Теоретические основы электротехники-1

Действительно, в контур, образованный связью 4, входят ветви дерева 1 (отрицательно), 3 (положительно) и сама связь 4. При этом обход контура производится таким образом, чтобы направление обхода совпало с направлением связи 4. В контур, образованный связью 5, входят ветви дерева 1 è 2 (положительно), 3 (отрицательно) и сама связь 5. В контур 6 входят ветви дерева 1 è 2 (положительно) и связь 6.

К уравнениям

– u1 + u3 + u4 – e1 + e3 (для контура 4);

174 Часть 1. Основные понятия и законы теории

u1 + u2 – u3 + u5 e1 – e3 + e5 (для контура 5);

u1 + u3 + u6 e1 (для контура 6)

и к уравнениям для токов в узлах (или сечениях) следует добавить уравнения, связывающие токи и напряжения в элементах цепи:

Совместно с шестью уравнениями цепи эти соотношения образуют систему из 12 уравнений для 6 токов и 6 напряжений ветвей цепи.

3.18. Анализ и синтез — две основные задачи теории электрических цепей

Задачи теории электрических цепей могут быть разделены на две противоположные по исходным данным и по конечной цели группы — задачи анализа è задачи синтеза электрических цепей.

Целью анализа является расчет электрических процессов в заданных электрических цепях, т. е. в цепях с заданной структурой и с заданными характеристиками всех элементов цепи, например расчет изменении во времени токов в заданной цепи при известном законе изменения во времени ЭДС, действующих в этой цепи.

Целью синтеза является обратная задача — отыскание структуры электриче- ской цепи и характеристик ее элементов, при которых электрический процесс в цепи будет подчиняться заданным закономерностям. Например, требуется построить электрическую цепь, имеющую два входных и два выходных зажима, удовлетворяющую условию, чтобы при заданном изменении во времени напряжения на входных зажимах получалось вполне определенное, также наперед заданное изменение во времени напряжения на выходных зажимах. Иными словами, требуется построить цепь, которая обладает способностью менять форму кривой входного напряжения в желательном для нас направлении. Такие задачи имеют важное значение, например, для создания электрических цепей, формирующих на своем выходе импульсы определенной формы, что важно в радиотехнике и в автоматике, или выполняющих определенные арифметические или логические операции, что важно при построении вычислительных и управляющих электронных машин и т. п.

Решение задачи синтеза может быть выполнено различными способами. Эта задача может быть решена путем анализа ряда цепей с последующим выбором

наиболее подходящего, оптимального варианта цепи. Уже в такой постановке задачи синтеза возникает вопрос о разработке требований, которым должна удовлетворить оптимальная цепь. Поскольку задача синтеза чаще всего возникает при проектировании различных устройств, то требования оптимальности должны быть заданы или разработаны заранее. Эти требования могут иметь как экономический, так и технологический характер, т. е. они могут регламентировать массу, габариты, стоимость устройства, характер элементов, из которых должна быть осуществлена искомая цепь. Кроме того, при разработке технических требований должны быть заданы качественные и количественные требования относительно допустимых отклонений характеристик синтезируемой цепи от наперед заданных характеристик. Только при удовлетворении всех этих требований можно найти оптимальный вариант реализации на практике искомой цепи.

Такая постановка задачи синтеза предопределяет неоднозначность ее решения. Например, наперед заданные характеристики можно получить, осуществив цепь, в которой используются все элементы электрических цепей, а именно: индуктивные катушки, связанные в общем случае и электрически, и при помощи общего магнитного поля, конденсаторы и резисторы. Однако в пределах допустимых отклонений от наперед заданных свойств проектируемого устройства возможно конструирование цепи, содержащей только конденсаторы и резисторы, или цепи, обладающей также индуктивностью, но в которой отсутствует взаимная индукция. В гл. 15 будет показана множественность решения задачи синтеза даже в том случае, когда совершенно различные по конфигурации цепи имеют в точности одинаковые свойства.

Как указывалось, синтез электрических цепей основывается на общих свойствах электрических цепей, которые могут быть исследованы путем анализа цепей. Поэтому синтезу должен предшествовать анализ. Это относится в равной степени к линейным и нелинейным электрическим цепям. Естественно, наибольшей теоретической разработке поддаются задачи анализа и синтеза линейных электрических цепей, содержащих элементы, параметры которых не зависят от тока в них и от напряжения на их зажимах. Следующая, вторая, часть целиком посвящается этим вопросам. Возможности синтеза цепей существенно возрастают при использовании нелинейных элементов цепи с теми или иными характеристиками. Анализу нелинейных электрических цепей посвящается третья часть, в которой будут изучены свойства таких цепей и некоторые методы их расчета. На основе результатов, полученных при анализе различных нелинейных цепей, можно будет косвенно судить и о возможности использования тех или иных нелинейных элементов для синтеза электрических цепей.

