Теоретические основы электротехники-1

раскрытия определителей и метод Гаусса позволяют при отсутствии округлений найти точное решение задачи.

Однако при использовании ЭВМ неизбежны ошибки округления, и поэтому при большом числе уравнений полученное решение может заметно отличаться от точного. Кроме того, для размещения элементов матрицы и промежуточных результатов в памяти ЭВМ потребуется m2 ячеек. Поэтому наряду со временем решения существенным параметром является и число используемых ячеек памяти, которое при m 10 000 достигнет 108.

По этой причине при большом числе уравнений приходится отказываться от точных методов решения и использовать те или иные итерационные методы, когда решение находится как предел последовательных приближений (итераций), например вида (простые итерации)

I n BI n 1 a,

ãäå I(n—1) — матрица-столбец решений на (n – 1)-м шаге итераций; I(n) — матри- ца-столбец уточненных решений на следующем, n-м, шаге итераций (приближений).

5.24. Топологические методы расчета цепей

Представляет большой интерес возможность составления элементов обратной матрицы и ее определителя непосредственно по графу схемы, минуя стадию составления системы уравнений. В качестве примера такого подхода рассмотрим метод узловых напряжений.

Для матрицы узловых проводимостей имеем выражение AYAt, ãäå A — топологическая матрица соединений порядка (q – 1) ? n; At — транспонированная матрица соединений порядка n ? (q – 1); Y — диагональная матрица проводимостей ветвей (в цепи отсутствуют взаимная индукция и зависимые источники) порядка n ? n.

Согласно теореме Коши—Бине, определитель такой матрицы может быть представлен как

det (AYAt) det (AY) At Χ соответствующих миноров максимального порядка матриц AY è At.

Соответствие миноров означает совпадение номеров столбцов в матрице AY с номерами строк матрицы At. В матрицах AY è A из-за диагональности матрицы Y одинаково расположены ненулевые элементы (если ajk 0, òî ajkYk 0).

Максимальный порядок миноров равен (q – 1)?(q – 1). Примем во внимание, что транспонированный минор равен исходному минору. Ранее (см. § 3.16) мы указали, что ненулевой минор порядка (q – 1)?(q – 1) матрицы A равен ±1. Следовательно, произведение соответствующих миноров имеет всегда положительный знак. Кроме того, минор À не равен нулю только в том случае, если входящие в его состав ветви (q – 1) соединяют все q узлов графа схемы. Это положение легко усмотреть из процедуры разложения минора по элементам строк или столбцов. При исключении соответствующей ветви и узла оставшийся минор не должен иметь строку (или столбец), состоящую только из нулевых

Для графа схемы (рис. 5.31, à), деревья которого показаны на рис. 5.31, á det (AYAt) Y4Y5Y6 + Y1Y3Y6 + Y1Y2Y4 + Y2Y3Y5 + Y1Y5Y6 + Y2Y5Y6 + Y3Y4Y6 + + Y1Y4Y5 + Y2Y4Y6 + Y3Y4Y5 + Y1Y2Y5 + Y1Y3Y4 + Y2Y3Y6 + Y1Y2Y6 + Y1Y3Y5 + Y2Y3Y4.

Для получения алгебраического дополнения порядка jj, исходя из теоремы Коши—Бине, мы должны из матрицы AY исключить j-ю строку, а из матрицы At — j-й столбец. Это равносильно присоединению узла j к базисному узлу. Тогда получаем новый граф схемы, где объединены j-й и базисный узлы прежнего графа схемы. Например, определитель 11 графа схемы (рис. 5.31, à) можно вычислить из условия, что он равен определителю нового графа схемы (рис. 5.32, à), деревья которого изображены на рис. 5.32, á:

11 Y3 (Y1 Y6 ) Y3 (Y2 Y5 ) (Y1 Y6 )(Y2 Y5 ).

Íà ðèñ. 5.32, â è ã, представлены графы и деревья схемы для 33:

33 Y2 (Y1 Y4 ) Y2 (Y3 Y5 ) (Y1 Y4 )(Y3 Y5 ).

Ðèñ. 5.32

Алгебраические дополнения вида jk могут быть определены из той же формулы Коши–Бине, если вычеркнуть в матрице AY строку j и в матрице At — столбец k. Очевидно, что миноры AY совпадут с минорами jj, а миноры At — с минорами kk. Поскольку следует суммировать произведения соответствующих миноров, то это означает, что из выражений для jj è kk должны быть взяты совпадающие члены. Например, для 13 таковыми являются

13 ( 1) 1 3 (Y1Y2 Y2Y3 Y1Y5 Y1Y3 ).

