Рассмотрим случай однофазного замыкания фазы A на землю (зигзагообразная стрелка на рис. 7.11).

Пренебрегая токами нормальной нагрузки по сравнению с токами короткого

Для симметричных составляющих системы напряжений в месте короткого

после чего легко определяются U B è UC .

334 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

На первый взгляд кажется, что эта задача решается гораздо проще прямым применением закона Ома к контуру, по которому проходит ток I A . Этот контур образован участком между землей и нейтралью генератора, фазой A генератора, проводом в этой фазе до места короткого замыкания и землей. Если бы сопротивление фазы генератора и провода было одинаковым для всех трех составляющих трехфазной системы и равным Z, òî òîê I A вычислялся бы элементарно:

Это соотношение вытекает при таком условии и из полученного выше выражения. Действительно, при этом было бы

Z 0 3Z 00 Z; Z1 Z; Z 2 Z.

Первое из этих трех равенств следует из того, что через участок Z00 проходят все три тока нулевой последовательности, протекающие по всем трем фазам. Следовательно, этот участок можно заменить тремя ветвями, соединенными параллельно и имеющими каждая сопротивление 3Z00, но по каждой из которых протекает только ток I 0 . Подставив эти выражения для Z0, Z1 è Z2 в выражение для I A , находим

т. е. то же выражение, что и непосредственно из закона Ома. Однако это получа- ется только в предположении, что сопротивления фаз генератора одинаковы для составляющих любой последовательности. В действительности наличие вращающегося ротора и взаимной индукции между фазами приводит к тому, что сопротивления генератора для систем прямой, обратной и нулевой последовательности различны. Если они известны, то формула

дает возможность произвести расчет тока I A и всех остальных величин. Форму-

ëà æå I A E не дает такой возможности, так как в ней неопределенным яв-

Z 00 Z

ляется сопротивление Z, на величину которого влияет вращающийся ротор. Таким образом, уже на этом простом примере видим достоинство метода сим-

метричных составляющих для расчета трехфазных цепей, содержащих вращающиеся машины.

Глава 8. Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах 337

Раскладываем заданные периодические несинусоидальные ЭДС или напряжения в ряд Фурье:

e e0 e1 e2 e3 ek ; u u0 u1 u2 u3 uk

Находим как функции времени мгновенные токи i0, i1, i2, i3, . . ., ik, . . ., возникающие в некоторой ветви цепи под действием в отдельности каждой состав-

ляющей ЭДС e0, e1, e2, e3, . . ., ek, . . ., или напряжения u0, u1, u2, u3, . . ., uk, . . . .

Суммируя найденные таким путем мгновенные токи, получаем искомый ток в рассматриваемой ветви цепи:

i i0 i1 i2 i3 ik

Так как каждая составляющая является либо постоянной величиной, либо синусоидальной функцией времени, то для расчета каждой из них в отдельности могут быть применены все методы, изложенные в предыдущих главах. Весьма целесообразно для расчета каждой синусоидальной составляющей в отдельности воспользоваться комплексным методом. Однако суммировать полученные комплексные токи для отдельных гармоник нельзя, так как они имеют разные частоты. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени.

Пользуясь этим методом, определим ток i в простейшей неразветвленной цепи с постоянными параметрами r, L, C при установившемся режиме в случае, когда напряжение u на зажимах цепи является периодической несинусоидальной функцией времени. Представим напряжение u â âèäå ðÿäà

u u0 u1 u2 u3 uk ,

ãäå u0 — постоянная составляющая, а uk Ukm sin (k0t + Αuk) — k-я гармоника напряжения.

Постоянная составляющая тока в этой цепи равна нулю, т. е. i0 0, так как конденсатор постоянный ток не проводит. Мгновенное значение k-й гармоники тока

сдвига 2k arctg (xk/r) зависят от порядка гармоники. Поэтому форма кривой тока i не будет подобна форме кривой приложенного напряжения u.

338Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Âкачестве примера разветвленной цепи рассмотрим цепь, изображенную на рис. 8.1. Определим ток i на входе цепи.

Постоянная составляющая тока определяется в этом случае из соотношения

ãäå u0 — постоянная составляющая приложенного напряжения u.

Для вычисления гармонических составляющих тока воспользуемся комплексным методом. С этой целью представим в комплексной форме k-ю гармонику uk Ukm sin (k0t + Αuk) приложенного к зажимам цепи напряжения u. Имеем комплексную амплитуду k-й гармоники в виде

Найдем комплексное сопротивление всей цепи для k-й гармоники. Условимся первым индексом у сопротивления обозначать порядок гармоники, а вторым индексом, после запятой, — номер ветви, для которой записывается то или иное сопротивление. Для рассматриваемой цепи сопротивление Zk всей цепи равно

где в соответствии со схемой на рис. 8.1

Комплексная амплитуда k-й гармоники искомого тока вычисляется в виде

Теперь не представляет труда написать выражение для мгновенного значения

k-гармоники тока: ik Ikm sin (k0t + Αik).