Выше было сказано, что путем подбора и анализа подобранных цепей можно решить задачу синтеза. Однако такой способ решения задачи синтеза нецелесообразен. Анализ свойств сложных цепей, каковыми в общем случае оказываются подлежащие синтезу цепи, при условии исследования значительного числа вариантов является весьма трудоемким процессом. Использование методов синтеза дает возможность, исходя из общих свойств цепей, получить рекомендации, позволяющие аналитически рассчитывать как структуру, так и параметры цепи, обладающей наперед заданными характеристиками.

176Часть 1. Основные понятия и законы теории

Âрезультате аналитического решения могут быть получены цепи, которые не будут удовлетворять тем или иным экономическим или технологическим требованиям. Поэтому при синтезе возникает проблема эквивалентных преобразований полученных цепей, в результате которых характеристики цепи не изменяются, но меняются структура цепи и состав ее элементов. В некоторых случаях этим требованиям можно удовлетворить при условии отклонения от желаемой характеристики в допустимых пределах в самом начале использования методов синтеза. Это достигается соответствующим выбором функции, описывающей свойства искомой цепи. Подобранные соответствующим образом функции дают возможность синтезировать цепь, содержащую только те или иные комбинации элементов. В этом смысле синтез включает в себя также и проблему выбора наиболее подходящего математического описания наперед заданных свойств цепи.

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Глава четвертая

Основные свойства и эквивалентные параметры электрических цепей при синусоидальных токах

4.1. Синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Источники синусоидальных ЭДС и токов

В линейной электрической цепи при действии периодических ЭДС с одинаковым периодом T спустя достаточно большой промежуток времени от начала действия этих ЭДС устанавливаются во всех участках цепи периодические токи и напряжения с тем же периодом T. Величина f 1/T является ч а с т о т о й ЭДС, напряжения или тока. Частота численно равна числу периодов в единицу времени и измеряется в герцах (Ãö).

Наибольший интерес представляют периодические ЭДС, напряжения и токи, являющиеся синусоидальными функциями времени:

e E m sin(0t Α e ); u U m sin(0t Α u ); i I m sin(0t Α i ). Величины e, u, i называют м г н о в е н н ы м и ЭДС, напряжением и током. Их

наибольшие значения Em, Um è Im называют а м п л и т у д а м и. Величину 0 2 /T2 f называют у г л о в о й ч а с т о т о й. Аргумент синуса, отсчитываемый от ближайшей предыдущей точки перехода синусоидальной величины через нуль от отрицательных к положительным ее зна-

чениям, называют ф а з о й, величины Αe, Αu è Αi— н а ч а л ь н о й ф а з о й, соответственно, ЭДС, напряжения и тока.

На рис. 4.1 изображены синусоидальные напряжение и ток с одним и тем же периодом. Обратим внимание на то, что положительные фазы Αu > 0 è Αi > 0 должны откладываться от начала координат влево. По оси абсцисс можно откладывать или время t, или пропорцио-

178 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

нальную ему угловую величину 0t. Соответственно, периодом будет являться или T, èëè 2 .

Разность фаз напряжения и тока 2 Αu – Αi называют также у г л о м с д в и - г а тока по отношению к напряжению. Ïðè 2 0 ток и напряжение совпадают по фазе, при 2 ± — противоположны по фазе, при 2 ± /2 — находятся в квадратуре.

Âбольшинстве случаев мы стремимся к тому, чтобы в электрических цепях токи и напряжения изменялись по синусоидальному закону, так как отклонение от этого закона ведет к нежелательным явлениям — появляются дополнительные потери в элементах цепи, возрастает влияние мощных линий передачи на соседние линии связи и т. д. Начнем рассмотрение с синусоидальных функций еще и потому, что любую периодическую функцию можно разложить в ряд синусоидальных функций различных частот (ряд Фурье), и следовательно, рассмотрение синусоидальных токов позволит в дальнейшем перейти к изучению более сложных периодических ЭДС, токов и напряжений.

Âсовременной технике используют переменные токи исключительно широкого диапазона частот — от долей герца до миллиардов герц. В России и европейских странах в энергетических системах применяется частота 50 Гц.

Âзависимости от частоты источниками синусоидальной ЭДС являются генераторы того или иного типа. При промышленных частотах на электрических станциях в настоящее время в качестве генераторов применяют вращающиеся электрические машины. Для промышленных и повышенных частот генерирование переменной ЭДС осуществляют также с помощью ионных и полупроводниковых преобразователей постоянного тока в переменный, именуемых инверторами. При повышенных и высоких частотах используют преобразователи с

электронными приборами, например ламповые генераторы. Наконец, для генерирования колебаний с частотами, приближающимися к частотам оптического диапазона, а также лежащими в оптическом диапазоне, используются квантовые генераторы, именуемые мазерами и лазерами.