Условие совпадения миноров и то обстоятельство, что узлы j è k вычеркнуты из соответствующих матриц, можно представить в виде разделения графа цепи на два несвязанных подграфа со своими деревьями, сумма произведений проводимостей ветвей которых определит jk. При этом следует учесть, что узлы j è k мысленно уже соединены с опорным узлом, и поэтому узлы j è k, с одной сто-

что существенно меньше максимального числа деревьев, равного 55–2 125. Именно необходимость отыскания большого числа различных деревьев яв-

ляется серьезным недостатком топологического метода расчета цепей, основные понятия и формулы которого были предложены Кирхгофом еще в 1847 г. и Максвеллом в 1892 г. Внедрение в расчетную практику ЭВМ и развитие теории графов вновь возбудили интерес к этому разделу теории цепей, однако даже мощные современные ЭВМ не в состоянии устранить основной недостаток метода. Необходимость отыскания и хранения большого числа деревьев, которое уже для цепи с q 10 достигает 108, проблематична даже и для мощных ЭВМ. Поэтому топологические методы приемлемы для схем с относительно малым числом узлов.

Вопросы, упражнения, задачи к главе 5

5.1. Комплексный метод

ВОПРОСЫ

1.Òîêè I1 è I 2 являются комплексно сопряженными. Чем различаются их мгновенные значения i1 è i2?

2.(О) Комплексное сопротивление двухполюсника равно 1 + j2 Ом. Можно ли утверждать, что этот двухполюсник не содержит конденсаторов?

3.(О) Двухполюсник, имеющий комплексное сопротивление Z 1 + j Ом, содержит несколько конденсаторов, катушек индуктивности и один резистор R. Ìîæ-

но ли утверждать, что R 1 Îì?

4.(О) Какой смысл имеют принимаемые условно положительные направления токов и напряжений, если они, являясь в действительности синусоидальными функциями, изменяют свое направление с течением времени?

5.(О) Справедливы ли законы Кирхгофа, записанные: à) для действующих зна- чений токов и напряжений; á) мгновенных значений токов и напряжений; â) амплитудных значений токов и напряжений; ã) комплексных значений токов и напряжений?

6.Почему при расчете комплексной мощности S один из комплексов (I èëè U ) выбирают сопряженным?

7.На некотором участке электрической цепи реактивная мощность Q 0. Можно ли утверждать, что этот участок не содержит реактивных элементов?

8.(О) Каждый из последовательно включенных двухполюсников обладает отличными от нуля эквивалентным активным и реактивным сопротивлениями. Какие из утверждений справедливы: à) эквивалентное реактивное сопротивление всей цепи может быть положительным или равным нулю; á) эквивалентное реактивное сопротивление всей цепи может быть отрицательным; â) эквивалентное активное сопротивление всей цепи должно быть положительным или равным нулю; ã) реактивная мощность всей цепи должна быть больше реактивной мощности первого двухполюсника; ä) активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей двухполюсников?

9.Какие из предыдущих утверждений справедливы при параллельном соединении двухполюсников?

10.Каждый из параллельно включенных двухполюсников обладает отличным от нуля активным и реактивным сопротивлениями. Можно ли при расчете сопротивления и проводимости всей цепи сложить: à) активные сопротивления двухполюсников; á) активные проводимости двухполюсников; â) реактивные сопротивления двухполюсников; ã) реактивные проводимости двухполюсников?

11.(О) В цепи, состоящей из двух параллельно включенных двухполюсников

и источника ЭДС 1 + j В, комплексное значение тока источника равно

E

I 2 + j2 А. Могут ли эти двухполюсники содержать реактивные элементы?

292 Вопросы, упражнения, задачи к главе 5

20. (Р) На входе цепей, схемы которых изображены на рис. В5.8, действует источник тока =. Определите токи I1, I 2 .

Ðèñ. Â5.8

21. (Р) Укажите последовательность расчета напряжений на всех элементах электрической цепи (рис. В5.9) и токов в них при заданном: à) напряженииU на ее входе; á) токе в одном из элементов цепи (I1, èëè I 2 , èëè I 3 и т. д.). Комплексные сопротивления Z элементов цепи заданы. Рассчитайте токи ветвей при заданном напряжении на входе цепи или токе одной из ветвей цепи, используя данные следующей таблицы.

ЗАДАЧИ

1. (Р) Найдите емкость Ñ конденсатора в цепи, схема которой изображена на рис. В5.10, при которой ток I не будет зависеть от сопротивления r.

2. (Р) Получите зависимость угла сдвига 2 между напряжениямиU èU AB от сопротивления r1 в цепи, схема которой изображена на рис. В5.11, при измене-