Теоретические основы электротехники-1

Матрицы параметров Zz, Yy в данном частном случае записаны в форме симметричных диагональных матриц. Это означает, что в цепи отсутствуют индуктивно связанные катушки и зависимые источники. При наличии индуктивно связанных катушек ветви, содержащие эти катушки, должны быть отнесены к z-ветвям, и тогда взаимная индуктивность может быть учтена добавлением недиагональных симметрично расположенных элементов в матрице Zz (см. § 5.18). Наличие зависимых источников также может быть учтено в этом случае добавлением членов в Z- è Y-матрицах.

Допустим, имеется зависимый источник тока в 4-й ветви, управляемый напряжением 2-й ветви: = 42 Y42 U 2 . Ток этого источника тока можно перенести в

левую часть равенства и учитывать его добавлением в матрице Yy ненулевого элемента Y42. Заметим, что элемент Y24 0, и поэтому матрица Yy становится несимметричной. Точно так же, если в некоторой ветви (например, 7) имеется

можно учесть в виде дополнительного падения напряжения в контуре 7 îò òîêà I5 добавлением в матрице Zz недиагонального элемента –Z75.

Метод смешанных величин дает возможность без эквивалентных преобразований учесть управляемые напряжением источники тока и управляемые током источники ЭДС, если их раздельно расположить, соответственно, в y-подграфе схемы и z-подграфе схемы, т. е. разделение графа производить с учетом и этого обстоятельства. Заметим, что число иеизвестных, а следовательно, и порядок системы уравнений неминимальны. В рассматриваемом случае число неизвестных равно шести, в то время как по методу контурных токов и по методу сечений (и узловых напряжений) оно равно четырем. В этом отношении метод смешанных переменных уступает другим методам.

5.15. Принцип наложения и основанный на нем метод расчета цепи

щих в соответствующие контуры. Точно так же в выражении для узлового напряженияU k 0 , полученном по методу узловых напряжений, величины =1, = 2 , , = q 1 представляют собой каждая сумму токов всех источников токов, подключенных к соответствующим узлам. Выписав эти суммы явно и сгруппировав в выражениях для I k èU k 0 члены, содержащие ЭДС или токи отдельных источников, получим выражения для I k èU k 0 в виде слагаемых, каждое из которых будет иметь множителем ЭДС или ток того или иного источника. Из этого следует, что контурный ток в любом контуре равен сумме токов, вызываемых в этом контуре каждой из ЭДС в отдельности, и, соответственно, узловое напряжение между любым узлом и опорным равно сумме узловых напряжений, созданных между этим узлом и опорным каждым в отдельности источником тока (или источником ЭДС ветви, приключенной к данному узлу). Это весьма важное положение о независимости действия источников ЭДС или тока, известное под наименованием п р и н ц и п а н а л о ж е н и я, вытекает из линейности уравнений, получаемых на основании законов Кирхгофа для линейных цепей, т. е. цепей с параметрами, не зависящими от токов и напряжений.

264 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Принцип наложения справедлив не только для любого контурного тока, но и для тока в любой ветви, так как всегда можно выбрать совокупность контуров так, что интересующая нас ветвь войдет только в один контур. Это непосредственно вытекает также из линейности системы уравнений, записанных в отношении истинных токов в ветвях по законам Кирхгофа.

Следует иметь в виду, что принцип наложения не применим для квадратич- ных форм, каковыми являются выражения для мощностей.

Принцип наложения позволяет расчленить сложную задачу на ряд более простых, в каждой из которых в рассматриваемой сложной цепи действует только одна ЭДС или один источник тока, а все остальные источники энергии предполагаются отсутствующими. При этом все другие источники ЭДС должны быть замкнуты накоротко с сохранением в вет-

Ðèñ. 5.16 вях их внутренних сопротивлений, а все другие источники тока должны быть разомкнуты, но в соответствующих ветвях должны быть сохранены их внутренние проводимости.

Применяя, например, принцип наложения для решения задачи расчета цепи, изображенной на рис. 5.11, получаем две более простые задачи (рис. 5.16), токи в которых находятся просто:

Следовательно, действительные токи в ветвях при действии обоих источников ЭДС с учетом направления стрелок на рис. 5.16 равны:

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 265

Задача расчета цепи, изображенной на рис. 5.12, с помощью принципа наложения соответственно может быть расчленена на три более простые задачи рас-

5.16. Принцип взаимности и основанный на нем метод расчета цепи

Для линейных цепей справедлив важный п р и н ц и п в з а и м н о с т и, установ-

сколь угодно сложной цепи, при отсутствии в цепи прочих ЭДС вызывает в дру-

токов. Выберем независимые контуры так, чтобы ветвь ab входила только в контур k, а ветвь cd — только в контур m, что по отношению к двум ветвям, как уже отмечалось ранее, всегда можно сделать. Тогда из равенств

Таким образом, сформулированный указанным образом принцип взаимности приводит к равенству этих взаимных сопротивлений: Zkm Zmk. Обратим внима-

ние, что здесь, переставляя ЭДС E из одной ветви в другую, мы одинаково согласовывали положительные направления ЭДС и токов в каждой из этих вет-

ò.е. получили бы соотношение Zkm –Zmk, на что было уже указано в § 5.11.