Придавая индексу k все значения, соответствующие основной (k 1) и высшим (k 2, 3, . . .) гармоникам, имеющимся в кривой напряжения, получим все соответствующие им гармонические составляющие тока. Весь искомый ток найдется в виде суммы:

ii0 i1 i2 i3 ik

8.2.Зависимость формы кривой тока от характера цепи при несинусоидальном напряжении

Сопротивление электрической цепи, содержащей индуктивные катушки и конденсаторы, зависит от частоты, и, следовательно, оно оказывается различным для разных гармоник. Поэтому если к зажимам такой цепи приложено периоди- ческое несинусоидальное напряжение, то кривая тока в цепи отличается по форме от кривой напряжения.

Глава 8. Расчет электрических цепей при несинусоидальных токах 339

Кривая тока i подобна кривой напряжения u только в случае, если цепь обладает одним активным сопротивлением r, одинаковым для всех частот. В таком случае для всех гармоник Ikm Ukm/r и, следовательно, Ikm/I1m Ukm/U1m, т. е. кривые тока и напряжения подобны друг другу.

Соблюдение такого условия необходимо в цепях вольтметров, в параллельных цепях ваттметров и особенно в цепях вибраторов осциллографов, предназначенных для записи кривых напряжения. В точности достичь этого условия невозможно, так как принципиально всякая цепь обладает индуктивностью и емкостью. Однако, применяя специальные способы намотки добавочных сопротивлений, в таких цепях удается существенно снизить их индуктивность и емкость и приблизиться к требуемым условиям. Кроме того, если сечение проволоки намотки мало, то можно при не очень высоких частотах пренебречь явлением поверхностного эффекта и считать, что активное сопротивление одинаково для всех гармоник не слишком высокого порядка.

Рассмотрим отдельно катушку с индуктивностью L è r 0. Ее сопротивление при частоте k0 k-й гармоники равно z k k0L, т. е. растет с возрастанием порядка гармоники. Соответственно,

Таким образом, амплитуды высших гармоник, выраженные в долях первой гармоники, в кривой тока меньше, чем в кривой напряжения. Говорят, что катушка сглаживает кривую тока. Этим пользуются, например, для сглаживания кривой тока после выпрямителей, включая в цепь между выпрямителем и приемником индуктивную катушку. Напряжение на выходе выпрямителя обычно содержит, кроме постоянной составляющей, еще ряд гармонических составляющих. Катушка не оказывает сопротивления постоянной составляющей тока, но ее сопротивление высшим гармоникам тока тем больше, чем выше порядок гармоники.

Рассмотрим теперь конденсатор без потерь. Его сопротивление zk 1/(k0C) убывает с ростом порядка гармоники. Имеем

т. е. в конденсаторе содержание гармоник, выраженных в долях первой гармоники, в кривой тока больше, чем в кривой напряжения. Говорят, что конденсатор искажает кривую тока по сравнению с кривой напряжения.

Для сложной цепи, содержащей участки с активным сопротивлением, катушки и конденсаторы, на форму кривой тока будет влиять конфигурация цепи.

Если, например, в цепи для гармоники порядка k q имеет место резонанс напряжений, то сопротивление цепи для этой гармоники минимально, и, соответственно, эта гармоника в кривой тока будет выделяться. Простейшей такой цепью является цепь из последовательно включенных катушки L и конденсатора C. Этим можно воспользоваться, чтобы обеспечить преимущественное прохождение гармоники порядка q от источника несинусоидального напряжения u к приемнику, включив на пути между ними последовательно соединенные

342 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

так как по тем же соображениям, что и в предыдущем параграфе,

T

uq is dt 0 ïðè q s.

0

Таким образом,

k

P Pk P0 P1 P2 Pk

k 0

U 0 I 0 U1I1 cos 21 U 2 I 2 cos 22 U k I k cos 2k ,

ò. å. активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощностей постоянной и всех гармонических составляющих тока и напряжения.

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что принцип наложения для квадратичных величин несправедлив, и для мгновенных токов, напряжений и мощности имеем i2 ik93 u2 uk9 è p ui pk , так как мгновенные значе-

ния произведений iqi s, uqu s è uqi s ïðè q s не равны нулю. Однако интегралы от этих произведений за целый период T обращаются в нуль, что является свойством ортогональности функций, входящих сомножителями в эти произведения.

При периодических несинусоидальных токах и напряжениях, как и при синусоидальных, вводят понятие о коэффициенте мощности, обозначая его при этом через Ο и определяя из соотношения

Величина Ο равна единице только в том случае, если цепь обладает одним активным сопротивлением, не зависящим от частоты и от тока. Во всех остальных случаях Ο < 1.

В частном случае, когда напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону, т. е. когда отсутствуют постоянные составляющие и высшие гармоники, коэффициент мощности, как было получено в § 4.6, равен косинусу разности фаз 2 синусоидальных напряжения и тока (Ο cos 2.

Можно показать, что появление высших гармоник в кривых напряжения и тока приводит к снижению коэффициента мощности по сравнению со случаем, когда ток и напряжение при тех же действующих значениях синусоидальны. Следовательно, уже хотя бы в этом отношении появление высших гармоник нежелательно. Поэтому стремятся конструировать генераторы переменного тока так, чтобы кривая ЭДС в них была по возможности близка к синусоиде. Нали- чие высших гармоник может быть причиной и ряда других нежелательных явлений. Оно приводит к возможности резонанса для одной из высших гармоник