О принципе действия инвертора и транзисторного генератора будет сказано в следующей части, посвященной нелинейным электрическим цепям. Рассмотрим здесь в общих чертах вопрос о генерировании синусоидальных ЭДС с помощью вращающихся электрических машин.

На рис. 4.2 схематически представлен синхронный гидрогенератор с явно выраженными полюсами, имеющий три пары полюсов (p 3). На вращающейся части машины — р о т о р е — наложена обмотка возбуждения, питаемая постоянным током. Обмотка, в которой генерируется переменная ЭДС, расположена в пазах неподвижной части машины — с т а т о р а. Магнитная цепь машины изготовляется из электротехнической стали; статор и полюсные наконечники ротора — из листовой стали, остальная часть ротора — из сплошного стального массива. Частоту генерируемой ЭДС определяют обычно по формуле f pn/60, ãäå n — часто-

та вращения (число оборотов в минуту). Например, частота вращения генераторов на Днепровской гидроэлектростанции n 8313 об/мин. Следовательно, для

получения частоты f 50 Гц эти генераторы имеют p 36 пар полюсов.

В генераторах с явно выраженными полюсами для получения синусоидальной ЭДС в обмотке якоря достаточно соответствующим образом подобрать форму полюсных наконечников, чтобы магнитная индукция B вдоль окружности машины в воздушном зазоре изменялась по синусоидальному закону. Это следует из выражения для ЭДС, индуцируемой в стержнях обмотки статора: 1 e 1 Blv, ãäå l — активная длина стержней и v — линейная скорость.

180 Часть 2. Теория линейных электрических цепей

в соседние пазы одинаковые катушки (на рис. 4.3 помечены цифрами 1, 2, 3), то кривые ЭДС e1, e2, e3 в этих катушках будут одинаковы по форме, но сдвинуты друг относительно друга по оси времени (рис. 4.5). Соединив эти катушки последовательно, можно получить, как видно из рисунка, суммарную ЭДС e e1 + e2 + e3, во всей обмотке весьма близкую к синусоидальной.

Свободные (рис. 4.3) пазы статора заполняют еще двумя обмотками для образования трехфазной системы.

4.2. Действующие и средние значения периодических ЭДС, напряжений и токов

О значениях периодических ЭДС, напряжений и токов обычно судят по их средним квадратическим значениям за период, обозначаемым, соответственно, через

E, U, I:

Эти величины называют д е й с т в у ю щ и м и периодическими ЭДС, напряжением и током. Такой выбор определяется нижеследующими соображениями.

Среднее за период значение мощности, характеризующее выделение теплоты в цепи с сопротивлением r, имеет выражение

Следовательно, вводя понятие о действующем периодическом токе как среднем квадратическом значении его за полный период, получаем формулу для средней мощности, выраженной через этот ток, такую же по виду, как и при постоянном токе.

Мгновенная электромагнитная сила F взаимодействия двух катушек или вообще двух любых контуров, по которым последовательно протекает один и тот же ток i, выражается в виде

F i1i2 )M i2 )M ,

)g )g

ãäå )M/)g — производная от взаимной индуктивности M контуров по той координате g, которую стремится изменить сила F. При периодическом изменении тока i среднее значение силы Fñð за период имеет выражение

Если катушки обладают достаточно большой инерцией или вообще закреплены и, следовательно, не меняют своего положения в течение периода изменения тока в них, то величина )M/)g остается постоянной и может быть вынесена за знак интеграла. Получаем

т. е. выражение для Fñð через действующее значение периодического тока полу- чается таким же, как и при постоянном токе.

Мгновенная сила F притяжения пластин конденсатора выражается в виде

F 21u2 ))Cg ,

ãäå u — мгновенное напряжение между пластинами; C — емкость между пластинами; g — координата, характеризующая взаимное расположение пластин, которую стремится изменить сила F. Среднее за период значение силы Fñð при условии, что инерция пластин столь велика, что положение их не изменяется в течение периода напряжения u, равно

Таким образом, выражение Fñð через действующее напряжение U оказывается совпадающим с выражением при постоянном напряжении.

Определим связь действующего значения E синусоидальной ЭДС e Em sin(0t+ Αe) с ее амплитудой Em. Имеем

òàê êàê

T

cos 20t 2Α e dt 0.

0

Аналогично для синусоидальных напряжения и тока получим

Большая часть приборов, используемых для измерения периодических напряжений и токов, показывает действующее значение этих величин.

Среднее арифметическое значение синусоидальных ЭДС, напряжений и токов за весь период равно нулю. Поэтому вводят понятие об их с р е д н е м з н а - ч е н и и за положительный полупериод.

Такое определение средних значений используют и для периодических несинусоидальных ЭДС, напряжений и токов, когда положительные и отрицательные их полуволны одинаковы.

Среднее значение синусоидальной ЭДС равно, в частности,