Âдальнейшем, пользуясь принципом взаимности, будем предполагать, что положительные направления ЭДС и токов во всех ветвях приняты согласован-

ными одинаково, т. е. будем при этом иметь Zkm Zmk.

Принцип взаимности в сочетании с принципом наложения дает возможность существенно снизить трудоемкость расчета сложной цепи, в которой действует одновременно несколько ЭДС, особенно в случае, когда требуется определить

266 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

закорочены с сохранением в ветвях их внутренних сопротивлений. Назовем эту сравнительно простую задачу основной. Вычислим в этой задаче токи во всех p ветвях: I1 k , I 2k , I 3k , . . ., I mk , . . ., I pk . Здесь верхний индекс в скобках показывает,

под действием какой ЭДС возникает ток, а нижний — в какой ветви рассматривается ток.

Если единственный источник с ЭДС E k переставить в m-ю ветвь, то, согласно принципу взаимности, â k-й ветви пойдет такой же ток, как в m-й ветви в основ-

ной задаче, т. е. при этом ток в k-й ветви будет равен току I mk , вычисленному в основной задаче.

В действительности в m-й ветви действует источник ЭДС E m . Очевидно, ток

â k-й ветви, возникающий под действием единственного источника ЭДС E m , включенного в m-ю ветвь, равен

I k m I mk E m .

E k

Переставляя последовательно единственный источник ЭДС E k во все ветви, в которых в исследуемой реальной цепи действуют источники ЭДС, т. е. изменяя индекс m от единицы до s, включая и значение m k, и осуществляя пропор-

циональный пересчет значений токов от ЭДС E k к действительным значениям

ÝÄÑ E m , вычислим таким методом токи в k-й ветви, возникающие в ней при действии всех действительных ЭДС поодиночке.

Согласно принципу наложения, ток I k â k-й ветви, возникающий при действии всех заданных ЭДС одновременно, равен

вычисляется по последней формуле. Эта формула непосредственно пригодна для вычисления тока в ветви, содержащей источник ЭДС (1 4 k 4 s), ò. å. åñëè

можно воспользоваться этой же формулой, если предположить, что в эту ветвь

Поскольку суммирование идет только до m s, k > s, òî òîê â k-й ветви от действия фиктивного источника, когда он включен в эту же k-ю ветвь, не учитывается.

Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах 267

5.17. Метод эквивалентного генератора

Задача отыскания тока в одной выделенной ветви, рассмотренная в предыдущем параграфе, может быть решена также с помощью м е т о д а э к в и в а л е н т н о - г о г е н е р а т о р а, или, как иногда говорят, с помощью т е о р е м ы о б э к в и - в а л е н т н о м г е н е р а т о р е. Сущность этого метода заключается в том, что по отношению к выделенной ветви ab с сопротивлением Zab вся остальная часть сложной цепи, содержащая источники ЭДС, может быть заменена одним эквива-

лентным генератором с ЭДС E ã и внутренним сопротивлением Zã.

Пусть ветвь с сопротивлением Zab входит в контур 1 и является связью

âметоде контурных токов. Собственное сопротивление этого контура запишем

ââèäå Z11 Z ab Z110 , èìåÿ â âèäó, ÷òî Z110 есть собственное сопротивление кон-

тура, когда Zab 0. Поскольку выделенная ветвь является связью, то Zab не войдет ни в какие другие элементы матрицы контурных сопротивлений. Согласно методу контурных токов, имеем

Разложим по элементам первой строки. Тогда

Z11 11 Z12 12 Z1n 1n (Z ab Z110 11 Z12 12

Z1n 1n Z ab 11 Z110 11 Z12 12 Z1n 1n Z ab 11 0 .

Здесь 0 — определитель матрицы контурных сопротивлений при условии, что Zab 0. Учитывая это, предыдущее равенство можно записать в виде

Последнему равенству соответствует схема, изображенная на рис. 5.17. Эта схема и свидетельствует о возможности замены активного двухполюсника A ýê-

268 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

что представляет математическую формулировку теоремы Нортона. Нетрудно

Таким образом, для определения тока I ab в интересующей нас ветви необходимо экспериментально или расчетным путем найти напряжение U 0 при разрыве ветви ab и сопротивление Zã всей прочей части цепи при замкнутых накоротко содержащихся в ней источниках ЭДС.

В реальных электрических цепях величина Zã может быть определена также и экспериментально. Обозначим ток в ветви ab ïðè Zab 0, т. е. при замыкании этой ветви накоротко, через I k . Тогда из выражения для I ab получим Zã U 0 I k ,

ò. å. Zã можно определить экспериментально как отношение напряжения U 0 на зажимах ab цепи при холостом ходе к току I k при ее коротком замыкании.

Применим теорему об эквивалентном генераторе для определения токов в цепи, изображенной на рис. 5.11. Для определения тока I1 разомкнем первую ветвь и найдем напряжение на ее зажимах (рис. 5.18), причем положительное направление примем совпадающим с принятым на рисунке положительным направлением искомого тока I1. Имеем

Сопротивление Zã найдем как сопротивление всей прочей цепи между зажимами ab при замкнутых накоротко источниках ЭДС (рис. 5.19):

Z ã Z 2 Z 3 . Z 2 Z 3

Следовательно, искомый ток

Для определения этим методом тока I 3 разомкнем третью ветвь (рис. 5.20). Напряжение на ее зажимах при этом имеет значение

270 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

Из выражения для P ïðè rïð 0 следует, что максимум мощности можно обеспечить при уменьшении знаменателя, добиваясь равенства xïð + xã 0 (xïð è xã могут быть разного характера — индуктивного или емкостного). При этом

P (rã rïð )2 .

Учитывая, что rã — величина заданная, можно найти Pmax, изменяя rïð. Условием обеспечения абсолютного максимума будет равенство rã rïð. Ïðè ýòîì

ãäå > — коэффициент полезного действия рассматриваемого устройства. Режим максимальной мощности представляет интерес в маломощных передаточных устройствах, применяемых в электроизмерительной технике, в радиотехнике, радиоэлектронике и автоматике. В этих случаях получение как можно большей мощности нередко является более важным, чем достижение большого значения коэффициента полезного действия.

5.18. Расчет цепей при наличии взаимной индукции

Правило составления дифференциальных уравнений цепи при наличии взаимной индукции, рассмотренное в § 3.7, положим в основу для расчета цепей с взаимной индукцией при протекании синусоидальных токов. Применив комплексный метод, алгебраизируем эти уравнения.

Напомним правило, определяющее знак ЭДС взаимной индукции или падения напряжения, компенсирующего эту ЭДС. Точки, поставленные на одном из зажимов каждой катушки, означают следующее: если положительное направление тока в первой катушке принято от точки, то положительное направление ЭДС взаимной индукции, возникающей в другой катушке, также должно быть принято то точки. Будем считать, что для данной системы точек, отмеченных на зажимах всех индуктивносвязанных катушек, известны коэффициенты взаимной индукции по величине и знаку.

Для расчета цепей, содержащих индуктивно-связанные ветви, непосредственно применимы все изложенные ранее методы, за исключением метода узловых напряжений и формул преобразования соединения треугольника в эквивалентное соединение звездой и обратно. Применение этих последних требует введения некоторых дополнительных правил.

Рассчитаем цепь, изображенную на рис. 5.24. Катушки L1 è L2 индуктивно связаны, причем для данной системы точек задан коэффициент взаимной индукции M12 M21 M.

òîêà â öåïè.

Так как положительное направление тока в обеих катушках взято от точки, то

также будет от точек. Поэтому все ЭДС войдут в уравнение с одинаковым положительным знаком:

Вспомним, что все сказанное можно относить к падениям напряжения, для

Величина Lý L1 + L2 + 2M представляет собой эквивалентную индуктивность всей цепи.

Эквивалентная индуктивность всегда положительна, что вытекает из равенства Wì 12 Lýi2 > 0, так как энергия магнитного поля всей цепи всегда положи-

тельна.

Эквивалентная индуктивность зависит от знака взаимной индуктивности. В зависимости от знака M различают два способа включения катушек: согласное включение, когда M > 0 (M 1M1), и встречное включение, когда M < 0 (M –|M1). При согласном включении магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают по направлению, что приводит к увеличению эквивалентной ин-

потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены встречно, что приводит

и встречном включениях катушек, можно вычислить абсолютное значение их взаимной индуктивности из соотношения

Переход от согласного включения к встречному при этом следует выполнить пересоединением концов обмотки одной из катушек, не изменяя взаимного рас-

272 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

I1 I 6 I 2 0; I 2 I 3 I 5 0; I 4 I1 I 3 0;

Величины M34 M43, M53 M35 è M45 M54 заданы с их знаками для системы точек, которые указаны на катушках L3, L4 è L5. В индуктивных катушках L3, L4

è L5, где имеет место явление взаимной индукции, все токи направлены от точек, поэтому направления ЭДС самоиндукции и взаимной индукции совпадают, а следовательно, совпадают и направления соответствующих этим ЭДС падений на-

пряжений. Поэтому знаки в членах j0L5 I 5 , j0M 53 I 3 è j0M 54 I 4 в последнем уравнении одинаковы.

По методу контурных токов в общем виде уравнения записываются в обыч- ной форме, как и при отсутствии взаимной индукции:

но в выражения для собственных и общих сопротивлений контуров войдут добавочные члены, учитывающие явление взаимной индукции. В данном частном случае контурные токи I1, I 2 è I 3 являются и токами в ветвях 1, 2 è 3.